基于Bell多项式的一类%283 1%29维变系数广义浅水波方程的可积性研究.pdf

数学杂志Vol.43(2023)J.of Math.(PRC)No.6基于Bell多项式的一类（3 十1）维变系数广义浅水波方程的可积性研究李春晖，王丹，刘淑丽，李金红，王晓丽（齐鲁工业大学（山东省科学院）数学与统计学院，山东济南2 5 0 3 5 3)摘要：本文基于Bell多项式研究了一类(3+1）维变系数广义浅水波方程的可积性问题.首先，引入变量变换，借助Bell多项式与Hirota双线性算子之间的关系，导出方程的Hirota双线性形式，求出方程的N-孤子解，并对单孤子、双孤子和三孤子在不同情形下的传播进行图像模拟；其次，基于双线性方程，结合Bell多项式获得方程的双线性Backlund变换；然后，通过Hopf-Cole变换，将双线性Backlund变换线性化，求出方程的Lax对；最后，利用级数展开法得到方程的无穷守恒律：从而证明该方程具有可积性：关键词：广义浅水波方程；Bell多项式；Backlund变换；Lax对；无穷守恒律MR(2010)主题分类号：3 5 G20;37K10文献标识码：A1引言研究非线性演化方程的可积性能够很好地描述通讯物理、流体力学和海洋工程等领域的物理现象目前研究可积性的方法有反散射方法 1、Hirota 双线性方法 2-5 、Riemann-Hilbert方法 6 、Backlund变换法 7-9 和Darboux变换法 10 等。本文主要基于19 7 1年日本物理学家Hirota 提出的双线性方法来研究方程的可积性该方法的难点之一是构造非线性演化方程的双线性形式，而Bell 多项式理论为其提供了简捷有效的途径 11-14 。Bell 多项式的概念是19 3 4 年由美国数学家Bell首次提出的，一直是组合学界的热门课题之一.直到1996年,Lambert、G i l s o n 和Nimmo等人 15 建立了Bell 多项式和Hirota双线性算子之间的联系，为非线性演化方程的精确解、双线性Backulund变换、Lax对和无穷守恒律等可积性质的研究提供了便捷的方法 16-2 3 。近年来，Bell多项式方法被广泛应用于非线性演化方程的可积性研究中。本文基于Bell多项式研究一类变系数广义浅水波方程miuat+m2uyt+mgury+m4uaaay+m(uay a+Uaa uy)+meuaz=0,其中 mi=m;(t)(i=1,6)为任意实函数.当 m1=0,m2=1,m3=0,m4=1,m5=-3,m6=-1 时,方程(1.1)化简为*收稿日期：2 0 2 2-0 7-0 7基金项目：国家自然科学基金资助（118 0 12 9 2)；山东省自然科学基金资助（ZR2020MA049).作者简介：李春晖（19 9 8-），女，山东德州，硕士，主要研究方向：偏微分方程理论及应用.通讯作者：王晓丽，E-mail：w x l s p u q l u.e d u.c n中图分类号：0 17 5.2 9文章编号：0 2 5 5-7 7 9 7(2 0 2 3)0 6-0 4 8 7-14Uyt+uaay-3ua Uay-3uar uy-Uaz=0,接收日期：2 0 2 2-0 9-0 2(1.1)(1.2)488该方程是KadomtsevPe t v i a s h v i l i(K P）族中的第二个方程 2 4 。KP族是可积方程族的一个典范，包含无限个可积非线性微分方程，在可积系统理论中起着重要作用。文献 2 5 -2 8 分别讨论了方程（1.2）的多孤子解、类孤子解、有理解，新的类孤子解，Grammian和Pfafian解以及精确周期波解。当m1=0,m2=2,m3=0,m4=1,m5=3,ms=-3时,方程(1.1)化简为该方程是典型的(3+1)维JimboM i w a(JM)方程 2 9 ，在物理中用来描述具有弱色散的三维非线性波的传播.研究（3+1）维JM方程对于观察各种类型的高色散孤子非常重要.文献30-32分别讨论了方程（1.3）的精确解、行波解、孤子分子和相互作用解，文献 3 3 讨论了方程（1.3）的Backlund变换、Lax系统、无穷守恒律和多孤子解.在诸多领域，变系数非线性演化方程比常系数非线性演化方程能够提供更多的信息，更有效地描述实际现象，本文基于方程（1.2）和（1.3）研究更一般的变系数方程（1.1)，结构如下：第二部分基于Bell多项式获得方程（1.1）的双线性形式和孤子解，并分析孤子解的传播与演化；第三部分在某种约束下，利用Bell多项式构造方程（1.1）的双线性Backlund变换和Lax对；第四部分利用级数展开求出方程（1.1）的无穷守恒律；最后给出本文的结论：2双线性形式和孤子解2.1预备知识定义2.1.1 3 4 多维Bell多项式也称Y-多项式，定义为Yn1.na(f)=Yn1.n(fr1nt)=e-faamef,其中，=f(a1,，a n）是具有n个独立变量的函数，l是任意的非负整数 nm=.(r1=,ni.=,nu)当f=(a,u)时,对应的Y-多项式为Ya(f)=fr,Y2a(f)=f2+f2,Ye,y(f)=fa,y+fafu,Y3e(f)=faa+3f2afa+f,数学杂志2uyt+Uaary+3ua ury+3uaa uy-3az=0,Vol.43(1.3)定义2.1.2 3 4 】多维双Bell 多项式也称-多项式，定义为Ym.a(.,w)=Yna.na(f)fr1aUriai.na,ri+.+r为奇数,Wr1a.auri+.+r为偶数,其中,=(aci,an）和w=w(a1,an）是具有 n个独立变量的函数，当=(a,y),w=w(,y)时,对应的y-多项式为Ve(.u)=a,Va(,u)=w2a+2,Y(v,w)=wa.+a y,/a(u,w)=3m+3wa w2a+,(2.1)No.6性质2.1.1 14 -多项式和 Hirota 双线性D-算子的关系为Ymn,ma(u=n/,=n fg)=(fg)-.D.g,其中 n1+n2+nt1,Hirota 双线性D-算子定义为D.D g=(o-)n.(om-)f(a,.t)g(a,.,)=-=a 特别地，当f=g时，式(2.2)被化为f-2Dn.Dm f f=Jma1,mn(O,w=2 ln f)0,李春晖等：基于Bell多项式的一类（3+1）维变系数广义浅水波方程的可积性研究ni+.+n为奇数,489(2.2)其中 Pammn(w)=nnm(,=n f)称为 P-多项式。例=(e,t)时,P.多项式为Pt,(w)=Wt,s,P2a(w)=W2a,Par,(w)=W3s,y+3w2a Ws,y)(2.3)2.2双线性形式定理2.2.1做变换u=(21n f)一(u,2)(ms0),则方程(1.1)的双线性形式为m5miD,Dt+m2DyDt+mgDaDy+mDDt-y(y,2)msD2+meDaD f f=0,(2.4)其中f是关于,y,和t的函数，d(y,)是关于y和的函数.证 引入辅助变量和(y,z),其中是关于,y,和t的实函数，d(y,)是关于和的函数，并且令u=cqa-d(y,2),其中c是待确定的常数。将方程（2.5）带入方程（1.1)，并且等式两边对积分一次得E(q)=m1Qr,t+m2Qu,t+m3Ja,y+m493a,y+cm5q2alr,y-y(y,2)m5Q2a+m6lr,z=0.(2.6)取c=m(m50),上式化为mE(q)=m1Qa,t+m2ly,t+m3qa,y+m4(q3a,y+3q2ala,)-中g(y,2)m52a+m6la,2=0.(2.7)并根据式(2.3)，则方程(2.7）可转化为如下P-多项式形式mi Pa,t(a)+m2 Py,t(q)+m3Pa,g(a)+m4 P3a,y(a)-y(y,2)msP2a(q)+m6 Pa,(a)=0.作变量变换(2.5)(2.8)q=2 1n f,(2.9)490且由性质(2.1.1)，可得方程（1.1）的双线性形式miDaDt+m2DyDt+m3DaDy+m4DDt-y(y,2)msD+meDaD-f f=0.证毕.2.3孤子解定理2.3.1方程(1.1)有N-孤子解e=1m5u=0,1其中对的求和应取j=0,1(i=1,2,）所有可能的组合,=wit+kjg+pju+ly2+s,(0),mi(wj-ws)(k;-ks)+m2(wj-ws)(pj-ps)+ms(kj-ks)(pj-ps)m4(kj-ks)3(pj-ps)-y(y,2)ms(kj-ks)?+me(kj-ks)(lj-l.)symbjs=mi(wj+ws)(k;+ks)+m2(wj+ws)(pj+ps)+m3(kj+ks)(pj+ps)+m4(kj+ks)(pj+ps)-y(y,2)ms(kj+ks)?+me(kj+ks)(l;+ls),这里Wi=mikj+m2P0,且 kj，Pj,l j，,()(j=1,2,.,n)是任意常数.证将式(2.4)中的按参数展开成级数f=1+f(1)+f(2)g?+.+f()g+将展开式（2.11）带入双线性方程（2.4)，比较的同次幂系数有ml)+maf)+maf)+maf-s(y,2)ms +me=0,数学杂志6m41nmakjp;+mak,p,-y(y,2)mgk,+mokili,Vol.431js-(y,2),symbjssymbjsmik;+m2pj(2.10)(2.11)(2.12)=-m1DaDt+m2D,D,+msDaD+m4D:D:-u(y,2)msD2+meDaD:(1).f(1),(2.13)=-miDaDt+m2DyDt+m3DDu+m4DDt-(y,2)msD2+meD,D(1).(2),(2.14)(i)单孤子解No.6方程（2.12)是关于f(1）的一个线性微分方程，容易得到指数形式解f()=es,Si=wit+kia+piy+liz+sf0),其中mgkip1+makip1-y(y,2)mski+mckiliW1=这里miki+m2p10,且k1,P1,l1,$(0）是任意常数取(G）=0(i=2,3,），则双线性方程(2.4)有解注意这里扰动参数。可被吸收到任意常数s）中。进而方程（1.1）的单孤子解为(i)双孤子解由于（2.12)是关于于(1）的线性微分方程，所以于(1）有叠加解f()=es1+es,$j=wjt+kja+pjy+ljz+$(j=1,2),其中Wi=将(2.18)代入(2.13)得李春晖等：基于Bell多项式的一类（3+1）维变系数广义浅水波方程的可积性研究491(2.15)miki+m2p1f=1+ei1,6m4(1+es1)-d(y,2).nm5mikj+m2Pj(2.16)(2.17)(2.18)=-mi(w1-w2)(ki-k2)+m2(w1-w2)(p1-p2)+m3(ki-k2)(p1-p2)+m4(k1 k2)(p1-p2)-g(y,2)ms(k1-k2)2+me(k1-k2)(1-l2)esi+$2.解得其中A12symb12=mi(w1+w2)(ki+k2)+m2(W1+w2)(p1+p2)+m3(ki+k2)(p1+p2)+m4(ki+k2)3(p1+p2)-y(y,2)ms(k1+k2)2+me(ki+k2)(l1+l2).取于(3)=于(4)=于(5)=0,双线性方程（2.4)有解(2.19)f(2)=es1+2+A12,(2.20)mi(w1-W2)(k1-k2)+m2(w1-w2)(p1-p2)+mg(ki-k2)(pi-p2)symb12m4(k1-k2)3(p1-p2)-y(y,2)ms(k1-k2)+m6(k1-k2)(l1-l2)symb12f=1+esi+es2+esi+2+A12,(2.21)492从而方程(1.1)的双孤子解为6m4ln(1+e51+e52+esi+2+A12)m5(ii)三孤子解类似地可得方程（1.1）的三孤子解为6m4In(1+e51+e52+e+e5i+$2+A12+es1+$s+A13+e52+$3+A23+es1+32+$A12+A13+A2)m5-(y,之),其中symbjs=mi(wj+ws)(kj+ks)+m2(wj+ws)(pj+ps)+ms(k;+ks)(pj+ps)+m4(k;+ks)3(pj+ps)-y(y,2)ms(kj+ks)?+m(kj+ks)(l;+l.),(iv)N-孤子解归纳可得方程（1.1）的N-孤子解为6m41nm5u=0,1其中对的求和应取j=0,1(i=1,2,）所有可能的组合,5i=wit+kj+pjy+ljz+s,(0,mi(wj-ws)(kj-ks)+m2(wj-w,)(pj-p.)+m3(kj-ks)(pj-ps)m4(kj-ks)(pj-ps)-y(y,2)ms(kj-ks)+me(kj-ks)(lj-l)symbjs=mi(wj+ws)(k+ks)+m2(w+ws)(pj+ps)+m3(kj+ks)(pj+ps)+m4(k;+ks)(pj+ps)-y(y,z)ms(kj+ks)?+me(k;+ks)(l;+ls),这里Wi=mikj+m2pi0,且kj，Pj，l j，s;()(j=1,2,n)是任意常数.接下来以(y,2）=2 为例，讨论孤子解的传播和相互作用.数学杂志-(y,2).mi(wj-ws)(kj-ks)+m2(wj-ws)(pj-ps)+ms(kj-ks)(pj-ps)symbjsm4(kj-ks)(pj-ps)-y(y,2)ms(kj-ks)+me(kj-ks)(lj-l.)symbjs(i s,j,s=1,2,3).Misit,DujusAjsej=11jssymbjssymbjsmakjp;+msk,p;-y(y,2)msk,+mckili,mikj+m2pjVol.43(2.22)(2.23)-(y,2),No.60.5201540李春晖等：基于Bell多项式的一类（3+1）维变系数广义浅水波方程的可积性研究4930.50.202015-1510-105-5-55-10-15-2020图1:方程(1.1）的单孤子解(2.17)，其中取mi=1(i=1,2,3,4,6),m5=2,ki=1,P1=1,l1=15-1010-10-2010(a)-152020.1510015(b)-5-10-15-2020-20-10-15(c)0200.520151050-5-10-15-20200.520-2015-1510-105-510-102015601510(a)mi=1(i=1,2,3,6),m4=t,m5=2t,ki=1,P1=1,l1=1105-1020020-20图2：方程(1.1）的单孤子解(2.17)，其中取-15-20-1020(b)-10-1515(c)-20-10-10-510-101010-10-10-5-1010ami=1(i=1,2,3,4,6),m5=2,k1=2,p1=1,l1=2,k2=-1,p2=3,l2=4(b)图3：方程(1.1）的双孤子解(2.2 2)，其中取(c)-10-5101010-1010-10(a）mi=1(i=1,2,3,6),m4=t,m5=2t,k1=2,p1=1,l1=2,k2=-1,P2=3,l2=4(b)图4:方程（1.1）的双孤子解(2.2 2)，其中取(c)494数学杂志Vol.4310-555-1010图5:方程(1.1)的三孤子解(2.2 3)，其中取mi=1(i=1,2,3,4,6),m5=2,ki=1,P1=3,l1=1(a)-102,k2=-1,p2=2,l2=-3,k3=2,p3=3,l3=-4-10(b)(c)60201010-101010(a)图6:方程(1.1)的三孤子解(2.2 3)，其中取mi=1(i=1,2,3,6),m4=t,m5=2t,ki=1,P1=3,l1=2,k2=-1,p2=2,l2=-3,k3=2,p3=3,l3=-4图1-图6 给出了系数m4为常数（m4=1）和t的线性函数（m4=t）时，单孤子解、双孤子解和三孤子解在一t、一t和t平面上的传播。从图中可以看出，单孤子解是亮孤子解，波在传播过程中振幅保持不变；双孤子解和三孤子解中，孤波发生碰撞后会快速恢复到原来的形状，保持振幅不变.同时，当系数m4为常数时，波的传播方向不改变；当系数m4为t的线性函数时，波的传播方向发生改变.3双线性Backlund变换和Lax对(b)(c)3.1双线性Backlund变换定理3.1.1假设和g是双线性方程（2.4）的两个解，则方程（1.1）的双线性Backlund变换为(D,Dy-D,)f g=0,miDt+m3Dy-m5y(y,z2)Da+msD,f g=0,(m2Dt+msD)f g=0.证设q=2ln和Q=2lng均是方程（2.7）的解，引进两个新的独立变量(3.1a)(3.1b)(3.1c)W+1=In(fg),u=2(3.2)29No.6则且由式(2.7）知，q和满足二场条件E(a)-E(q)=E(w+u)-E(w-)=2m1Vat+2m2Uyt+2m3Ury+m4 203a,y+3(2W2a ay+2Way 2a-2m5y(y,2)2a+2m6az.根据式(2.1)，条件(3.4）可以重新写作E(a)-E(a)=a m1:(c,)+m3y(v,w)-ms(y,2):(,)+meJ(u,w)其中这里 Wr 代表 Wronski 行列式,WrYa,g(u,w),J(u,w)=Wa U2a-W2a,yUs-u2uary:引入限制条件其中入是常数，则R(u,w）=0,从而方程（1.1)有以下V-多项式型的Backlund变换Va,y(u,w)-V(,w)=0,miyt(u,w)+m3yy(v,w)-msy(y,z)Va(v,w)+mey(v,w)=0,m2Jt(u,w)+m4V3a(u,w)=0.结合V-多项式和Hirota双线性D-算子的关系式（2.2)，可得到方程（1.1）的双线性Backlund变换(3.9a)miDt+m3Dy-ms(y,2)Da+mgD,f:g=0,(3.9b)(m2Dt+msD)f g=0.(3.9c)证华.3.2 Lax 对定理3.2.1通过Hopf-Cole变换，方程（1.1）的Lax对为ba,y-入ba+3m4(m1+m2)bt+m5ua-py(y,2)ba+m43a+m3y+m6z=0,李春晖等：基于Bell多项式的一类（3+1）维变系数广义浅水波方程的可积性研究+Oy m2y(v,w)+m4V3a(v,w)|+3m4R(u,w),R(v,w)=WrVr,(u,w),Vr(v,w).Vr,y(u,w)-V(v,w)=0,(DaDy-入Da)f g=0,m5uy+y(y,2)b=0,495q=W-U,q=w+U,(3.3)(3.4)3.5(3.6)(3.7)(3.8a)(3.8b)(3.8c)(3.10a)(3.10b)496其中入是任意参数，证做Hopf-Cole变换u=ln，结合式(2.1）和(3.3）可得Vt(u,w)=Vt(u,u+q)=t/b,Ve(u,w)=Vr(u,u+q)=a/b,Vu(u,w)=Vy(v,+q)=g/,V(u,w)=V(u,+q)=z/b,Va,g(,w)=Vr,y(u,U+q)=qa,y+ba,y/b,V3r(v,w)=V3r(u,U+q)=3q2aba/b+3r/b.从而-多项式型的Backlund变换（(3.8）被线性化为含有参数入的线性系统m23t+3m42aba+m4b3x=0.从而ba,y-入ba+qa,yb=0,(m1+m2)bt+3m4Q2a-m5py(y,2)ba+m4W3a+m33by+m6z=0.通过变换(2.5)，求得方程(1.1)的Lax对(m1+m2)t+msua-py(y,2)a+m43a+m3by+m6bz=0.容易验证相容性条件aut=tau可以推出方程（1.1)，证毕，4无穷守恒律定理4.1通过级数展开，方程(1.1）有以下无穷守恒律Jn,t+Fn,r+m4Gn,y+m6Hn,z=0,n=1,2,3,.,其中守恒密度Jn的显式公式为Jn=mi(,In,a)+m2In,n=1,2,.第一个连带流Fn的递推公式为Fn=mgIn+msIn,2a-msby(y,z)(o,lIn,s),n=1,2,.第二个连带流n的递推公式为moua(0,I1,a),m591=m42=3(0,1I1,2a)(0,11,an-1Gn=3 Z(,l Ik,2a)(,lIn-k.a)+k=1+i+i+k=n数学杂志ba,y-入ba+qa,yb=0,m1bt+m3by-msy(y,2)ba+m6bz=0,m5uy+dy(y,2)b=0,m5m4m5 ua(0,In.a)m4Vol.43(3.11a)(3.11b)(3.11c)(3.12a)(3.12b)(4.1)(4.2)(4.3)(4.4)No.6剩余连带流Hn的递推公式为这里守恒密度工的递归关系如下m5Ii=-Q2y=01(u2y+2(y,2),3m4L2=-L1,y+入Zi=q3y-入q2ym58-1(u3y+3g(y,2)3m4In=-In-1,y+XZn-1-o-1oy(Ino,1In-h-1,n),n=3,4,.证 由关系(u)=Ot(u)=Ua,t，(u)=(u)=m,z,则式(3.8)可以化为Way+UaUy-AUr=0,(4.7a)Ot(m10s+m2y)+Orm3Uy+m42a,y-m5g(y,2)va+m40g(3w2aUa+.)+mg0z(ua)=0.引进一个新的势函数则由关系式(3.2)可得将（4.9)式代入（4.7)式，得到一个Riccati型方程和一个离散型方程tm1(0,1na)+m2nl+0mgn+m4n2a-msy(y,2)(0,ne)+m40y3(0,ln+q2a)(0,na)+(0,1 na)3+me0z(0,lna)=0.将展开式代入方程（4.1 0)并令各幂次系数为零0:0,lL1,+a,y=0,e-1:I1,+0,1L2,-(0,1L1,z)=0,-2:2,+0,3,+I(0,1I1,a)-入(0,1 L2,)=0,-3:I3,+0,1L4,+I1(0,1L2,n)+L2(0,11,a)-(0,13,)=0,李春晖等：基于Bell多项式的一类（3+1）维变系数广义浅水波方程的可积性研究qay+na+n(0,1na)-入(0,n)=0,n=1497Hn=OlIn,r,n=1,2,.(4.5)(4.6)3m4n-2k=1Uy=n,Wy=qy+n.8(4.7b)u-Qu(4.8)2(4.9)(4.10)(4.11)(4.12)(4.13)498得到守恒密度的递推关系式（4.6).再将展开式（4.1 2）代入式（4.1 1)，有8Lnene-nn=1n=188+m4Zn=18n=18数学杂志8ZIne+Qamge+ma)In,a-)n=18In,s)+3q2a(0,In,n-)+(0In.ne)n=1Vol.438n=18n=18n=1n=1比较的幂次系数，可得无穷守恒律Jn,t+Fn,+m4Gn,y+msHn,z=0,n=1,2,3,.在无穷守恒律（4.1）中，守恒密度的显式公式Jn由式（4.2）给出，第一连带流Fn、第二连带流9 n和剩余连带流Hn分别由式（4.3)、（4.4)和（4.5）给出.证毕.5结论本文研究了（3+1）维变系数广义浅水波方程（1.1）的可积性，主要研究结果如下：基于Bell多项式方法，获得了方程（1.1）的双线性表达式(2.4)；进而推导出了方程（1.1）的单孤子解(2.1 7)、双孤子解（2.2 2)、三孤子解（2.2 3）以及N-孤子解（2.1 0)，通过图像发现孤波在传播过程中振幅保持不变，且系数m4影响孤波的传播方向；除此之外，运用Bell多项式方法构造了方程（1.1）的双线性Backlund变换（3.1)、Lax对（3.1 0）和无穷守恒律（4.1).我们希望本文的论述能用于研究数学、物理等其他领域中的类似问题.参考文献1 M J Ablowitz,P A Clarkson.Solitons,nonlinear evolution equations and inverse scatteringM.Cambridge:Cambridge University Press,1991.2Hirota R.Direct methods in soliton theoryM.Cambridge:Cambridge University Press,2004.3 Ma W X,You Y C.Solving the Korteweg-de Vries equation by its bilinear form:Wronskian solu-tionsJJ.Transactions of the American mathematical society,2005,357(5):1753-1778.4 Wang H,Li B.Solitons for a generalized variable-coefficient nonlinear Schrodinger equationJ.Chin.Phys.B.,2011,20(4):040203.5 Zuo J M,Zhang Y M.The Hirota bilinear method for the coupled Burgers equation and the high-order Boussinesq-Burgers equationJ.Chin.Phys.B.,2011,20(1):010205.6 Wang D S,Wang X L.Long-time asymptotics and the bright N-soliton solutions of the Kundu-Eckhaus equation via the Riemann-Hilbert approachJJ.Nonlinear Anal:Real.,2018,41(41):334-361.No.67 Gao L N,Zi Y Y,Yin Y H,Ma W X,Lu X.Backlund transformation,multiple wave solutionsand lump solutions to a(3+1)-dimensional nonlinear evolution equationJ.Nonlinear Dyn.,2017,89(3):2233-2240.8郭婷婷.（2+1）维KdV方程的Backlund变换和无穷守恒律J.中北大学学报（自然科学版)，2 0 1 7,38(03):277-281.9】郝晓红，程智龙.（2+1)维AKNS方程的可积性研究.动力学与控制学报，2 0 1 8，1 6(0 3)：2 0 1-2 0 5.10 Du Z,Tian B,Chai H P,Sun Y.Darboux transformations,solitons,breathers and rogue waves forthe modified Hirota equation with variable coeficients in an inhomogeneous fiberJ.Opt QuantElectron.,2018,50(2):83.11余兰，张玉平，魏光美贝尔多项式方法在6 阶KdV方程的应用J北京信息科技大学学报（自然科学版),2 0 1 8,3 3(0 2):1 6 1 9.12韩鹏飞.贝尔多项式与非线性发展方程的可积性与相关问题研究D.呼和浩特：内蒙古师范大学数学科学学院,2 0 2 1.13】刘运.Bell多项式在合流范德蒙矩阵求逆中的应用D.杭州：浙江工商大学统计与数学学院，2 0 1 8.14 Fan E G,Chow K W.Darboux covariant Lax pairs and infinite conservation laws of the(2+1)-dimensional breaking soliton equationJ.J.Math.Phys.,2011,52(2):023504.15 Gilson C R,Lambert F,Nimmo J J C,Willox R.On the combinatorics of the hirota D-operatorsJ.Proc.R.Soc.Lond.Ser.A Math.Phys.Eng.Sci.1996,452(1945):223-234.16郝晓红，程智龙。一类广义浅水波KdV方程的可积性研究J.数学物理学报，2 0 1 9,3 9(A3)：451-46 0.17 Huang Q M,Gao Y T,Jia S L,Wang Y L,Deng G F.Bilinear Backlund transformation,solitonand periodic wave solutions for a(3+1)-dimensional variable-coefficient generalized shallow waterwave equationJ.Nonlinear Dyn.,2017,87(4):2529-2540.18 Tian S F,Zhang H Q.On the integrability of a generalized variable-coeficient Kadomtsev-Petvi-ashvili equationJ.J.Phys.A:Math.Theor.,2012,45(5):055203.19】刘娜。非线性偏微分方程的可积性和非线性波的研究D.济南：山东师范大学数学与统计学院，2 0 2 0.20】魏薇薇.基于Bell多项式方法的孤子方程可积性的研究D.金华：浙江师范大学数学与计算机科学学院,2 0 1 2.21李晓东，非线性偏微分方程的Hirota 方法和Bell多项式研究D.宁波：宁波大学数学与统计学院,2014.22 肖子崇.孤立子方程的Bell多项式解法D.上海：复旦大学数学科学学院，2 0 1 2.23】程腾飞.Hirota 方法和Bell多项式在孤子方程中的应用D.金华：浙江师范大学数学与计算机科学学院,2 0 1 1.24 Jimbo M,Miwa T.Solitons and infinite dimensional Lie algebrasJ.Publications of the ResearchInstitute for Mathematical Sciences,1983,19(3):943-1001.25 Zeng Z F,Liu J G,Nie B.Multiple-soliton solutions,soliton-type solutions and rational solutionsfor the(3+1)-dimensional generalized shallow water equation in oceansJ.Estuaries and Impound-ments.Nonlinear Dyn.2016,86(1):667-675.26 Tian B,Gao Y T.Beyond travelling waves:a new algorithm for solving nonlinear evolution equa-tionsJ.Comput.Phys.Commun.1996,95(2-3):139-142.27 Tang Y N,Ma W X,Xu W.Grammian and Pfafian solutions as well as Pfafianization for a(3+1)-dimensional generalized shallow water equationJ.Chin.Phys.B 2012,21(7):85-91.28 Wu J Z,Xing X Z,Geng X G.Generalized bilinear differential operators application in a(3+1)-dimensional generalized shallow water equationJ.Adv.Math.Phys.2015,2015:291804.29 Darvishi M T,Najafi M.Some complexiton type solutions of the(3+1)-dimensional Jimbo-MiwaequationJJ.International Journal of Computational and Mathematical Sciences,2012,6(1):25-27.李春晖等：基于Bell多项式的一类（3+1）维变系数广义浅水波方程的可积性研究49950030 Ma W X,Lee J H.A transformed rational function method and exact solutions to the 3+1ldimen-sional Jimbo-Miwa equationJ.Chaos,Solitons Fractals,2009,42(3):1356-1363.31 Zayed E M E.New traveling wave solutions for higher dimensional nonlinear evolution equationsusing the(G/G)-expansion methodJ.Journal of Physics A:Mathematical and Theoretical.2009,42(19):195202.32 Ma H C,Huang H Y,Deng A P.Soliton molecules and some interaction solutions for the(3+1)-dimensional Jimbo-Miwa equationJJ.Journal of Geometry and Physics,2021,170(170):104362.33 Singh M,Gupta R K.Backlund transformations,Lax system,conservation laws and multisoliton so-lutions for Jimbo-Miwa equation with Bell-polynomialsJj.Communications in Nonlinear Scienceand Numerical Simulation,2016,37:362-373.34 Liu N.Backlund transformation and multi-soliton solutions for the(3+1)-dimensional BKP equationwith Bell polynomials and symbolic computationJJ.Nonlinear Dyn.,2015,82(1-2):311-318.数学杂志Vol.43INTEGRABILITY OF A VARIABLE-COEFFICIENTGENERALIZED(3+1)DIMENSIONAL SHALLOW WATER WAVEEQUATION VIA BELL POLYNOMIALSLI Chun-hui,WANG Dan,LIU Shu-li,LI Jin-hong,WANG Xiao-li(School of Mathematics and Statistics,Qilu University of Technology(Shandong Academy of Sciences),ShandongJinan250353)Abstract:In this paper,we focus on a(3