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第四节定积分在经济学上的应用 第六六章 一、已知边际函数求总函数一、已知边际函数求总函数二、资金流的现值和未来值二、资金流的现值和未来值机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.1.成本函数总成本 =固定成本 +可变成本平均成本(单位成本)=2.收益函数3.利润函数 利润=总收益-总成本，即L(Q)=R(Q)-C(Q).复习 收益=价格销量，即R(Q)=PQ.机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.边际的经济意义:当 时,x 改变一个单位,y 改变4.边际个单位.5.常用的边际函数 边际成本；边际收益；边际利润机动 目录 上页 下页 返回 结束 在 处的边际值为 .3.一、已知边际函数求总函数一已知边际函数求总函数 问题：已知某边际经济函数，求该总经济量.设某个经济函数 u(x)的边际函数为 ,则有于是 机动 目录 上页 下页 返回 结束 4.2.已知销售某产品的边际收益为 ，x为销售量，R(0)=0,则总收益函数为1.已知生产某产品的边际成本为 ，x为产量，固定成本为C(0),则总成本函数为机动 目录 上页 下页 返回 结束 5.3.设利润函数L(x)=R(x)-C(x),其中x为产量，R(x)是收益函数,C(x)是成本函数，若 L(x),R(x),C(x)均可导，则边际利润为：L(x)=R(x)-C(x).因此总利润为：机动 目录 上页 下页 返回 结束 6.例1 生产某产品的边际成本函数为 固定成本 C(0)=1000,求生产 x 个产品的总成本函数.解 例2 已知边际收益为 ,设R(0)=0,求收益函数R(x).解 机动 目录 上页 下页 返回 结束 7.例3：设某商品的边际收益为(1)求销售50个商品时的总收益和平均收益；(2)如果已经销售了100个商品，求再销售100个商品的总收益和平均收益；解:(1)总收益函数:平均收益:机动 目录 上页 下页 返回 结束 8.解:(2)总收益为:平均收益:例3：设某商品的边际收益为(1)求销售50个商品时的总收益和平均收益；(2)如果已经销售了100个商品，求再销售100个商品的总收益和平均收益；机动 目录 上页 下页 返回 结束 9.例4：已知生产某产品x台的边际成本为(万元/台)，边际收入为 (万元/台).(1)若不变成本为C(0)=10(万元/台),求总成本函数，总收入函数和总利润函数；(2)当产量从40台增加到80台时,总成本与总收入的增量;解:(1)总成本为机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 10.由于当产量为零时总收入为零,即R(0)=0,于是 总收入为总利润函数为机动 目录 上页 下页 返回 结束 11.（万元）(2)当产量从40台增加到80台时,总成本的增量为;当产量从40台增加到80台时,总收入的增量为;（万元）机动 目录 上页 下页 返回 结束 12.由变化率求总量 例 5 某 工 厂 生 产 某 商 品,在 时 刻 t 的 总 产 量 变 化 率 为 (单位/小时).求由 t=2 到 t=4 这两小时的总产量.解 总产量例6 生产某产品的边际成本为 ,当 产量由200增加到300时,需追加成本为多少?解 追加成本机动 目录 上页 下页 返回 结束 13.例7 在某地区当消费者个人收入为 x 时,消费支出 W(x)的变化率 ,当个人收入由 900 增加到 1600 时,消费支出增加多少?解 机动 目录 上页 下页 返回 结束 14.设有本金A0,年利率为r,则一年后得利息A0r,本利和为1.单利假设在期初投资一个单位的本金，在每一时期内都得到完全相同的利息金额，这种计息方式为单利.二、收益流的现值与未来值机动 目录 上页 下页 返回 结束 A0A0rA0(1r),n年后所得利息nA0r,本利和为An=A0+nA0r=A0(1+nr)这就是单利的本利和计算公式15.第二年以第一年后的本利和A1为本金,则两年后的2.复利这种计息方式的基本思想是：利息收入自动被计入下一期的本金.就像常说的“利滚利”.机动 目录 上页 下页 返回 结束 这就是一般复利的本利和计算公式.本利和为A2A0(1r)A0(r)rA0(r)2，照此计算,n年后应得本利和为AnA0(1r)n16.资金周转过程是不断持续进行的,若一年中分n期计算,年利率仍为r,于是每期利率为r/n ,则一年后的本利和为t年后本利和为AtA(1 r/n)nt，若采取瞬时结算法,即随时生息,随时计算,也就是n时,得t年后本利和为 这就是连续复利公式A1A(1 r/n)n，17.因此，在年利率为r的情形下,若采用连续复利，有：（1）已知现值为A0,则t年后的未来值为 （2）已知未来值为At,则贴现值为期数趋于无穷大的极限情况下的计息方式，即每时3.连续复利每刻计算复利的方式称为连续复利.贴现值：时刻t的一个货币单位在时刻0时的价值.机动 目录 上页 下页 返回 结束 AtAert，A At e-rt18.我们知道,若以连续复利率 r 计息,一笔 P 元人民币 从现在起存入银行,t 年后的价值(将来值)若 t 年后得到 B 元人民币,则现在需要存入银行的金 额(现值)下面先介绍收益流和收益流量的概念.若某公司的收益是连续地获得的,则其收益可被看作是一种随时间连续变化的收益流.而收益流对时间的变化率称为收益流量.4 4、收益流的现值和将来值、收益流的现值和将来值机动 目录 上页 下页 返回 结束 19.收益流量实际上是一种速率,一般用 R(t)表示;若时间 t 以年为单位,收益以元为单位,则收益流量的单位为:元/年.(时间 t 一般从现在开始计算).若 R(t)=b 为常数,则称该收益流具有均匀收益流量.将来值：现在一定量的资金在未来某一时点上的价值 现值：将来某一时点的一定资金折合成现在的价值，俗称“本金”例如：假设银行利率为5%,你现在存入银行10000块,一年以后可得本息10500元.10500为10000的将来值,而10000为10500的现值.机动 目录 上页 下页 返回 结束 20.和单笔款项一样,收益流的将来值定义为将其存入银行并加上利息之后的本利和;而收益流的现值是这样一笔款项,若把它存入可获息的银行,将来从收益流中获得的总收益,与包括利息在内的本利和,有相同价值.在讨论连续收益流时,为简单起见,假设以连续复利率 r 计息.机动 目录 上页 下页 返回 结束 21.若有一笔收益流的收益流量为 R(t)(元/年),下面计算其现值及将来值.考虑从现在开始(t=0)到 T 年后这一时间段.利用元素法,在区间 0,T 内,任取一小区间 t,t+dt,在该小区间内将 R(t)近似看作常数,则应获得的金额近似等于 R(t)dt(元).从现在(t=0)算起,R(t)dt 这一金额是在 t 年后的将来而获得,因此在 t,t+dt 内,从而，总现值为收益的现值机动 目录 上页 下页 返回 结束 22.在计算将来值时,收入 R(t)dt 在以后的(T t)年内获息,故在 t,t+dt 内 例8 假设以年连续复利率 r=0.1 计息 (1)求收益流量为100元/年的收益流在20年期间的现值和将来值;(2)将来值和现值的关系如何?解释这一关系.从而，将来值为收益流的将来值机动 目录 上页 下页 返回 结束 23.(2)显然 若在 t=0 时刻以现值 作为一笔款项存入银行,以年连续复利率 r=0.1计息,则20年中这笔单独款项的将来值为 而这正好是上述收益流在20年期间的将来值.机动 目录 上页 下页 返回 结束 解 (1)24.例9 某公司投资100万元(总投资的现值已知）建成1条生产线，并于1年后取得经济效益，年收入为，设银行年利率为10%，问公司多少年后收回投资30万元（收益流量）解 设T年后可收回投资，投资回收期应是总收入的现值等于总投资的现值的时间长度，因此有 即解得T=4.055，即在投资后的4.055年内可收回投资机动 目录 上页 下页 返回 结束 25.一般来说,以年连续复利率 r 计息,则在从现在起到T 年后（该收益流的将来值等于将该收益流的现值）作为单笔款项存入银行 T 年后的将来值.例10 设有一项计划现在(t=0)需要投入 1000 万元（投入资金的现值）,在 10 年中每年收益为 200 万元（收益流量）.若连续利率为 5%,求收益资本价值W.(设购置的设备10年后完全失去价值)解资本价值=收益流的现值 投入资金的现值 机动 目录 上页 下页 返回 结束 26.例11 某企业一项为期10年的投资需购置成本80万元,每年的收益流量为10万元,求内部利率(注:内部利率是使收益价值等于成本的利率).解由收益流的现值等于成本,得 可用近似计算得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 27.机动 目录 上页 下页 返回 结束 设某耐用品售价100000元，首付50%，余下部分（50000）分期付款，10年付清。每年付款数相同。若年贴现率为4%，按连续复利计算，每年应付款多少？某一机器使用寿命为10年。如购进此机器需要55000元。如租用此机器每月租金为600元。设资金的年利率为5%，按连续复利计算，问购进机器与租用机器哪一种方式合算？作业28.