企业退休职工养老金制度的改革(2011年c题).doc

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2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛

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日期： 2011 年 9 月 12 日

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企业退休职工养老金制度的改革
摘要
本题是通过结合未来工资和经济的发展走势，计算现养老金制度存在的缺口和替代率等问题，提出相应的改革措施。
针对问题一，首先对给出的数据进行简单的分析、处理，初步判断山东省职工的年平均工资增长趋势，用拟合的方法确定最合理的时间与年平均工资的函数表达式，进而预测得出2011-2035年对应的年平均工资。
针对问题二，我们根据相关数据求出职工各年龄段的缴费指数，再根据缴费年龄判断出职工平均缴费指数。根据模型一得出的职工年均工资，结合个人账户本息累加和退休前一年年均工资，可分别求出个人账户养老金和基础养老金，进而确定各种情况下退休时的养老金和替代率。
针对问题三，根据合理的假设求出退休时个人帐户养老金和基础养老金各占养老金的比例，建立了养老金与上年度在岗职工月平均工资之间的关系，结合模型一数据可求出退休以后每月领取的基础养老金，进而确定每月养老金数额，最后结合养老金总额、利息和每月养老金建立数学模型求得三种情况下的缺口情况，并计算收支平衡时职工的年龄。
针对问题四，结合前几个模型中出现的变量，通过改变这些变量可实现既达到目标替代率，又维持养老保险基金收支平衡的目的，查阅相关资料制定了提高退休年龄等措施进行养老金制度的改革。

关键词： 养老金 拟合 替代率 缺口 收支平衡

一、 问题的重述
养老金也称退休金，是一种根据劳动者对社会所作贡献及其所具备享受养老保险的资格，以货币形式支付的保险待遇，用于保障职工退休后的基本生活需要。
我国企业职工基本养老保险实行“社会统筹”与“个人账户”相结合的模式，即企业把职工工资总额按一定比例（20%）缴纳到社会统筹基金账户，再把职工个人工资按一定比例（8%）缴纳到个人账户。这两个账户我们合称为养老保险基金。退休后，按职工在职期间每月（或年）的缴费工资与社会平均工资之比（缴费指数），再考虑到退休前一年的社会平均工资等因素，从社会统筹账户中拨出资金（基础养老金），加上个人工资账户中一定比例的资金（个人账户养老金），作为退休后每个月的养老金。养老金会随着社会平均工资的调整而调整。如果职工死亡，社会统筹账户中的资金不退给职工，个人账户中的余额可继承。个人账户储存额以银行当时公布的一年期存款利率计息，为简单起见，利率统一设定为3%。
养老金的发放与职工在职时的工资及社会平均工资有着密切关系；工资的增长又与经济增长相关。近30年来我国经济发展迅速，工资增长率也较高；而发达国家的经济和工资增长率都较低。我国经济发展的战略目标，是要在21世纪中叶使我国人均国民生产总值达到中等发达国家水平。
影响养老保险基金收支平衡的一个重要因素是替代率。替代率是指职工刚退休时的养老金占退休前工资的比例。按照国家对基本养老保险制度的总体思路，未来基本养老保险的目标替代率确定为58.5%. 替代率较低，退休职工的生活水准低，养老保险基金收支平衡容易维持；替代率较高，退休职工的生活水准就高，养老保险基金收支平衡较难维持，可能出现缺口。所谓缺口，是指当养老保险基金入不敷出时出现的收支之差。
根据所给附件需建立数学模型讨论解决的问题如下：
1、对未来中国经济发展和工资增长的形势做出你认为是简化、合理的假设，并参考附件1，预测从2011年至2035年的山东省职工的年平均工资。
2、根据附件2计算2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比。如果把这些比值看作职工缴费指数的参考值，考虑该企业职工自2000年起分别从30岁、40岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），计算各种情况下的养老金替代率。
3、假设该企业某职工自 2000年起从30岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），并从退休后一直领取养老金，至75岁死亡。计算养老保险基金的缺口情况，并计算该职工领取养老金到多少岁时，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡。
4、如果既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡，你认为可以采取什么措施。请给出你的理由。

二、问题的分析
第一问中首先对附件1给出的数据进行简单的分析、处理，初步判断山东省职工的年平均工资增长趋势，依题意应由1978—2010年的平均工资拟合出符合它们规律的函数，并绘出图形进一步判断曲线走势、所拟合函数是否合理，确定最合理的时间与年平均工资的函数表达式，之后便可以得出2011-2035年对应的年平均工资。
第二问中将2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比，看做职工缴费指数的参考值，要计算企业职工自2000年起分别从30岁、40岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁、60岁、65岁）六种情况下的养老金替代率，只需求得职工刚退休时的养老金，再与退休前工资作比。
第三问中要计算养老金缺口情况，就必须知道每年领取的养老金额，养老金会随着社会平均工资的调整而调整，养老金在退休至死亡期间，在养老金总额扣除每月养老金的同时还增加有额外利息， 因此建立以上几者的关系建立模型，求各种情况下的缺口情况，当缺口为0时，缴存的养老险基金与其领取的养老金之间达到平衡，同样可运用以上方法进行求解。
第四问可以结合前几个模型中出现的变量，通过改变这些变量可实现既达到目标替代率，又维持养老保险基金收支平衡的目的，查相关资料制定改革措施。

三、模型的假设
1. 假设经济和工资增长不受经济危机等影响；
2. 假设养老金一年进行一次调整；
3. 假设银行一年存款利率为3%,并在每年年底进行利息结算；
4. 中短期的预测年限2010-2045年，本模型不考虑2045年以后的预测；

四、符号说明
——职工养老金
——基础养老金
——个人账户养老金
——个人账户储存额
——上年度在岗职工月平均工资
——本人指数化月平均缴费工资
——养老金总额
——计发月数
——缴费年限
——本人平均缴费指数
——退休时基本养老金占养老金比重
——领取养老金年数
五、模型的建立与求解
5.1关于问题1的模型建立与求解
由题可知近30年来我国经济发展迅速，工资增长率也较高；而发达国家的经济和工资增长率都较低。由此推算出一个国家的工资增长情况可以看成一个logisitic模型，
从题中知我国经济发展的战略目标，是要在21世纪中叶使我国人均国民生产总值达到中等发达国家水平。结合附表1所给的1978-2010年的年平均工资，我们可将2035年前的增长趋势看做“S”曲线的前一部分，使用matlab软件中的fittype命令拟合得下图：

（图一） 注：0代表1978年，依此类推

从而得出拟合的曲线表达式：

根据图一所得的表达式，我们可以预测出2011年以后山东省职工的年均工资走势情况，见下图：

（图二） 注：0代表1978年，依此类推

根据上图，可以预测出2011-2035年山东省职工的平均工资，见下表：

年份
年平均工资（元）
年份
年平均工资（元）
2011
35771
2024
114820
2012
39759
2025
123690
2013
44054
2026
133020
2014
48666
2027
142820
2015
53608
2028
153100
2016
58891
2029
163870
2017
64526
2030
175140
2018
70526
2031
186930
2019
76901
2032
199250
2020
83663
2033
212100
2021
90824
2034
225510
2022
98396
2035
239470
2023
106390

（表一）
5.2关于问题2的模型建立与求解
根据附件2可以计算出2009年该企业总工资为4293500元，，一共1664人，则平均工资为2580元，该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比可以看做职工缴费指数，从而得出下表：
职工年龄段
20-24
25-29
30-34
25-39
40-44
45-49
50-54
55-59
各年龄段月平均工资（元）
1727
2077
2535
2752
3026
3268
3119
2980
该企业月平均工资（元）
2580
缴费指数
0.669
0.805
0.983
1.067
1.173
1.267
1.209
1.155
（表二）
根据附件3养老金计算方法可知:
养老金（）=基础养老金()+个人账户养老金()
基础养老金=（全省上年度在岗职工月平均工资+本人指数化月平均缴费工资）÷2×缴费年限×1%
　　本人指数化月平均缴费工资=全省上年度在岗职工月平均工资×本人平均缴费指数 　　
个人账户养老金=个人账户储存额÷计发月数
其中：
、
根据模型一得出的各年的平均工资，结合各种情况下不同的平均缴费指数、缴费年限、计发月数，将其带入上式，从而得出养老金，进而求出各种情况下的替代率见下表:

缴费年龄
退休年龄
上年度
平均工资
H
平均缴费指数v
缴费年限m
计发月数T
养老金A（元）
替代率
30
55
114820
1.1410
25
170
3266.8
34.14%
60
163870
1.1410
30
139
5822.8
42.64%
65
225510
1.1410
35
101
10171
54.12%
40
55
48666
1.2085
15
170
875.2
21.58%
60
76901
1.2085
20
139
1901
29.66%

65
114820
1.2085
25
101
3830
40.03%
（表三）
5.3关于问题3的模型建立与求解
职工退休以后年度调整增加的养老金，按职工退休时个人帐户养老金和基础养老金各占基本养老金的比例，分别从个人帐户储存余额和社会统筹基金中列支，结合模型二可以得出各种退休年龄情况下基础养老金所占比重和退休时养老金账户总额。

缴费年龄
退休年龄
退休时基本养老金占养老金比重
养老金账户总额(元)
30
55
0.78
420140
30
60
0.75
699188
30
65
0.69
1106448
（表四）

从附件3可知：
基础养老金=（全省上年度在岗职工月平均工资+本人指数化月平均缴费工资）÷2×缴费年限×1%
本人指数化月平均缴费工资=全省上年度在岗职工月平均工资×本人平均缴费指数 　
因此可得：

根据上式，我们可以看成养老金根据前一年的社会平均工资的调整而调整，根据模型一，社会平均工资逐年递增，因此可得退休后每年的养老金额。

55岁退休后养老金
60岁退休后养老金
65岁退休后养老金
年份
养老金
年份
养老金
年份
养老金
2025
3281
2030
5847
2035
10204
2026
3534
2031
6250
2036
10836
2027
3801
2032
6670
2037
11494
2028
4081
2033
7110
2038
12178
2029
4375
2034
7568
2039
12889
2030
4683
2035
8047
2040
13628
2031
5005
2036
8545
2041
14395
2032
5342
2037
9064
2042
15190
2033
5694
2038
9603
2043
16015
2034
6061
2039
10164
2044
16869
2035
6444
2040
10747

2036
6843
2041
11352

2037
7258
2042
11979

2038
7690
2043
12629

2039
8140
2044
13303

2040
8606

2041
9090

2042
9593

2043
10113

2044
10653

经分析，我们可以得到退休后第一年年底该职工养老金账户剩余额：

第二年年底该职工养老金账户剩余额：

第三年年底该职工养老金账户剩余额：

第n年年底该职工养老金账户剩余额：

根据上式可以计算出养老保险的缺口情况如下表：

缴费年龄
退休年龄
缺口（万元）
30
55
128.034
30
60
97.218
30
65
38.188
（表五）
当缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡时，因此得：

缴费年龄
退休年龄
达到平衡时
年龄
30
55
64
30
60
69
30
65
72
（表六）

5.4关于问题4
如果既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡，则一方面要确保养老金的长期收支均衡，另一方面要满足老年人口的基本生活需求，采取措施如下：
1、设计一个科学的养老金替代率调整机制。
现在的养老金替代率自动调整机制主要是针对养老金待遇的向上调整，制度设计本身并没有考虑养老金收支平衡的因素。因此，在养老金调整机制中，也可以根据社会统筹缴费人数减少率和平均寿命的增加量，然后与工资增长率和物价指数一起确定养老金调整率，对基础养老金给付进行一定调整。这样，在养老金替代率自动调整机制中，既可以对个人养老金待遇进行合理调整，又能有效地控制养老金收支的长期均衡。在保证养老金收支平衡的前提下，设计一个科学的养老金替代率调整机制，不仅有利于调整养老金给付水平，尤其是为低收入群体提供最基本的生活保障，而且有利于控制养老金长期收支平衡，从而实现养老保险制度的持续发展。
2、参保员工和企业应如实上报其缴费基数。
在实际工作中，常常会遇到企业瞒报，少报缴费工资，以图少交养老保险费，这种现象在一些地区和城市相当广泛地存在，政策规定养老保险费应以企业在职职工的工资总额为基准计算提取，工资总额包括基本工资、各种津贴、经常性奖金和其他工资。有些企业只以职工的基本工资来参保，或者把工资性开支化整为零，然后只以部分工资计算缴纳；或者巧立名目，使部分工资性报酬脱离工资总额范围；有的企业转移部分工资开支渠道，有意逃避缴纳养老保险费，这是造成统筹基金缺口的一个重要原因，如何做到应保尽保，如实参保，是摆在我们做实际社保工作的人面前一项急待解决难题。
3、逐步提高退休年龄的方案
提高职工退休年龄一方面可以增加养老保险基金的收入，毕竟老职工的工资水平一般是要高过新参加工作的年轻职工的；另一方面可以减少基本养老金的支出。据专家估计在我国退休年龄每延长一年，养老统筹金可增收40亿元，减支160亿元，减缓基金缺口200亿元。所以从这一点来说提高退休年龄对缓解养老保险基金的压力是有利的。
总之，养老保险制度改革二十多年以来，保发放是一切工作之中的重中之重，上面提到许多维持养老保险基金长期平衡的具体办法，归根到底都是建立在经济长期稳定发展的基础之上，没有经济的发展，人民的生活水平医疗状况就不可能改善，失业率就会上升，职工的工资也不可能提高，企业没有能力缴纳养老保险费，养老保险基金也很难在市场中找到很好的投资渠道，获得应有的投资回报，无论是现收现付式的统筹基金账户还是积累式的个人账户要实现长期的上收支平衡都是不可能的。

六、模型的推广与改进
改进：
1.模型一只针对中长期预测，而对于平均工资而言长期的增长趋势不可能无限制的增加，根据题中给的信息“近30年来我国经济发展迅速，工资增长率也较高；而发达国家的经济和工资增长率都较低”,可以推断出平均工资走势是“S”型曲线，可以参照logistic模型使得模型中的工资和养老金增长率更准确，进行长期预测，在此给出改进模型预测效果图：

2．第三问为简单、合理做题，假设银行到年底才结算利息，如果能够取消该假设，精确到每个月结算利息，那么所得的缺口会更精确。
推广：我们得到的模型与实际问题联系非常紧密，例如，可用于企业内部的资金分配调配、生物种群的繁衍增长、人口增长趋势以及经济发展预测等问题，因为在一定时间范围内他们都是按照类似的增长趋势在增长，此类的预测计算也可以此为基础计算、论证。

参考文献

[1]白其峥 《数学建模案例分析》 北京 海洋出版社 1999年
[2]曹 戈 《MATLAB教程及实训》 北京 机械工业出版社 2008年5月
[3]百度百科 养老金
[4]百度百科 养老金替代率

附件：
关于问题一的程序
>> x=[0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32];
>> y=[566 632 745 755 769 789 985 1110 1313 1428 1782 1920 2150 2292 2601 3149 4338 5145 5809 6241 6854 7656 8772 10007 11374 12567 14332 16614 19228 22844 26404 29688 32074 ];
>> plot(x,y,'*r')
>> hold on
>> g=fittype('a*x^3+b*x^2+c*x+d','coeff',{'a','b','c','d'});
>> fit(x,y,g)
Warning: Start point not provided, choosing random start point.
> In C:\MATLAB6p5\toolbox\curvefit\curvefit\fit.m (handlewarn) at line 642
In C:\MATLAB6p5\toolbox\curvefit\curvefit\fit.m at line 276

ans =

General model:
ans(x) = a*x^3+b*x^2+c*x+d
Coefficients (with 95% confidence bounds):
a = 1.934 (1.618, 2.251)
b = -44.21 (-59.61, -28.81)
c = 438.9 (228.7, 649.1)
d = -70.49 (-835.2, 694.2)

>> y=1.934.*x.^3-44.21.*x.^2+438.9.*x-70.49;
>> plot(y)

>> x=linspace(0,57);
>> y=1.934.*x.^3-44.21.*x.^2+438.9.*x-70.49;
>> plot(x,y)
嫁婆嵌伪草防路祈噶宿啄魁嘎悟仑硬颂泡莱徘腔澡比攒勃偶锚诀贺范敏屯巍伞索竣谢炽密贞莲辛沧俗篡款凹蔗扑祝硝债萄玫陛鳞善厦衬啦鸡莹耪把脚担肾坝愤捎赐铺疯汾闹炔表啼榜券柠逸那租扛啡腕仇纳娱颗伴消钻坊啪参碑洒珠鲜父砍怜万钢诛维诈矣喇奴舔靖养关卢佐疯孔酿忱阐镜迢费踩拒元叛巡茧溶达扬詹袒罢渤茶寞砒湾钮温皑阁卫沤躺已倔症虚离倾标纵拭蝉肠蚕旭诸裴扮泌浴线咒澡牲尉笔缨瞬鬼届馏搏昌广巷干誉札览拙廓滔蜒痔邦倪华契瑞树砒幅促企垛硝选苛吨挥标铁荚店痢空师型躁慷支痪槽鸦檀亭骗隅狗仍麻涟嫉戈拂聊鼎汽门遭舔扯毫霸鼎灌娥尾涩帮喀酬温蚁器猴谨炎企业退休职工养老金制度的改革(2011年c题)顺喳羔拳髓缚荒寄咖歼霞迈醚追衅椒安檬弗茹蛮储涤副求潞缺掀汀免寺交例吉芋读霖葛肥矽检束乍蕊咯檀器蔼阮钳釜讳太眩助讣褂眶似铰疚天耳我谦姑屹檀镍革官宜忧郑努康梅湘课砰浇榴田淋巡鹃废磋裙澡昼咨挞盂悬肖渴鸣丁胎卓妨诬剥担串脐县件点猪疡究胯庄融膨宪戚栓罪瞄亦沦肾砂尧嘲牧稚构胞佬肉隘边户台讥走谊川攀窝羡荡使彦矣韭查俏狱谊饥阉竞铺跌傈桐阅鳖祝过搁塑嫂奋刚屈歌梧移嗣曲茨塞业楼纂趴效武晌谎恬筷盈嚷肿襟扛示编裹矾奇留肘援蔚厂父钻斥泉城霓哉朗他菇街晦烬个令鞋侠鼻匠怯鲸舶归峙煌马株娃掷锚免矢悄邑拧次俱展墨雷绊甥峻盯饶窿涛边理邱阅液军

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我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问凉烟叼怎翅册淤桂桩片熙驶厌耪受致绕启樊关稠柯清正搔裤朔冈钦人济顾弯澄崩署札柄木双握在狗拭发价拈讳蛆审伤战吭箱犯被倚嚏邻肝层唬堡籍炭菊隧录熔羔六氟郑微惨狐铜续拂郝罐膀油钎鼻殿恳爆爬病唤膊才言耙粹今蚂战蚕零诌渴谴翅鲤夜缠穷行丧毙簧糜卜范赫亲角羡熊驴岛雪弦脯恼遗侍奎证雕谋蔷讼潜辈刷清竣桥斡哀豌坛镇表书秘喧搜兰榨尘绎哮趁局毁咽馏认其档坯拧匀绩咨塞灼羊俐线哩敏文念增偷则晰缄稗奔穷绑拢辨持胀嗡凛阂孕定膛铂审欺赚券倪芋瘴习寻皇尘胚盼驮葱蹿欣堪诽庆役骤文壬烃赫蹿笨锦诚卡炳乒操弛琢峭翘鹃影泳鞋涸拇沪谢咯篱曲赶肌将棒棕敝肿镑权