人教七年级下册数学期末质量检测卷及答案.doc

人教七年级下册数学期末质量检测卷及答案
一、选择题
1．如图，的同位角是（ ）

A． B． C． D．
2．在下面的四幅图案中，能通过图案（1）平移得到的是（ ）

A． B． C． D．
3．若点P在x轴的下方，y轴的右方，到x轴、y轴的距离分别是3和4，则点P的坐标为（ ）
A．（4，﹣3） B．（﹣4，3） C．（﹣3，4） D．（3，4）
4．下列命题：①平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；②经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；③垂线段最短；④同旁内角互补．其中，正确命题的个数有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
5．已知，如图，点D是射线上一动点，连接，过点D作交直线于点E，若，，则的度数为（ ）

A． B． C．或 D．或
6．下列各式中,正确的是( )
A．=±4 B．±=4 C． D．
7．已知：如图，AB∥EF，CD⊥EF，∠BAC=30°，则∠ACD=（ ）

A．100° B．110° C．120° D．130°
8．如图，长方形BCDE的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙分别由点A（2，0）同时出发，沿长方形BCDE的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2021次相遇地点的坐标是（ ）

A．（2 ，1） B．（－1，－1）
C．（﹣2，0） D．（2，0）
九、填空题
9．若，则x+y+z=________．
十、填空题
10．若点P(a,b)关于y轴的对称点是P1 ,而点P1关于x轴的对称点是P ,若点P的坐标为(-3,4),则a=_____,b=______
十一、填空题
11．如图，AD、AE分别是△ABC的角平分线和高，∠B＝50°，∠C＝70°，则∠DAE＝_____________°．

十二、填空题
12．如图，AB∥DE，AD⊥AB，AE平分∠BAC交BC于点F，如果∠CAD=24°，则∠E＝___°．

十三、填空题
13．如图，在中，，点D是的中点，点E在上，将沿折叠，若点B的落点在射线上，则与所夹锐角的度数是________．

十四、填空题
14．规定，，例如：，，通过观察，那么______．
十五、填空题
15．在平面直角坐标系中，已知点P（﹣2，3），PA∥y轴，PA=3，则点A的坐标为__．
十六、填空题
16．如图：在平面直角坐标系中，已知P1（﹣1，0），P2（﹣1，﹣1），P3（1，﹣1），P4（1，1），P5（﹣2，1），P6（﹣2，﹣2）…，依次扩展下去，则点P2021的坐标为 _____________．

十七、解答题
17．（1）计算：
（2）解方程：
十八、解答题
18．求下列各式中的 ．
（1） （2）
十九、解答题
19．完成下面的证明．
如图，AB∥CD，∠B+∠D＝180°，求证：BE∥DF．
分析：要证BE∥DF，只需证∠1＝∠D．
证明：∵AB∥CD（已知）
∴∠B+∠1＝180°（ 　 　）
∵∠B+∠D＝180°（已知）
∴∠1＝∠D（ 　 　）
∴BE∥DF（ 　 　）

二十、解答题
20．在平面直角坐标系中，已知O，A，B，C四点的坐标分别为O（0，0），A（0，3），B（－3，3），C（－3，0）．
（1）在平面直角坐标系中，描出O，A，B，C四点；
（2）依次连接OA，AB，BC，CO后，得到图形的形状是___________．

二十一、解答题
21．已知a是的整数部分，b是的小数部分．
（1）求a，b的值；
（2）求的平方根．
二十二、解答题
22．如图,8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形,
（1）每块小长方形地砖的长和宽分别是多少?(要求列方程组进行解答)
（2）小明想用一块面积为7平方米的正方形桌布，沿着边的方向裁剪出一块新的长方形桌布，用来盖住这块长方形木桌，你帮小明算一算，他能剪出符合要求的桌布吗？

二十三、解答题
23．综合与实践
背景阅读：在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系有相交、平行，若两条不重合的直线只有一个公共点，我们就说这两条直线相交，若两条直线不相交，我们就说这两条直线互相平行两条直线的位置关系的性质和判定是几何的重要知识，是初中阶段几何合情推理的基础．
已知：AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．
问题解决：（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系；
（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD＝∠C；
（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，则∠EBC＝ ．

二十四、解答题
24．已知，点为平面内一点，于．

（1）如图1，点在两条平行线外，则与之间的数量关系为______；
（2）点在两条平行线之间，过点作于点．
①如图2，说明成立的理由；
②如图3，平分交于点平分交于点．若，求的度数．
二十五、解答题
25．已知ABCD，点E是平面内一点，∠CDE的角平分线与∠ABE的角平分线交于点F．
（1）若点E的位置如图1所示．
①若∠ABE=60°，∠CDE=80°，则∠F= °；
②探究∠F与∠BED的数量关系并证明你的结论；
（2）若点E的位置如图2所示，∠F与∠BED满足的数量关系式是 ．
（3）若点E的位置如图3所示，∠CDE 为锐角且，设∠F=α，则α的取值范围为 ．

【参考答案】
一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
根据同位角的定义即可求出答案．
【详解】
解：两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，被截两直线的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角．即是的同位角．
故选：B．
【点睛】
本题考查同位角的定义，解题的关键是：熟练理解同位角的定义．
2．C
【分析】
平移前后形状与大小没有改变，并且对应点的连线平行且相等的图形即可．
【详解】
解：A、对应点的连线相交，不能通过平移得到，不符合题意；
B、对应点的连线相交，不能通过平移得到，不符合题
解析：C

【分析】
平移前后形状与大小没有改变，并且对应点的连线平行且相等的图形即可．
【详解】
解：A、对应点的连线相交，不能通过平移得到，不符合题意；
B、对应点的连线相交，不能通过平移得到，不符合题意；
C、可通过平移得到，符合题意；
D、对应点的连线相交，不能通过平移得到，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了平移变换，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．
3．A
【分析】
根据点的坐标的几何意义及点在第四象限内的坐标符号的特点解答即可．
【详解】
点P在x轴的下方，y轴的右方，
点P在第四象限，
又点P到x轴、y轴的距离分别是3和4，
点P的横坐标是4，纵坐标是-3，
即点P的坐标为，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了点在在第四象限内的坐标符号，以及横坐标的绝对值解释到y轴的距离，纵坐标的绝对值就是到x轴的距离．
4．A
【分析】
根据垂直的性质、平行公理、垂线段的性质及平行线的性质逐一判断即可得答案．
【详解】
平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；故①正确，
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，故②正确
垂线段最短，故③正确，
两直线平行，同旁内角互补，故④错误，
∴正确命题有①②③，共3个，
故选：A．
【点睛】
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
5．D
【分析】
分点D在线段AB上及点D在线段AB的延长线上两种情况考虑：当点D在线段AB上时，由DE∥BC可得出∠ADE的度数，结合∠ADC=∠ADE+∠CDE可求出∠ADC的度数；当点D在线段AB的延长线上时，由DE∥BC可得出∠ADE的度数，结合∠ADC=∠ADE-∠CDE可求出∠ADC的度数．综上，此题得解．
【详解】
解：当点D在线段AB上时，如图1所示．

∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠ABC=84°，
∴∠ADC=∠ADE+∠CDE=84°+20°=104°；
当点D在线段AB的延长线上时，如图2所示．

∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠ABC=84°，
∴∠ADC=∠ADE-∠CDE=84°-20°=64°．
综上所述：∠ADC=104°或64°．
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，分点D在线段AB上及点D在线段AB的延长线上两种情况，求出∠ADC的度数是解题的关键．
6．C
【分析】
根据算术平方根与平方根、立方根的定义逐项判断即可得．
【详解】
A、，此项错误；
B、，此项错误；
C、，此项正确；
D、，此项错误；
故选：C．

【点睛】
本题考查了算术平方根与平方根、立方根，熟记各定义是解题关键．
7．C
【分析】
如图，过点C作，利用平行线的性质得到，，则易求∠ACD的度数．
【详解】
解：过点C作，则，

，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行线的性质．该题通过作辅助线，将转化为（＋90°）来求．
8．B
【分析】
根据题意得：矩形的边长为4和2，物体乙是物体甲的速度的2倍，时间相同，
∴物体甲与物体乙的路程比为1：2，可得到物体甲和物体乙第一次相遇点为（-1，1）；第二次相遇点为（-1，-1）；
解析：B
【分析】
根据题意得：矩形的边长为4和2，物体乙是物体甲的速度的2倍，时间相同，
∴物体甲与物体乙的路程比为1：2，可得到物体甲和物体乙第一次相遇点为（-1，1）；第二次相遇点为（-1，-1）；第三次相遇点为（2，0）；由此得出规律，即可求解．
【详解】
根据题意得：矩形的边长为4和2，物体乙是物体甲的速度的2倍，时间相同，
∴物体甲与物体乙的路程比为1：2，由题意知：
第一次相遇物体甲与物体乙运动的路程和为 ，物体甲运动的路程为，物体乙运动的路程为 ，此时在BC边相遇，即第一次相遇点为（-1，1）；
第二次相遇物体甲与物体乙运动的路程和为 ，物体甲运动的路程为，物体乙运动的路程为，在DE边相遇，即第二次相遇点为（-1，-1）；
第三次相遇物体甲与物体乙运动的路程和为 ，物体甲运动的路程为，物体乙运动的路程为，在A点相遇，即第三次相遇点为（2，0）；
此时甲乙回到原出发点，则每相遇三次，两点回到出发点，
∵ ，
故两个物体运动后的第2021次相遇地点的是：第二次相遇地点，即点（-1，-1）
故选：B
【点睛】
本题主要考查了点的变化规律，以及行程问题中的相遇问题，通过计算发现规律就可以解决问题，解题的关键是找出规律每相遇三次，甲乙两物体同时回到原点．
九、填空题
9．6
【分析】
根据非负数的性质列出方程求出x、y、z的值，代入所求代数式计算即可．
【详解】
解：∵
∴x-1=0，y2=0，z-3=0，
∴x=1，y=2，z=3．
∴x+y+z=1+2+3=6
解析：6
【分析】
根据非负数的性质列出方程求出x、y、z的值，代入所求代数式计算即可．
【详解】
解：∵
∴x-1=0，y-2=0，z-3=0，
∴x=1，y=2，z=3．
∴x+y+z=1+2+3=6．
【点睛】
本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
十、填空题
10．a=3 b=-4
【分析】
先求得P1的坐标,再根据点P1关于x轴的对称点是P,则即可求得a与b的值
【详解】
由于P1与P2关于x轴对称，P2的坐标为（-3，4）则P1的坐标为（-
解析：a=3 b=-4
【分析】
先求得P1的坐标,再根据点P1关于x轴的对称点是P,则即可求得a与b的值
【详解】
由于P1与P2关于x轴对称，P2的坐标为（-3，4），则P1的坐标为（-3，-4），
点P（a，b）关于y轴对称的点是P1，则P点的坐标为（3，-4），
则a=3，b=-4.
【点睛】
此题考查关于x轴、y轴对称的点的坐标，难度不大
十一、填空题
11．10
【分析】
根据三角形内角和定理求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠BAD，根据直角三角形两锐角互余求出∠BAE，然后求解即可．
【详解】
解：∵∠B=50°，∠C=70°，
∴∠BAC=1
解析：10
【分析】
根据三角形内角和定理求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠BAD，根据直角三角形两锐角互余求出∠BAE，然后求解即可．
【详解】
解：∵∠B=50°，∠C=70°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-50°-70°=60°，
∵AD是角平分线，
∴∠BAD=∠BAC=×60°=30°，
∵AE是高，
∴∠BAE=90°-∠B=90°-50°=40°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=40°-30°=10°．
故答案为：10．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线、高线的定义直角三角形两锐角互余的性质，熟记定理并准确识图是解题的关键．
十二、填空题
12．33
【分析】
由题意易得∠BAD=90°，则有∠BAC=66°，然后根据角平分线的定义可得∠BAE=33°，进而根据平行线的性质可求解．
【详解】
解：∵AD⊥AB，
∴∠BAD=90°，
∵∠C
解析：33
【分析】
由题意易得∠BAD=90°，则有∠BAC=66°，然后根据角平分线的定义可得∠BAE=33°，进而根据平行线的性质可求解．
【详解】
解：∵AD⊥AB，
∴∠BAD=90°，
∵∠CAD=24°，
∴∠BAC=66°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE=33°，
∵AB∥DE，
∴∠E=∠BAE=33°，
故答案为33．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质、角平分线的定义及垂线的定义，熟练掌握平行线的性质、角平分线的定义及垂线的定义是解题的关键．
十三、填空题
13．．
【分析】
根据折叠可得三角形全等，根据全等三角形的性质以及中点的性质可得， ，由等腰三角形性质以及三角形外角定理求得度数，在中根据内角和即可求得与所夹锐角的度数．
【详解】
如下图，连接DE，与
解析：．
【分析】
根据折叠可得三角形全等，根据全等三角形的性质以及中点的性质可得， ，由等腰三角形性质以及三角形外角定理求得度数，在中根据内角和即可求得与所夹锐角的度数．
【详解】
如下图，连接DE，与相交于点O，

将 △BDE 沿 DE 折叠，
，
,
又∵D为BC的中点，，
，
,
,
,
即与所夹锐角的度数是．
故答案为：．
【点睛】
本题考察了轴对称的性质、全等三角形的性质、中点的性质、三角形的外角以及内角和定理，综合运用以上性质定理是解题的关键．
十四、填空题
14．【分析】
由题干得到,将原式进行整理化简即可求解.
【详解】
∵，
∴，
∴
．
【点睛】
本题考查了归纳概括,找到互为倒数的两个数之和为1是解题关键.
解析：
【分析】
由题干得到,将原式进行整理化简即可求解.
【详解】
∵，
∴，
∴
．
【点睛】
本题考查了归纳概括,找到互为倒数的两个数之和为1是解题关键.
十五、填空题
15．（-2，6）或（-2，0）．
【分析】
根据平行于y轴的直线上点的横坐标相等，到一点距离相等的点有两个，位于该点的上下，可得答案．
【详解】
解：由点P（-2，3），PA∥y轴，PA=3，得
在P点
解析：（-2，6）或（-2，0）．
【分析】
根据平行于y轴的直线上点的横坐标相等，到一点距离相等的点有两个，位于该点的上下，可得答案．
【详解】
解：由点P（-2，3），PA∥y轴，PA=3，得
在P点上方的A点坐标（-2，6）
在P点下方的A点坐标（-2，0），
故答案为：（-2，6）或（-2，0）．
【点睛】
本题考查了点的坐标，掌握平行于y轴的直线上点的横坐标相等是解题关键，注意到一点距离相等的点有两个，以防遗漏．
十六、填空题
16．（﹣506，505）
【分析】
根据各个点的位置关系，可得出下标为4的倍数的点在第一象限，被4除余1的点在第二象限，被4除余2的点在D第三象限，被4除余3的点在第四象限，点P2021的在第二象限，且
解析：（﹣506，505）
【分析】
根据各个点的位置关系，可得出下标为4的倍数的点在第一象限，被4除余1的点在第二象限，被4除余2的点在D第三象限，被4除余3的点在第四象限，点P2021的在第二象限，且纵坐标＝2020÷4，再根据第二项象限点的规律即可得出结论．
【详解】
解：∵P1（﹣1，0），P2（﹣1，﹣1），P3（1，﹣1），P4（1，1），P5（﹣2，1），P6（﹣2，﹣2）…，
∴下标为4的倍数的点在第一象限，被4除余1的点在第二象限，被4除余2的点在第三象限，被4除余3的点在第四象限，
∵2021÷4＝505…1，
∴点P2021在第二象限，
∵点P5（﹣2，1），点P9（﹣3，2），点P13（﹣4，3），
∴点P2021（﹣506，505），
故答案为：（﹣506，505）．
【点睛】
本题考查了规律型：点的坐标，是一个阅读理解，猜想规律的题目，解答此题的关键是首先确定点所在的大致位置，该位置处点的规律，然后就可以进一步推得点的坐标．
十七、解答题
17．（1）；（2）x=
【分析】
（1）先算乘方、绝对值和开方，再算乘法，最后算加减；
（2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解是多少即可．
【详解】
解：（1）
=
=
解析：（1）；（2）x=
【分析】
（1）先算乘方、绝对值和开方，再算乘法，最后算加减；
（2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解是多少即可．
【详解】
解：（1）
=
=
=；
（2）
去分母，可得：3（x+1）-6=2（2-3x），
去括号，可得：3x+3-6=4-6x，
移项，可得：3x+6x=4-3+6，
合并同类项，可得：9x=7，
系数化为1，可得：x=．
【点睛】
此题主要考查了实数的混合运算，解一元一次方程的方法，要熟练掌握，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
十八、解答题
18．（1）或；（2）．
【分析】
（1）先将方程进行变形，再利用平方根的定义进行求解即可；
（2）先将方程进行变形，再利用立方根的定义进行求解即可．
【详解】
解：（1），
∴，
∴；
（2），
∴，
解析：（1）或；（2）．
【分析】
（1）先将方程进行变形，再利用平方根的定义进行求解即可；
（2）先将方程进行变形，再利用立方根的定义进行求解即可．
【详解】
解：（1），
∴，
∴；
（2），
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了平方根与立方根，理解相关定义是解决本题的关键．
十九、解答题
19．两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等；同位角相等，两直线平行
【分析】
要证BE∥DF，只需证∠1＝∠D，由AB∥CD可知∠B+∠1＝180°，又有∠B+∠D＝180°，由此即可证得．
【详解】
解析：两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等；同位角相等，两直线平行
分析】
要证BE∥DF，只需证∠1＝∠D，由AB∥CD可知∠B+∠1＝180°，又有∠B+∠D＝180°，由此即可证得．
【详解】
证明：∵AB∥CD（已知）
∴∠B+∠1＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠B+∠D＝180°（已知）
∴∠1＝∠D（同角的补角相等），
∴BE∥DF（同位角相等，两直线平行）
故答案为：两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等；同位角相等，两直线平行．

【点睛】
本题主要考查了平行线的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
二十、解答题
20．（1）见解析；（2）正方形
【分析】
（1）根据平面直角坐标系找出各点的位置即可；
（2）观察图形可知四边形ABCO是正方形．
【详解】
解：（1）如图．
（2）四边形ABCO是正方形．
【点睛】
解析：（1）见解析；（2）正方形
【分析】
（1）根据平面直角坐标系找出各点的位置即可；
（2）观察图形可知四边形ABCO是正方形．
【详解】
解：（1）如图．

（2）四边形ABCO是正方形．
【点睛】
本题考查了坐标与图形性质，能够准确在平面直角坐标系中找出点的位置是解题的关键．
二十一、解答题
21．（1）a=2，b=；（2）±3
【分析】
（1）首先估算出的范围，从而得到和的范围，可得a，b值；
（2）将a，b的值代入计算，再求平方根即可．
【详解】
解：（1）∵，
∴，
∴，，
∴a=2，b
解析：（1）a=2，b=；（2）±3
【分析】
（1）首先估算出的范围，从而得到和的范围，可得a，b值；
（2）将a，b的值代入计算，再求平方根即可．
【详解】
解：（1）∵，
∴，
∴，，
∴a=2，b=；
（2）
=
=
∴的平方根为±3．
【点睛】
此题主要考查了估算无理数的大小，平方根的定义，正确得出a，b的值是解题关键．
二十二、解答题
22．(1) 长是1.5m,宽是0.5m.；（2）不能.
【解析】
【分析】
（1）设每块小长方形地砖的长为xm,宽为ym,列方程组求解即可；
（2）把正方形的边长与大长方形的长比较即可.
【详解】
解:
解析：(1) 长是1.5m,宽是0.5m.；（2）不能.
【解析】
【分析】
（1）设每块小长方形地砖的长为xm,宽为ym,列方程组求解即可；
（2）把正方形的边长与大长方形的长比较即可.
【详解】
解:（1）设每块小长方形地砖的长为xm,宽为ym,由题意得: 
, 
解得:, 
∴长是1.5m,宽是0.5m.
（2）∵正方形的面积为7平方米，
∴正方形的边长是米，
∵<3,
∴他不能剪出符合要求的桌布.
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，算术平方根的应用，找出等量关系列出方程组是解（1）的关键，求出正方形的边长是解（2）的关键.
二十三、解答题
23．（1）；（2）见解析；（3）105°
【分析】
（1）通过平行线性质和直角三角形内角关系即可求解．
（2）过点B作BG∥DM，根据平行线找角的联系即可求解．
（3）利用（2）的结论，结合角平分线性质
解析：（1）；（2）见解析；（3）105°
【分析】
（1）通过平行线性质和直角三角形内角关系即可求解．
（2）过点B作BG∥DM，根据平行线找角的联系即可求解．
（3）利用（2）的结论，结合角平分线性质即可求解．
【详解】
解：（1）如图1，设AM与BC交于点O,∵AM∥CN，
∴∠C＝∠AOB，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴∠A＋∠AOB＝90°，
∠A＋∠C＝90°，
故答案为：∠A＋∠C＝90°；
（2）证明：如图2，过点B作BG∥DM，

∵BD⊥AM，
∴DB⊥BG，
∴∠DBG＝90°，
∴∠ABD＋∠ABG＝90°，
∵AB⊥BC，
∴∠CBG＋∠ABG＝90°，
∴∠ABD＝∠CBG，
∵AM∥CN，
∴∠C＝∠CBG，
∴∠ABD＝∠C；
（3）如图3，过点B作BG∥DM，

∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，
∴∠DBF＝∠CBF，∠DBE＝∠ABE，
由（2）知∠ABD＝∠CBG，
∴∠ABF＝∠GBF，
设∠DBE＝α，∠ABF＝β，
则∠ABE＝α，∠ABD＝2α＝∠CBG，
∠GBF＝∠AFB＝β，
∠BFC＝3∠DBE＝3α，
∴∠AFC＝3α＋β，
∵∠AFC＋∠NCF＝180°，∠FCB＋∠NCF＝180°，
∴∠FCB＝∠AFC＝3α＋β，
△BCF中，由∠CBF＋∠BFC＋∠BCF＝180°得：2α＋β＋3α＋3α＋β＝180°，
∵AB⊥BC，
∴β＋β＋2α＝90°，
∴α＝15°，
∴∠ABE＝15°，
∴∠EBC＝∠ABE＋∠ABC＝15°＋90°＝105°．
故答案为：105°．
【点睛】
本题考查平行线性质，画辅助线，找到角的和差倍分关系是求解本题的关键．
二十四、解答题
24．（1）∠A+∠C=90°；（2）①见解析；②105°
【分析】
（1）根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可；
（2）①过点B作BG∥DM，根据平行线找角的联系即可求解；②先过点B作BG∥
解析：（1）∠A+∠C=90°；（2）①见解析；②105°
【分析】
（1）根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可；
（2）①过点B作BG∥DM，根据平行线找角的联系即可求解；②先过点B作BG∥DM，根据角平分线的定义，得出∠ABF=∠GBF，再设∠DBE=α，∠ABF=β，根据∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得2α+β+3α+3α+β=180°，根据AB⊥BC，可得β+β+2α=90°，最后解方程组即可得到∠ABE=15°，进而得出∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．
【详解】
解：（1）如图1，AM与BC的交点记作点O，
∵AM∥CN，
∴∠C=∠AOB，
∵AB⊥BC，
∴∠A+∠AOB=90°，
∴∠A+∠C=90°；

（2）①如图2，过点B作BG∥DM，

∵BD⊥AM，
∴DB⊥BG，
∴∠DBG=90°，
∴∠ABD+∠ABG=90°，
∵AB⊥BC，
∴∠CBG+∠ABG=90°，
∴∠ABD=∠CBG
∵AM∥CN，BG∥DM，

∴∠C=∠CBG，
∠ABD=∠C；
②如图3，过点B作BG∥DM，

∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，
∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，
由（2）知∠ABD=∠CBG，
∴∠ABF=∠GBF，
设∠DBE=α，∠ABF=β，
则∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG，
∠GBF=∠AFB=β，
∠BFC=3∠DBE=3α，
∴∠AFC=3α+β，
∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°，
∴∠FCB=∠AFC=3α+β，
△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°得：
2α+β+3α+3α+β=180°，
∵AB⊥BC，
∴β+β+2α=90°，
∴α=15°，
∴∠ABE=15°，
∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，运用等角的余角（补角）相等进行推导．余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．解题时注意方程思想的运用．
二十五、解答题
25．（1）①70；②∠F=∠BED，证明见解析；（2）2∠F+∠BED=360°；（3）
【分析】
（1）①过F作FG//AB，利用平行线的判定和性质定理得到∠DFB=∠DFG+∠BFG=∠CDF+∠A
解析：（1）①70；②∠F=∠BED，证明见解析；（2）2∠F+∠BED=360°；（3）
【分析】
（1）①过F作FG//AB，利用平行线的判定和性质定理得到∠DFB=∠DFG+∠BFG=∠CDF+∠ABF，利用角平分线的定义得到∠ABE+∠CDE=2∠ABF+2∠CDF=2（∠ABF+∠CDF），求得∠ABF+∠CDF=70，即可求解；
②分别过E、F作EN//AB，FM//AB，利用平行线的判定和性质得到∠BED=∠ABE+∠CDE，利用角平分线的定义得到∠BED=2（∠ABF+∠CDF），同理得到∠F=∠ABF+∠CDF，即可求解；
（2）根据∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点F，过点E作EG∥AB，则∠BEG+∠ABE=180°，因为AB∥CD，EG∥AB，所以CD∥EG，所以∠DEG+∠CDE=180°，再结合①的结论即可说明∠BED与∠BFD之间的数量关系；
（3）通过对的计算求得，利用角平分线的定义以及三角形外角的性质求得，即可求得．
【详解】
（1）①过F作FG//AB，如图：

∵AB∥CD，FG∥AB，
∴CD∥FG，
∴∠ABF=∠BFG，∠CDF=∠DFG，
∴∠DFB=∠DFG+∠BFG=∠CDF+∠ABF，
∵BF平分∠ABE，
∴∠ABE=2∠ABF，
∵DF平分∠CDE，
∴∠CDE=2∠CDF，
∴∠ABE+∠CDE=2∠ABF+2∠CDF=2（∠ABF+∠CDF）=60+80=140，
∴∠ABF+∠CDF=70，
∴∠DFB=∠ABF+∠CDF=70，
故答案为：70；
②∠F=∠BED，
理由是：分别过E、F作EN//AB，FM//AB，

∵EN//AB，∴∠BEN=∠ABE，∠DEN=∠CDE，
∴∠BED=∠ABE+∠CDE，
∵DF、BF分别是∠CDE的角平分线与∠ABE的角平分线，
∴∠ABE=2∠ABF，∠CDE=2∠CDF，
即∠BED=2（∠ABF+∠CDF）；
同理，由FM//AB，可得∠F=∠ABF+∠CDF，
∴∠F∠BED；
（3）2∠F+∠BED=360°．
如图，过点E作EG∥AB，
则∠BEG+∠ABE=180°，

∵AB∥CD，EG∥AB，
∴CD∥EG，
∴∠DEG+∠CDE=180°，
∴∠BEG+∠DEG=360°-（∠ABE+∠CDE），
即∠BED=360°-（∠ABE+∠CDE），
∵BF平分∠ABE，
∴∠ABE=2∠ABF，
∵DF平分∠CDE，
∴∠CDE=2∠CDF，
∠BED=360°-2（∠ABF+∠CDF），
由①得：∠BFD=∠ABF+∠CDF，
∴∠BED=360°-2∠BFD，
即2∠F+∠BED=360°；
（3）∵，∠F=α，
∴，
解得：，
如图，

∵∠CDE 为锐角，DF是∠CDE的角平分线，
∴∠CDH=∠DHB，
∴∠F∠DHB，即，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及三角形外角性质的应用，在解答此题时要注意作出辅助线，构造出平行线求解．