1、概率论与数理统计复习提要第一章 随机事件与概率1事件的关系 2运算规则 (1) (2)(3)(4)3概率满足的三条公理及性质:(1) (2)(3)对互不相容的事件,有 (可以取)(4) (5) (6),若,则,(7)(8)4古典概型:基本事件有限且等可能5几何概率6条件概率(1) 定义:若,则(2) 乘法公式:若为完备事件组,则有(3) 全概率公式: (4) Bayes公式: 7事件的独立性: 独立 (注意独立性的应用)第二章随机变量与概率分布1 离散随机变量:取有限或可列个值,满足(1),(2)=1 (3)对任意,2 连续随机变量:具有概率密度函数,满足(1);(2);(3)对任意,3 几个
2、常用随机变量名称与记号分布列或密度数学期望方差两点分布,二项式分布,Poisson分布几何分布均匀分布,指数分布正态分布4 分布函数 ,具有以下性质 (1);(2)单调非降;(3)右连续; (4),特别; (5)对离散随机变量,; (6)对连续随机变量,为连续函数,且在连续点上,5 正态分布的概率计算 以记标准正态分布的分布函数,则有 (1);(2);(3)若,则; (4)以记标准正态分布的上侧分位数,则6 随机变量的函数 (1)离散时,求的值,将相同的概率相加; (2)连续,在的取值范围内严格单调,且有一阶连续导数,则,若不单调,先求分布函数,再求导。第四章 随机变量的数字特征1期望(1)
3、离散时 , ;(2) 连续时,;(3) 二维时,(4);(5);(6);(7)独立时,2方差(1)方差,标准差;(2);(3);(4)独立时,3协方差(1);(2);(3);(4)时,称不相关,独立不相关,反之不成立,但正态时等价;(5)4相关系数 ;有,5 阶原点矩, 阶中心矩第五章 大数定律与中心极限定理1Chebyshev不等式 或2大数定律3中心极限定理 (1)设随机变量独立同分布,则, 或 或,(2)设是次独立重复试验中发生的次数,则对任意,有或理解为若,则第六章 样本及抽样分布1总体、样本(1) 简单随机样本:即独立同分布于总体的分布(注意样本分布的求法);(2) 样本数字特征:
4、样本均值(,); 样本方差()样本标准差 样本阶原点矩,样本阶中心矩2统计量:样本的函数且不包含任何未知数3三个常用分布(注意它们的密度函数形状及分位点定义) (1)分布 ,其中独立同分布于标准正态分布,若且独立,则; (2)分布 ,其中且独立; (3)分布 ,其中且独立,有下面的性质 4正态总体的抽样分布(1); (2);(3)且与独立; (4);(5),(6)第七章 参数估计1矩估计:(1)根据参数个数求总体的矩;(2)令总体的矩等于样本的矩;(3)解方程求出矩估计2极大似然估计:(1)写出极大似然函数;(2)求对数极大似然函数(3)求导数或偏导数;(4)令导数或偏导数为0,解出极大似然估
5、计(如无解回到(1)直接求最大值,一般为min或max)3估计量的评选原则(1)无偏性:若,则为无偏; (2) 有效性:两个无偏估计中方差小的有效;4参数的区间估计(正态)参数条件估计函数置信区间已知未知未知复习资料一、 填空题(15分)题型一:概率分布的考察【相关公式】(P379)分布参数分布律或概率密度数学期望(E)方差(D)(01)分布二项分布负二项分布几何分布超几何分布泊松分布均匀分布 【相关例题】1、 设,则求a,b的值。2、 已知,则求n,p的值。题型二:正态总体均值与方差的区间估计【相关公式】(P163)【相关例题】1、 (样本容量已知)2、 (样本容量未知)题型三:方差的性质【
6、相关公式】(P103)【相关例题】1、题型四:【相关公式】(P140、P138)【相关例题】1、2、题型五:互不相容问题【相关公式】(P4)【相关例题】1、二、 选择题(15分)题型一:方差的性质【相关公式】(见上,略)【相关例题】(见上,略)题型二:考察统计量定义(不能含有未知量)题型三:考察概率密度函数的性质(见下,略)题型四:和、乘、除以及条件概率密度(见下,略)题型五:对区间估计的理解(P161)题型六:正态分布和的分布【相关公式】(P105)【相关例题】题型七:概率密度函数的应用【相关例题】 设 已知三、 解答题(70分)题型一:古典概型:全概率公式和贝叶斯公式的应用。【相关公式】v
7、 全概率公式:v 贝叶斯公式:【相关例题】1、P19 例5某电子设备制造厂设用的元件是有三家元件制造厂提供的,根据以往的记录有以下的数据:元件制造厂次品率提供原件的份额10.020.1520.010.8030.030.05设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的,且无区分标志。问:(1) 在仓库中随机取一只元件,求它的次品率;(2) 在仓库中随机抽取一只元件,为分析此次品出自何厂,需求出此次品有三家工厂生产的概率分别是多少,试求这些概率。(见下)2、袋中装有m枚正品硬币,n枚次品硬币(次品硬币两面均有国徽),在袋中任意取一枚,将他掷r次,已知每次都得到国徽,问这枚硬币是正品的概率是多少?3、设根
8、据以往记录的数据分析,某船只运输的某种物品损坏的情况共有三种:损坏2%(这一事件记为A1),损坏10%(这一事件记为A2),损坏90%(这一事件记为A3),且知P(A1)=0.8,P(A2)=0.15,P(A3)=0.05.现在从已经运输的物品中随机取3件,发现这三件都是好的(这一事件记为B),(见下)4、 将A、B、C三个字母之一输入信道,输出为原字母的概率为,而输出其他字母的概率都是(1-)/2.今将字母串AAAA、BBBB、CCCC之一输入信道,输入AAAA、BBBB、CCCC的概率分别为p1、p2、p3(p1+p2+p3=1),已知输出为ABCA。问输入AAAA的概率是多少?(设信道传
9、输各字母的工作是相互独立的。)题型二:1、求概率密度、分布函数;2、正态分布1、 求概率密度【相关公式】已知分布函数求概率密度在连续点求导;已知概率密度f(x)求分布函数抓住公式:,且对于任意实数,有:。【相关例题】(1)设随机变量X的分布函数为: FX(X)= (见下) (2),是确定常数A。(3) 设随机变量X具有概率密度f(x)= ,求X的分布函数。 0,其他解: 0,x0 2、 正态分布(高斯分布)【相关公式】(1)公式其中:(2) 若(3) 相关概率运算公式: 【相关例题】1、 (P58 27)某地区18岁女青年的血压(收缩压:以mmHg计)服从N(110,122),在该地任选一名1
10、8岁女青年,测量她的血压X,求:(1)(2)确定最小的2、 由某机器生产的螺栓的长度(cm)服从参数的正态分布,规定长度在范围内为合格品,求一螺栓为不合格的概率。(见下)题型三:二维随机变量的题型【相关公式】【相关例题】1、 (P84 3)设随机变量(X,Y)的概率密度为: yx0442y=4-x (见下)2、 (P86 18)设X和Y是两个相互独立的随机变量,X在区间(0,1)上服从均匀分布,Y的概率密度为: 1,0x1 0,其他3、 (P87 25)设随机变量X,Y相互独立,且具有相同的分布,它们的概率密度均为 0,其他求Z=X+Y的概率密度。4、 (P87 26)设随机变量X,Y相互独立
11、,它们的概率密度为 0,其他求Z=Y/X的概率密度。 题型四:最大似然估计的求解【相关公式】【相关例题】1、 设概率密度为: 2、 (P174 8) 的总体的样本,未知,求的最大似然估计。题型五:正态总体均值的假设检验、正态总体方差的假设检验【相关公式】【相关例题】1、 (P218 3)某批矿砂的5 个样品中的镍含量,经测定(%)3.25 3.27 3.24 3.26 3.24设测定值总体服从正态分布,但参数均未知,问在=0.01下能否接受假设,这批矿砂的镍含量的均值为3.25.2、(P220 12)某种导线,要求电阻的标准差不得超过0.005,尽在一批导线中取样品9根,测得s=0.007,设
12、总体为正态分布,参数值均未知,问在显著水平=0.05下能否认为这批导线的标准差显著偏大?模拟试题一一、 填空题(每空3分,共45分)1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|) = 0.85, 则P(A|) = P( AB) = 2、设事件A与B独立,A与B都不发生的概率为,A发生且B不发生的概率与B发生且A不发生的概率相等,则A发生的概率为: ;3、一间宿舍内住有6个同学,求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率: ;没有任何人的生日在同一个月份的概率 ;4、已知随机变量X的密度函数为:, 则常数A= , 分布函数F(x)= , 概率 ;5、设随机变量X B(
13、2,p)、Y B(1,p),若,则p = ,若X与Y独立,则Z=max(X,Y)的分布律: ;6、设且X与Y相互独立,则D(2X-3Y)= , COV(2X-3Y, X)= ;7、设是总体的简单随机样本,则当 时, ;8、设总体为未知参数,为其样本,为样本均值,则的矩估计量为: 。9、设样本来自正态总体,计算得样本观察值,求参数a的置信度为95%的置信区间: ;二、 计算题(35分)1、 (12分)设连续型随机变量X的密度函数为: 求:1);2)的密度函数;3);2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为1) 求边缘密度函数;2) 问X与Y是否独立?是否相关?3) 计算Z = X + Y的
14、密度函数; 3、(11分)设总体X的概率密度函数为: X1,X2,Xn是取自总体X的简单随机样本。1) 求参数的极大似然估计量;2) 验证估计量是否是参数的无偏估计量。三、 应用题(20分)1、(10分)设某人从外地赶来参加紧急会议,他乘火车、轮船、汽车或飞机来的概率分别是3/10,1/5,1/10和2/5。如果他乘飞机来,不会迟到;而乘火车、轮船或汽车来,迟到的概率分别是1/4,1/3,1/2。现此人迟到,试推断他乘哪一种交通工具的可能性最大?2(10分)环境保护条例,在排放的工业废水中,某有害物质不得超过0.5,假定有害物质含量X服从正态分布。现在取5份水样,测定该有害物质含量,得如下数据
15、: 0.530,0.542,0.510,0.495,0.515能否据此抽样结果说明有害物质含量超过了规定()?附表:模拟试题二一、填空题(45分,每空3分) 1设 则 2设三事件相互独立,且,若,则 。 3设一批产品有12件,其中2件次品,10件正品,现从这批产品中任取3件,若用表示取出的3件产品中的次品件数,则的分布律为 。4设连续型随机变量的分布函数为 则 ,的密度函数 。 5设随机变量,则随机变量的密度函数 6设的分布律分别为 -1 0 1 0 1 1/4 1/2 1/4 1/2 1/2且,则的联合分布律为 。和 7设,则 , 。8设是总体的样本,则当 , 时,统计量服从自由度为2的分布
16、。 9设是总体的样本,则当常数 时,是参数的无偏估计量。 10设由来自总体容量为9的样本,得样本均值=5,则参数的置信度为0.95的置信区间为 。二、计算题(27分) 1(15分)设二维随机变量的联合密度函数为(1) 求的边缘密度函数;(2) 判断是否独立?为什么?(3) 求的密度函数。 2(12分)设总体的密度函数为其中是未知参数,为总体的样本,求(1)参数的矩估计量; (2)的极大似然估计量。三、应用题与证明题(28分) 1(12分)已知甲,乙两箱中有同种产品,其中甲箱中有3件正品和3件次品,乙箱中仅有3件正品,从甲箱中任取3件产品放入乙箱后,(1)求从乙箱中任取一件产品为次品的概率;(2
17、)已知从乙箱中取出的一件产品为次品,求从甲箱中取出放入乙箱的3件产品中恰有2件次品的概率。 2(8分)设某一次考试考生的成绩服从正态分布,从中随机抽取了36位考生的成绩,算得平均成绩分,标准差分,问在显著性水平下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分,并给出检验过程。3(8分)设,证明:相互独立。附表: 模拟试题三一、填空题(每题3分,共42分) 1设 若互斥,则 ;独立,则 ;若,则 。 2在电路中电压超过额定值的概率为,在电压超过额定值的情况下,仪器烧坏的概率为,则由于电压超过额定值使仪器烧坏的概率为 ; 3设随机变量的密度为,则使成立的常数 ; ; 4如果的联合分布律为 Y 1
18、 2 3 X 1 1/6 1/9 1/18 2 1/3 则应满足的条件是 ,若独立, , , 。5设,且 则 , 。6设,则服从的分布为 。7测量铝的比重16次,得, 设测量结果服从正态分布,参数未知,则铝的比重的置信度为95%的置信区间为 。二、(12分)设连续型随机变量X的密度为: (1)求常数; (2)求分布函数; (3)求的密度 三、(15分)设二维连续型随机变量的联合密度为(1)求常数; (2)求的边缘密度;(3)问是否独立?为什么?(4)求的密度; (5)求。 四、(11分)设总体X的密度为其中是未知参数,是来自总体X的一个样本,求(1) 参数的矩估计量;(2) 参数的极大似然估计
19、量; 五、(10分)某工厂的车床、钻床、磨床和刨床的台数之比为9:3:2:1,它们在一定时间内需要修理的概率之比为1:2:3:1,当有一台机床需要修理时,求这台机床是车床的概率。 六、(10分)测定某种溶液中的水份,设水份含量的总体服从正态分布,得到的10个测定值给出,试问可否认为水份含量的方差?() 附表:模拟试题四一、填空题(每题3分,共42分) 1、 设、为随机事件,则与中至少有一个不发生的概率为 ;当独立时,则 2、 椐以往资料表明,一个三口之家患某种传染病的概率有以下规律:=0.6,=0.5,=0.4,那么一个三口之家患这种传染病的概率为 。3、设离散型随机变量的分布律为:,则=_
20、。4、若连续型随机变量的分布函数为则常数 , ,密度函数 5、已知连续型随机变量的密度函数为,则 , 。 。6、设, ,且与独立, 则)= 。7、设随机变量相互独立,同服从参数为分布的指数分布,令的相关系数。则 , 。(注:)二、计算题(34分)1、 (18分)设连续型随机变量的密度函数为 (1)求边缘密度函数; (2)判断与的独立性; (3)计算; (3)求的密度函数 2、(16分)设随机变量与相互独立,且同分布于。令。(1)求的分布律; (2)求的联合分布律;(3)问取何值时与独立?为什么? 三、应用题(24分)1、 (12分)假设一部机器在一天内发生故障的概率是0.2。若一周5个工作日内
21、无故障则可获10万元;若仅有1天故障则仍可获利5万元;若仅有两天发生故障可获利0万元;若有3天或3天以上出现故障将亏损2万元。求一周内的期望利润。 2、 (12分)将、三个字母之一输入信道,输出为原字母的概率为0.8,而输出为其它一字母的概率都为0.1。今将字母,之一输入信道,输入,的概率分别为0.5,0.4,0.1。已知输出为,问输入的是的概率是多少?(设信道传输每个字母的工作是相互独立的)。答 案(模拟试题一)四、 填空题(每空3分,共45分)1、0.8286 , 0.988 ; 2、 2/3 ; 3、,;4、 1/2, F(x)= , ;5、p = 1/3 , Z=max(X,Y)的分布
22、律: Z 0 1 2P 8/27 16/27 3/27;6、D(2X-3Y)= 43.92 , COV(2X-3Y, X)= 3.96 ; 7、当 时,; 8、的矩估计量为:。9、 9.216,10.784 ; 五、 计算题(35分)1、解 1) 2) 3)2、解:1) 2)显然,所以X与Y不独立。 又因为EY=0,EXY=0,所以,COV(X,Y)=0,因此X与Y不相关。3)3、解1) 令 解出: 2) 的无偏估计量。 六、 应用题(20分)1解:设事件A1,A2,A3,A4分别表示交通工具“火车、轮船、汽车和飞机”,其概率分别等于3/10,1/5,1/10和2/5,事件B表示“迟到”,已知
23、概率分别等于1/4,1/3,1/2,0 则 ,由概率判断他乘火车的可能性最大。2 解:(), 拒绝域为: 计算, 所以,拒绝,说明有害物质含量超过了规定。 答 案(模拟试题二)一、填空题(45分,每空3分)1 23 0 1 2 6/11 9/22 1/224, 56 0 1 -1011/4 00 1/21/4 078;9; 10. 二、计算题(27分)1(1)(2)不独立 (3) 2(1)计算 根据矩估计思想, 解出:; (2)似然函数 显然,用取对数、求导、解方程的步骤无法得到的极大似然估计。用分析的方法。因为,所以,即 所以,当时,使得似然函数达最大。极大似然估计为。三、1解:(1)设表示
24、“第一次从甲箱中任取3件,其中恰有i件次品”,(i=0,1,2,3) 设表示“第二次从乙箱任取一件为次品”的事件; (2) 2 解: (), 拒绝域为: 根据条件,计算并比较 所以,接受,可以认为平均成绩为70分。 3(8分)证明:因为 相互独立 答 案(模拟试题三)一、填空题(每题3分,共42分) 1 0.5 ; 2/7 ; 0.5 。 2 ; 3; 15/16; 4 , 2/9 , 1/9 , 17/3 。5 6 , 0.4 。 6。 7 (2.6895, 2.7205) 。二、解:(1) (2)(3)Y的分布函数 三、解:(1), (2)(3)不独立; (4)(5) 四、解:(1) 令,
25、即 解得。 (2),解得 五、解:设=某机床为车床,;=某机床为钻床,; =某机床为磨床,;=某机床为刨床,; =需要修理, 则 。六、解:拒绝域为: 计算得,查表得样本值落入拒绝域内,因此拒绝。附表: 答 案(模拟试题四)一、填空题(每题3分,共42分) 1、 0.4 ; 0.8421 。 2、 0.12 。 3、, 。 4、, 。5、3, 5 , 0.6286 。 6、 2.333 。7、, 3/5 。 二、1、解 (18分)(1) (2)不独立(3) 2、解 (1)求的分布律; (2)的联合分布律: 0 1 0 1 (3)当 时,X与Z独立。三、应用题(24分)1、解:设表示一周5个工作
26、日机器发生故障的天数,则,分布律为: 设(万元)表示一周5个工作日的利润,根据题意,的分布律 则(万元)。 2、解:设分别表示输入,的事件,表示输出为的随机事件。由贝叶斯公式得: 07试题一、填空题(本大题共6小题,每小题3分,总计18分)1. 设为随机事件,则 210件产品中有4件次品,从中任意取2件,则第2件为次品的概率为 3设随机变量在区间上服从均匀分布,则的概率密度函数为 4设随机变量的期望,方差,则期望 5. 设随机变量服从参数为2的泊松分布,则应用切比雪夫不等式估计得 .6. 设是来自正态总体的样本,则当 时, .二、选择题(在各小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题末的括号中
27、,本大题共6个小题,每小题3分,总计18分) 1设为对立事件, , 则下列概率值为1的是( )(A) ; (B) ; (C) ; (D) 2. 设随机变量,概率密度为,分布函数,则下列正确的是( )(A) ; (B) ; (C) , ; (D) , 3. 设是随机变量的概率密度,则一定成立的是( )(A) 定义域为; (B) 非负; (C) 的值域为; (D) 连续 4. 设,则( )(A) ; (B) ; (C) ; (D) 5. 设随机变量的方差,相关系数,则方差 ( )(A) 40; (B) 34; (C) 17.6; (D) 25.66. 设是正态总体的样本,其中已知,未知,则下列不是
28、统计量的是( )(A) ; (B) ; (C) ; (D) 三、计算题(本大题共6小题,每小题10分,共计60分)1甲乙丙三个同学同时独立参加考试,不及格的概率分别为: 0.2 ,0.3,0.4,(1) 求恰有2位同学不及格的概率;(2) 若已知3位同学中有2位不及格,求其中1位是同学乙的概率. 2已知连续型随机变量的分布函数为,求: (1) 常数的值; (2) 随机变量的密度函数;(3) 3设随机变量与相互独立,概率密度分别为:,求随机变量的概率密度4设二维随机变量的密度函数: (1)求常数的值;(2)求边缘概率密度;(3)和是否独立?5 . 设二维随机变量的概率密度函数:求(1)数学期望与
29、;(2)与的协方差6 . 设总体概率密度为,未知,为来自总体的一个样本. 求参数的矩估计量和极大似然估计量.四、证明题(本大题共1小题,每小题4分,共4分)1. 设任意三个事件,试证明:06试题一、填空题(本大题共5小题,每小题4分,总计20分)1. 设为随机事件,则 2设10把钥匙中有2把能打开门, 现任意取两把, 能打开门的概率是 3设, 且与相互独立, 则 4设随机变量上服从均匀分布,则关于未知量的方程有实根的概率为_5. 设随机变量的数学期望,方差,用切比雪夫不等式估计得 .二、选择题(在各小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题末的括号中,本大题共5个小题,每小题4分,总计20分)
30、 1设事件相互独立,且,,则有 (A) ; (B) ; (C) ; (D) 2. 设,那么概率 (A) 随增加而变大; (B) 随增加而减小; (C) 随增加而不变; (D) 随增加而减小 3. 设,则 (A) ; (B) ; (C) ; (D) 4设相互独立,服从上的均匀分布,的概率密度函数为,则(A) ; (B) ; (C) ; (D) 5. 设总体,是取自总体的一个样本, 为样本均值,则不是总体期望的无偏估计量的是 (A) ; (B) ; (C) ; (D) 三、计算题(本大题共5小题,每小题10分,共计50分)1某产品整箱出售,每一箱中20件产品,若各箱中次品数为0件,1件,2件的概率
31、分别为80,10,10,现在从中任取一箱,顾客随意抽查4件,如果无次品,则买下该箱产品,如果有次品,则退货,求: (1) 顾客买下该箱产品的概率;(2) 在顾客买下的一箱产品中,确实无次品的概率.2已知随机变量的密度为,且,求: (1) 常数的值; (2) 随机变量的分布函数3设二维随机变量有密度函数: (1)求边缘概率密度;(2)求条件密度;(3)求概率.4 . 设随机变量独立同分布,都服从参数为的泊松分布,设, 求随机变量与的相关系数5 . 设总体为二项分布,未知,为来自总体的一个样本. 求参数的矩估计量和极大似然估计量。四、证明题(本大题共2小题,每小题5分,共10分)1. 设事件相互独
32、立,证明事件与事件也相互独立2. 设总体为, 期望,方差,是取自总体的一个样本, 样本均值,样本方差,证明:是参数的无偏估计量06答案一、填空题(本大题共5小题,每小题4分,总计20分)1. 2/3 217/45 335 45/6 5. 4/5二、选择题(在各小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题末的括号中,本大题共5个小题,每小题4分,总计20分) 1. (B) 2(D) 3(C) 4(D) 5. (D)三、计算题(本大题共5小题,每小题10分,共计50分)1解:设表示“顾客买下该箱产品” ,分别表示“箱中次品数为0件,1件,2件” 则80,1010,1,(3分)由全概率公式得:448/475,(7分)由贝叶斯公式得:95/112 (10分)2解: (1) 由, 解得 (4分) (2) ,当时, ,当时, , 当时, , 所以 (10分)3解: (1) (4分)(2) 当时, =当时, (8分)(3) (10分)4 .解: , (8分)=3/5 (10分)5 .解:由,得的矩估计量 (4分)似然函数为,由,得极大似然估计量 (10分) 四、证明题(本大题共2小题,每小题5分,共10分)1. 证明:由于事件相互独立,所以,(2分)所以即,所以事件与也相互独立 (5分)2. 证明:,是取自总体的一个样本,所以,所以 ,即是参数的无偏估计量(5分)07答案一、填空题(本大题共
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