1、二次函数在闭区间上的最值问题二次函数在闭区间上的最值问题 动轴定区间、动区间定轴动轴定区间、动区间定轴练习:已知函数练习:已知函数f(x)=xf(x)=x2 2 2x 32x 3(1 1)若)若xx22,00,求函数,求函数f(x)f(x)的最值;的最值;(2 2)若)若xx 2 2,4 4,求函数,求函数f(x)f(x)的最值;的最值;(3 3)若)若xx ,求函数,求函数f(x)f(x)的最值;的最值;(4 4)若)若x x ,求函数,求函数f(x)f(x)的最值;的最值;练习:练习:已知函数已知函数f(x)=x22x 3.(1)若)若x 2,0,求函数求函数f(x)的最值;的最值;解:画
2、出函数在定义域内的图像如图解:画出函数在定义域内的图像如图对称轴为直线对称轴为直线x=1由图知,由图知,y=f(x)在在 2,0 上为减函数上为减函数 故故x=-2时有最大值时有最大值f(-2)=5 x=0时有最小值时有最小值f(0)=-3例例1、已知函数、已知函数f(x)=x2 2x 3.(1)若)若x 2,0,求函数,求函数f(x)的最值;的最值;(2)若)若x 2,4,求函数,求函数f(x)的最值;的最值;解:画出函数在定义域内的图像如图解:画出函数在定义域内的图像如图对称轴为直线对称轴为直线x=1由图知,由图知,y=f(x)在在 2,4 上为增函数上为增函数 故故x=4时有最大值时有最
3、大值f(4)=5 x=2时有最小值时有最小值f(2)=-3例例1 1、已知函数、已知函数f(x)=xf(x)=x2 2 2x 3.2x 3.(1 1)若)若xx 2 2,00,求函数,求函数f(x)f(x)的最值;的最值;(2 2)若)若xx 2 2,44,求函数,求函数f(x)f(x)的最值;的最值;(3)若)若x ,求函数求函数f(x)的最值;的最值;解:画出函数在定义域内的图像如图解:画出函数在定义域内的图像如图对称轴为直线对称轴为直线x=1,由图知,由图知,x=时有最大值时有最大值 x=1时有最小值时有最小值f(1)=-4例例1 1、已知函数、已知函数f(x)=xf(x)=x2 2 2
4、x 32x 3(1 1)若)若xx22,00,求函数,求函数f(x)f(x)的最值;的最值;(2 2)若)若xx 2 2,4 4,求函数,求函数f(x)f(x)的最值;的最值;(3 3)若)若xx ,求函数,求函数f(x)f(x)的最值;的最值;(4 4)若)若x x ,求函数,求函数f(x)f(x)的最值;的最值;解:画出函数在定义域内的图像如图解:画出函数在定义域内的图像如图对称轴为直线对称轴为直线x=1,由图知,由图知,x=时有最大值时有最大值 x=1时有最小值时有最小值f(1)=-4例例1 1、已知函数、已知函数f(x)=xf(x)=x2 2 2x 32x 3(4 4)xx (1)x
5、2,0(2)x 2,4(3)x 思考:通过以上几题,你发现二次函数在区间思考:通过以上几题,你发现二次函数在区间m,n上的最值通常在哪里取到?上的最值通常在哪里取到?总结总结:求二次函数:求二次函数f(x)=axf(x)=ax2 2+bx+c+bx+c在在mm,nn上上 上的最值或值域的一般方法是:上的最值或值域的一般方法是:(2 2)当)当x x0 0mm,nn时,时,f(m)f(m)、f(n)f(n)、f(xf(x0 0)中的较大者是最大值中的较大者是最大值,较小者是最小值;较小者是最小值;(1)检查)检查x0=是否属于是否属于 m,n;(3 3)当)当x x0 0 m m,nn时,时,f
6、(m)f(m)、f(n)f(n)中的较大中的较大 者是最大值,较小者是最小值者是最大值,较小者是最小值.思考:思考:如何如何 求函数求函数y=x2-2x-3在在x k,k+2时的最值时的最值?解析解析:因为函数因为函数 y=x2-2x-3=(x-1)2-4的对称的对称 轴为轴为 x=1 固定不变固定不变,要求函数的最值要求函数的最值,即要看区间即要看区间k,k+2与对称轴与对称轴 x=1的位的位 置置,则从以下几个方面解决如图则从以下几个方面解决如图:例例:求函数求函数y=x2-2x-3在在x k,k+2时时的最值的最值 当当k+21即即k-1时时 f(x)min=f(k+2)=(k+2)2-
7、2(k+2)-3 =k2+2k-3f(x)max=f(k)=k2-2k-3 当当 k 1 k+2 时时 即即-1 k 1时时f(x)min=f(1)=-4当当f(k)f(k+2)时,时,即即k2-2k-3 k2+2k-3 即即-1k0时时f(x)max=f(k)=k2-2k-3当当f(k)f(k+2)时,时,即即k2-2k-3 k2+2k-3 即即0 k1时时f(x)max=f(k+2)=(k+2)2-2(k+2)-3 =k2+2k-3 当当k 1 时时 f(x)max=f(k+2)=k2+2k-3f(x)min=f(k)=k2-2k-3 例例:求函数求函数y=x2-2x-3在在x k,k+2
8、时的最值时的最值 当当k-1时时 当当-1k 0时时 f(x)max=f(k)=k2-2k-3当当0 k1时时f(x)max=f(k+2)=k2+2k-3f(x)min=f(1)=-4f(x)min=f(1)=-4f(x)min=f(k+2)=k2+2k-3f(x)max=f(k)=k2-2k-3 当当k 1 时时 f(x)max=f(k+2)=k2+2k-3f(x)min=f(k)=k2-2k-3 例例:求函数求函数y=x2-2x-3在在x k,k+2时的最值时的最值评注评注:例例1 1属于属于“轴定区间动轴定区间动”的问题,看作动区的问题,看作动区间沿间沿x x轴移动的过程中,函数最值的变
9、化,即动区轴移动的过程中,函数最值的变化,即动区间在定轴的左、右两侧及包含定轴的变化,要注意间在定轴的左、右两侧及包含定轴的变化,要注意开口方向及端点情况。开口方向及端点情况。例例2:若:若x ,求函数,求函数 y=x2+ax+3的最小值:的最小值:O1xy-1例例2:若:若x ,求函数,求函数 y=x2+ax+3的最小值:的最小值:-11Oxy例例2:若:若x ,求函数,求函数 y=x2+ax+3的最小值:的最小值:-11Oxy例例2:若:若x ,求函数,求函数 y=x2+ax+3的最小值:的最小值:Oxy1-1当当 即即a 2时时y的最小值为的最小值为f(-1)=4-a解:例例3:若:若x
10、 ,求函数,求函数 y=x2+ax+3的最小值:的最小值:Oxy1-1(2)当当 即即-2 a2时时y的最小值为的最小值为f()=121-a例例2:若:若x ,求函数,求函数 y=x2+ax+3的最小值:的最小值:Oxy1-1(3)当当 即即a-2时时y的最小值为的最小值为f(1)=4+a函数在函数在-1,1上是减函数上是减函数例例2:若:若x ,求函数,求函数 y=x2+ax+3的最小值:的最小值:Oxy1-1Oxy1-1Oxy1-1当当a-2时时f(x)min=f(1)=4+a当当-2a1时,则时,则g(t)=f(t)=t2-2t+1;(3)当当t+11,即,即t0时,则时,则g(t)=f
11、(t+1)=t2+1;t2-2t+2;(0t 1)g(t)=(t1)思考:二次函数思考:二次函数f(x)=x2-2x-3在在-3,a(a-3)上的最值是多少?上的最值是多少?yxo1-3afmin=f(a)=a2-2a-3fmax=f(-3)=12yx o1-3a5yx o1-35af(x)=x2-2x-3,x-3,a(a-3)fmin=f(1)=-4fmax=f(-3)=12fmin=f(1)=-4fmax=f(a)=a2-2a-3例题讲解:例题讲解:例例1 设函数设函数 f(x)=x2-2x-3.3在区间在区间t,t+1上的最小值上的最小值为为g(t),求,求g(t)的解析式。的解析式。分
12、析分析解:解:f(x)=(x-1)2-4.3,对称轴为,对称轴为x=1(2)当当0t 1时,则时,则g(t)=f(1)=-4.3;(1)当当t1时,则时,则g(t)=f(t)=t2-2t-3.3;(3)当当t+11,即,即t0时,则时,则g(t)=f(t+1)=t2-4.3;t2-2t-3.3;(0t 1)g(t)=(t1)例例2 求求 f(x)=x2-a-ax+a在区间在区间-1,1上的最值。上的最值。分析分析解:解:f(x)=(x-)2+a-,对称轴为,对称轴为x=(1)若若 ,即,即a-2时,时,f(x)min=f(-1)=1+2a1+2a,f(x)max=f(1)=1;(4)若若 ,即即a2时,时,f(x)min=f(1)=1,f(x)max=f(-1)=1+2a;(2)若若-1 0,即即-2a0时,时,f(x)min=f()=a-a2/4,f(x)max=f(1)=1;(3)若若0 1,即即0 0a2时,时,f(x)min=f()=a-a2/4,f(x)max=f(-1)=1+2a;解析:因为函数y=x2+2ax+3=(x+a)2+3-a2的对称轴为x=-a。要求最值则要看x=-a是否在区间-2,2之内,则从以下几个方面解决如图:例3:求函数y=x2+2ax+3在x -2,2时的最值?此课件下载可自行编辑修改,供参考!感谢您的支持,我们努力做得更好!
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