我们可以用一个矩阵进行表达一般地.ppt

线性方程组的求解中国青年政治学院 郑艳霞1-使用建议：建议教师具备简单的MATHMATICA使用知识。课件使用学时：4学时面向对象：文科经济类本科生目的：掌握线性方程组的知识点学习。2-0.80.40.7为民主党投票为共和党投票为自由党投票0.30.10.10.30.10.2假假设在美国某一固定在美国某一固定选区国会区国会选举的投票的投票结果用三果用三维向量表示向量表示为假假设一次一次选举中中结果果为确定下一次和再下一次可能确定下一次和再下一次可能结果。果。每次每次选举得票情况的得票情况的变化化为我我们用上述用上述类型的向量每两年型的向量每两年记录一次国会一次国会选举的的结果，同果，同时每次每次选举的的结果果仅依依赖前一次前一次选举的的结果。果。3-对于于给出的出的选举变化情况，我化情况，我们可以用一个矩可以用一个矩阵进行表达行表达一般地，一般地，总可以由可以由这次的次的选举结果和下一次果和下一次选举的的转移情况移情况得到下一次得到下一次选举的的结果：果：于是下一次和再下一次可能于是下一次和再下一次可能结果果为：表示第表示第j个党向第个党向第i个党个党转移的比例移的比例 0.80.40.7为民主党投票为共和党投票为自由党投票0.30.10.10.30.10.24-假假设选举得票情况的得票情况的变化是恒定化是恒定P,问从从现在开始在开始经过多年多年若干若干选举之后之后,投票者可能投票者可能为共和党候共和党候选人投票的百分比是人投票的百分比是多少？多少？若若P是一个矩是一个矩阵，满足各列向量均非足各列向量均非负，且各列向量，且各列向量纸盒等于盒等于1，则相相对于于P的的稳定向量必定向量必满足：足：Pq=q。可以。可以证明每一个明每一个满足上述条件的矩足上述条件的矩阵，必存在一个，必存在一个稳定向量；并且，若存在整定向量；并且，若存在整整数整数k，使得，使得Pk0,则P存在唯一的向量存在唯一的向量q满足条件。足条件。易易见P20,满足上述条件。于是上述足上述条件。于是上述问题转化化为:如何求出如何求出满足足的非的非0向量向量x。x=Px即方程即方程组(P-I)x=0的解，就是我的解，就是我们需要的需要的结果。果。5-齐次次线性方程性方程组1.齐次次线性方程性方程组（2）有解的条件）有解的条件定理定理1：齐次次线性方程性方程组 有非零解有非零解定理定理2：齐次次线性方程性方程组 只有零解只有零解 推推论：齐次次线性方程性方程组 只有零解只有零解即即即系数矩即系数矩阵A可逆。可逆。1.有解的条件有解的条件2.解的性解的性质3.基基础解系解系4.解的解的结构构6-2.解的性解的性质（可推广至有限多个解）（可推广至有限多个解）解向量：解向量：每一每一组解都构成一个向量解都构成一个向量性性质：若若 是是齐次次线性方程性方程组Ax=0的解，的解，则 仍然是仍然是齐次次线性方程性方程组Ax=b的解。的解。解空解空间:的所有解向量的集合，的所有解向量的集合，对加法和数乘加法和数乘都封都封闭，所以构成一个向量空，所以构成一个向量空间，称，称为这个个齐次次线性方程性方程组的解空的解空间。7-3.基基础解系解系设是是的解，的解，满足足线性无关；性无关；的任一解都可以由的任一解都可以由线性表示。性表示。则称称是是的一个的一个基基础解系。解系。定理：定理：设是是矩矩阵，如果，如果则齐次次线性方程性方程组的基的基础解系存在，解系存在，且每个基且每个基础解系中含有解系中含有个解向量。个解向量。8-证明分三步明分三步:1.以某种方法找以某种方法找 个解。个解。2.证明明这个解个解线性无关。性无关。3.证明任一解都可由明任一解都可由这个解个解线性表示。性表示。注：注：的基的基础解系解系实际上就是解空上就是解空间的一个基。的一个基。(1)(2)证明明过程提供了一种求解空程提供了一种求解空间基（基基（基础 解系）的方法。解系）的方法。(3)基（基基（基础解系）不是唯一的。解系）不是唯一的。(4)当当时，解空，解空间是是当当时，求得基，求得基础解系是解系是则是是的解，的解，称称为通解。通解。4.解的解的结构构的通解是的通解是9-最最终大大约有的有的选票被共和党人得到票被共和党人得到.r(P-I)=20。再将求出的解。再将求出的解进行行归一，一，就得到了就得到了满足条件的解，此足条件的解，此时的解是唯一的。的解是唯一的。10-一一栋大的公寓建筑使用模大的公寓建筑使用模块建筑技建筑技术。每。每层楼的建筑楼的建筑设计由由3种种设计中中选择。A设计每每层有有18个公寓，包括个公寓，包括3个三室个三室单元，元，7个两室个两室单元和元和8个一室个一室单元；元；B设计每每层有有4个三室个三室单元，元，4个个两室两室单元和元和8个一室个一室单元；元；C设计每每层有有5个三室个三室单元，元，3个两个两室室单元和元和9个一室个一室单元。元。设该建筑有建筑有x层采取采取A设计，y层采取采取B设计，z层采取采取C设计。（2）写出向量的）写出向量的线性性组合表示合表示该建筑包含的三室、两室和一室建筑包含的三室、两室和一室单元元的的总数。数。（3）是否可能）是否可能设计出出该建筑，使恰有建筑，使恰有66个三室、个三室、74个两室和个两室和136一一室室单元？如可能的元？如可能的话，是否有多种方法？，是否有多种方法？说明你的答案。明你的答案。11-解答解答（1）表示当建筑）表示当建筑x层采取采取A设计时，包括三室，包括三室 单元，两室元，两室单元和一室的公寓数目。元和一室的公寓数目。（3）问题转化化为：求非：求非负整数整数x,y,z满足：足：也就是非求也就是非求齐次次线性方程性方程组 的解的的解的问题。12-非非齐次性次性线性方程性方程组1.有解的条件有解的条件 定理定理3：非非齐次次线性方程性方程组有解有解并且，当并且，当时，有唯一解；，有唯一解；当当时，有无，有无穷多解。多解。13-分析分析:3.解的解的结构构若若有解，有解，则其通解其通解为其中其中是（是（1）的一个特解，）的一个特解，是（是（1）对应的的齐次次线性方程性方程组 的通解。的通解。1.证明明是解；是解；2.任一解都可以写成任一解都可以写成的形式。的形式。2.解的性解的性质性性质1：是是 的解，的解，则是是对应的的齐次次线性方程性方程组的解。的解。性性质2：14-由此可得由此可得 ，因此因此该非非齐次次线性方程性方程组有解，且基有解，且基础解系含有一个向量。解系含有一个向量。进行行计算算：利用利用软件求解件求解房屋房屋设计问题的解答的解答15-由由问题的的实际意意义可知，方程可知，方程组通解中通解中k可以取可以取值为0、1。房屋房屋设计问题（3）的解答的解答即房屋的即房屋的设计方案有两个：方案有两个：1.利用利用A设计的的2层和和B设计的的15层2.A设计的的6层、B设计的的2层和和C设计的的8层。16-