平面向量测试题及详解.doc

高考总复习
平面向量
第Ⅰ卷(选择题　共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。)
1．(文)(2011·北京西城区期末)已知点A(－1,1)，点B(2，y)，向量a＝(1,2)，若∥a，则实数y的值为(　　)
A．5　　　 B．6　　　　
C．7　　　　 D．8
[答案]　C
[解析]　＝(3，y－1)，∵∥a，∴＝，∴y＝7.
(理)(2011·福州期末)已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)，若a＋b与4b－2a平行，则实数x的值为(　　)
A．－2　　 B．0　　　　
C．1　　　　 D．2
[答案]　D
[解析]　a＋b＝(3，x＋1)，4b－2a＝(6,4x－2)，
∵a＋b与4b－2a平行，∴＝，∴x＝2，故选D.
2．(2011·蚌埠二中质检)已知点A(－1,0)，B(1,3)，向量a＝(2k－1,2)，若⊥a，则实数k的值为(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
[答案]　B
[解析]　＝(2,3)，∵⊥a，∴2(2k－1)＋3×2＝0，∴k＝－1，∴选B.
3．(2011·北京丰台期末)如果向量a＝(k,1)与b＝(6，k＋1)共线且方向相反，那么k的值为(　　)
A．－3 B．2
C．－ D.
[答案]　A
[解析]　由条件知，存在实数λ<0，使a＝λb，∴(k,1)＝(6λ，(k＋1)λ)，∴，∴k＝－3，故选A.
4．(文)(2011·北京朝阳区期末)在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足＝2，则·(＋)等于(　　)
A．－ B．－
C. D.
[答案]　A
[解析]　由条件知，·(＋)＝·(2)
＝·＝－||2＝－2＝－.

(理)(2011·黄冈期末)在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，DE交AF于H，记、分别为a、b，则＝(　　)

A.a－b B.a＋b
C．－a＋b D．－a－b
[答案]　B
[解析]　＝b＋a＝a－b，设＝λ，则＝λa－λb，∴＝＋＝λa＋b，
∵与共线且a、b不共线，∴＝，∴λ＝，∴＝a＋b.
5．(2011·山东潍坊一中期末)已知向量a＝(1,1)，b＝(2，n)，若|a＋b|＝a·b，则n＝(　　)
A．－3 B．－1
C．1 D．3
[答案]　D
[解析]　∵a＋b＝(3,1＋n)，
∴|a＋b|＝＝，
又a·b＝2＋n，∵|a＋b|＝a·b，
∴＝n＋2，解之得n＝3，故选D.
6．(2011·烟台调研)已知P是边长为2的正△ABC边BC上的动点，则·(＋)(　　)
A．最大值为8 B．是定值6
C．最小值为2 D．与P的位置有关
[答案]　B
[解析]　设BC边中点为D，则
·(＋)＝·(2)
＝2||·||·cos∠PAD＝2||2＝6.
7．(2011·河北冀州期末)设a，b都是非零向量，那么命题“a与b共线”是命题“|a＋b|＝|a|＋|b|”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
[答案]　B
[解析]　|a＋b|＝|a|＋|b|⇔a与b方向相同，或a、b至少有一个为0；而a与b共线包括a与b方向相反的情形，
∵a、b都是非零向量，故选B.
8．(2011·甘肃天水一中期末)已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝，若(a＋b)·c＝，则a与c的夹角为(　　)
A．30° B．60°
C．120° D．150°
[答案]　C
[解析]　由条件知|a|＝，|b|＝2，a＋b＝(－1，－2)，∴|a＋b|＝，∵(a＋b)·c＝，∴×·cosθ＝，其中θ为a＋b与c的夹角，∴θ＝60°.
∵a＋b＝－a，∴a＋b与a方向相反，∴a与c的夹角为120°.
9．(文)(2011·福建厦门期末)在△ABC中，∠C＝90°，且AC＝BC＝3，点M满足＝2，则·等于(　　)
A．2 B．3
C．4 D．6
[答案]　B
[解析]　解法1：如图以C为原点，CA、CB为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A(3,0)，B(0,3)，设M(x0，y0)，

∵＝2，∴，∴，
∴·＝(2,1)·(0,3)＝3，故选B.
解法2：∵＝2，∴＝，
∴·＝·(＋)＝||2＋·
＝9＋×3×3×＝3.
(理)(2011·安徽百校联考)设O为坐标原点，点A(1,1)，若点B(x，y)满足则·取得最大值时，点B的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．无数
[答案]　A
[解析]　x2＋y2－2x－2y＋1≥0，即(x－1)2＋(y－1)2≥1，画出不等式组表示的平面区域如图，·＝x＋y，设x＋y＝t，则当直线y＝－x平移到经过点C时，t取最大值，故这样的点B有1个，即C点．

10．(2011·宁夏银川一中检测)a，b是不共线的向量，若＝λ1a＋b，＝a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，则A、B、C三点共线的充要条件为(　　)
A．λ1＝λ2＝－1 B．λ1＝λ2＝1
C．λ1·λ2＋1＝0 D．λ1λ2－1＝0
[答案]　D
[分析]　由于向量，有公共起点，因此三点A、B、C共线只要，共线即可，根据向量共线的条件可知存在实数λ使得＝λ，然后根据平面向量基本定理得到两个方程，消去λ即得结论．
[解析]　∵A、B、C共线，∴，共线，根据向量共线的条件知存在实数λ使得＝λ，即a＋λ2b＝λ(λ1a＋b)，由于a，b不共线，
根据平面向量基本定理得，消去λ得λ1λ2＝1.
11．(文)(2011·北京学普教育中心)设向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，定义一种向量运算a⊕b＝(a1，a2)⊕(b1，b2)＝(a1b1，a2b2)．已知m＝，n＝，点P(x，y)在y＝sinx的图象上运动，点Q在y＝f(x)的图象上运动，且满足＝m⊕＋n(其中O为坐标原点)，则y＝f(x)的最大值及最小正周期分别为(　　)
A．2；π B．2；4π
C.；4π D.；π
[答案]　C
[解析]　设点Q(x′，y′)，则＝(x′，y′)，由新定义的运算法则可得：
(x′，y′)＝⊕(x，y)＋
＝，
得，∴，
代入y＝sinx，得y′＝sin，则
f(x)＝sin，故选C.
(理)(2011·华安、连城、永安、漳平一中、龙海二中、泉港一中六校联考)如图，在矩形OACB中，E和F分别是边AC和BC的点，满足AC＝3AE，BC＝3BF，若＝λ＋μ其中λ，μ∈R，则λ＋μ是(　　)

A. B.
C. D．1
[答案]　B
[解析]　＝＋＝＋，
＝＋＝＋，
相加得＋＝(＋)＝，
∴＝＋，∴λ＋μ＝＋＝.
12．(2011·辽宁沈阳二中阶段检测)已知非零向量与满足·＝0，且·＝－，则△ABC的形状为(　　)
A．等腰非等边三角形 B．等边三角形
C．三边均不相等的三角形 D．直角三角形
[答案]　A
[分析]　根据平面向量的概念与运算知，表示方向上的单位向量，因此向量＋平行于角A的内角平分线．由·＝0可知，角A的内角平分线垂直于对边，再根据数量积的定义及·＝－可求角A.
[解析]　根据·＝0知，角A的内角平分线与BC边垂直，说明三角形是等腰三角形，根据数量积的定义及·＝－可知A＝120°.故三角形是等腰非等边的三角形．
[点评]　解答本题的关键是注意到向量，分别是向量，方向上的单位向量，两个单位向量的和一定与角A的内角平分线共线．

第Ⅱ卷(非选择题　共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)
13．(文)(2011·湖南长沙一中月考)设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|等于________．
[答案]　
[解析]　3a＋b＝(3,6)＋(－2，y)＝(1,6＋y)，
∵a∥b，∴＝，∴y＝－4，∴3a＋b＝(1,2)，
∴|3a＋b|＝.
(理)(2011·北京朝阳区期末)平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.
[答案]　2
[解析]　a·b＝|a|·|b|cos60°＝2×1×＝1，
|a＋2b|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b＝4＋4＋4×1＝12，
∴|a＋2b|＝2.
14．(2011·华安、连城、永安、漳平、龙海、泉港六校联考)已知a＝(2＋λ，1)，b＝(3，λ)，若〈a，b〉为钝角，则λ的取值范围是________．
[答案]　λ<－且λ≠－3
[解析]　∵〈a，b〉为钝角，∴a·b＝3(2＋λ)＋λ＝4λ＋6<0，
∴λ<－，当a与b方向相反时，λ＝－3，
∴λ<－且λ≠－3.
15．(2011·黄冈市期末)已知二次函数y＝f(x)的图像为开口向下的抛物线，且对任意x∈R都有f(1＋x)＝f(1－x)．若向量a＝(，－1)，b＝(，－2)，则满足不等式f(a·b)>f(－1)的m的取值范围为________．
[答案]　0≤m<1
[解析]　由条件知f(x)的图象关于直线x＝1对称，
∴f(－1)＝f(3)，∵m≥0，∴a·b＝m＋2≥2，由f(a·b)>f(－1)得f(m＋2)>f(3)，
∵f(x)在[1，＋∞)上为减函数，∴m＋2<3，∴m<1，
∵m≥0，∴0≤m<1.
16．(2011·河北冀州期末)已知向量a＝，b＝(cosθ，1)，c＝(2，m)满足a⊥b且(a＋b)∥c，则实数m＝________.
[答案]　±
[解析]　∵a⊥b，∴sinθcosθ＋＝0，∴sin2θ＝－，
又∵a＋b＝，(a＋b)∥c，
∴m(sinθ＋cosθ)－＝0，
∴m＝，∵(sinθ＋cosθ)2＝1＋sin2θ＝，∴sinθ＋cosθ＝±，∴m＝±.
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)(2011·甘肃天水期末)已知向量a＝(－cosx，sinx)，b＝(cosx，cosx)，函数f(x)＝a·b，x∈[0，π]．
(1)求函数f(x)的最大值；
(2)当函数f(x)取得最大值时，求向量a与b夹角的大小．
[解析]　(1)f(x)＝a·b＝－cos2x＋sinxcosx
＝sin2x－cos2x－＝sin－.
∵x∈[0，π]，∴当x＝时，f(x)max＝1－＝.
(2)由(1)知x＝，a＝，b＝，设向量a与b夹角为α，则cosα＝＝＝，
∴α＝.因此，两向量a与b的夹角为.
18．(本小题满分12分)(2011·呼和浩特模拟)已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．
(1)求双曲线方程；
(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证·＝0.
[解析]　(1)解：∵e＝，∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ，
∵过(4，－)点，∴16－10＝λ，即λ＝6，
∴双曲线方程为x2－y2＝6.
(2)证明：F1(－2，0)，F2(2，0)，＝(－3－2，－m)，＝(－3＋2，－m)，
∴·＝－3＋m2，
又∵M点在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，
∴·＝0，即⊥.
19．(本小题满分12分)(2011·宁夏银川一中月考，辽宁沈阳二中检测)△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，向量m＝(2sinB,2－cos2B)，n＝(2sin2(＋)，－1)，m⊥n.
(1)求角B的大小；
(2)若a＝，b＝1，求c的值．
[分析]　根据向量关系式得到角B的三角函数的方程，解这个方程即可求出角B，根据余弦定理列出关于c的方程，解这个方程即可．
[解析]　(1)∵m⊥n，∴m·n＝0，
∴4sinB·sin2＋cos2B－2＝0，
∴2sinB[1－cos]＋cos2B－2＝0，
∴2sinB＋2sin2B＋1－2sin2B－2＝0，
∴sinB＝，
∵0b，∴此时B＝，
方法一：由余弦定理得：b2＝a2＋c2－2accosB，
∴c2－3c＋2＝0，∴c＝2或c＝1.
方法二：由正弦定理得＝，
∴＝，∴sinA＝，∵0x的值．
[解析]　(1)a·b＝coscos－sinsin＝cos2x，
|a＋b|＝
＝
＝＝2|cosx|，
∵x∈[，π]，∴cosx<0，
∴|a＋b|＝－2cosx.
(2)f(x)＝a·b＋|a＋b|＝cos2x－2cosx
＝2cos2x－2cosx－1＝22－
∵x∈[，π]，∴－1≤cosx≤0，
∴当cosx＝－1，即x＝π时fmax(x)＝3.
21．(本小题满分12分)(2011·河南豫南九校联考)已知＝(2asin2x，a)，＝(－1,2sinxcosx＋1)，O为坐标原点，a≠0，设f(x)＝·＋b，b>a.
(1)若a>0，写出函数y＝fx)的单调递增区间；
(2)若函数y＝f(x)的定义域为[，π]，值域为[2,5]，求实数a与b的值．
[解析]　(1)f(x)＝－2asin2x＋2asinxcosx＋a＋b＝2asin＋b，
∵a>0，∴由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋得，
kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
∴函数y＝f(x)的单调递增区间是[kπ－，kπ＋](k∈Z)
(2)x∈[，π]时，2x＋∈[，]，
sin∈[－1，]
当a>0时，f(x)∈[－2a＋b，a＋b]
∴，得，
当a<0时，f(x)∈[a＋b，－2a＋b]
∴，得
综上知，或
22．(本小题满分12分)(2011·北京朝阳区模拟)已知点M(4,0)，N(1,0)，若动点P满足·＝6||.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)设过点N的直线l交轨迹C于A，B两点，若－≤·≤－，求直线l的斜率的取值范围．
[解析]　设动点P(x，y)，则＝(x－4，y)，＝(－3,0)，＝(1－x，－y)．
由已知得－3(x－4)＝6，
化简得3x2＋4y2＝12，得＋＝1.
所以点P的轨迹C是椭圆，C的方程为＋＝1.
(2)由题意知，直线l的斜率必存在，
不妨设过N的直线l的方程为y＝k(x－1)，
设A，B两点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由
消去y得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0.
因为N在椭圆内，所以Δ>0.
所以
因为·＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2
＝(1＋k2)(x1－1)(x2－1)
＝(1＋k2)[x1x2－(x1＋x2)＋1]
＝(1＋k2)＝，
所以－≤≤－.解得1≤k2≤3.
所以－≤k≤－1或1≤k≤.
3、通过活动，使学生养成博览群书的好习惯。
B比率分析法和比较分析法不能测算出各因素的影响程度。√
C采用约当产量比例法，分配原材料费用与分配加工费用所用的完工率都是一致的。Ｘ
C采用直接分配法分配辅助生产费用时，应考虑各辅助生产车间之间相互提供产品或劳务的情况。错
C产品的实际生产成本包括废品损失和停工损失。√
C成本报表是对外报告的会计报表。×
C成本分析的首要程序是发现问题、分析原因。×
C成本会计的对象是指成本核算。×
C成本计算的辅助方法一般应与基本方法结合使用而不单独使用。√
C成本计算方法中的最基本的方法是分步法。X
D当车间生产多种产品时，“废品损失”、“停工损失”的借方余额，月末均直接记入该产品的产品成本
中。×
D定额法是为了简化成本计算而采用的一种成本计算方法。×
F“废品损失”账户月末没有余额。√
F废品损失是指在生产过程中发现和入库后发现的不可修复废品的生产成本和可修复废品的修复费用。Ｘ
F分步法的一个重要特点是各步骤之间要进行成本结转。(√)
G各月末在产品数量变化不大的产品，可不计算月末在产品成本。错
G工资费用就是成本项目。(×)
G归集在基本生产车间的制造费用最后均应分配计入产品成本中。对
J计算计时工资费用，应以考勤记录中的工作时间记录为依据。(√)
J简化的分批法就是不计算在产品成本的分批法。(×)
J简化分批法是不分批计算在产品成本的方法。对
J加班加点工资既可能是直接计人费用，又可能是间接计人费用。√
J接生产工艺过程的特点，工业企业的生产可分为大量生产、成批生产和单件生产三种，X
K可修复废品是指技术上可以修复使用的废品。错
K可修复废品是指经过修理可以使用，而不管修复费用在经济上是否合算的废品。Ｘ
P品种法只适用于大量大批的单步骤生产的企业。×
Q企业的制造费用一定要通过“制造费用”科目核算。Ｘ
Q企业职工的医药费、医务部门、职工浴室等部门职工的工资，均应通过“应付工资”科目核算。Ｘ
S生产车间耗用的材料，全部计入“直接材料”成本项目。Ｘ
S适应生产特点和管理要求，采用适当的成本计算方法，是成本核算的基础工作。(×)
W完工产品费用等于月初在产品费用加本月生产费用减月末在产品费用。对
Y“预提费用”可能出现借方余额，其性质属于资产，实际上是待摊费用。对
Y引起资产和负债同时减少的支出是费用性支出。X
Y以应付票据去偿付购买材料的费用，是成本性支出。X

Y原材料分工序一次投入与原材料在每道工序陆续投入，其完工率的计算方法是完全一致的。Ｘ
Y运用连环替代法进行分析，即使随意改变各构成因素的替换顺序，各因素的影响结果加总后仍等于指标的总差异，因此更换各因索替换顺序，不会影响分析的结果。(×)
Z在产品品种规格繁多的情况下，应该采用分类法计算产品成本。对
Z直接生产费用就是直接计人费用。X
Z逐步结转分步法也称为计列半成品分步法。√

A按年度计划分配率分配制造费用，“制造费用”账户月末(可能有月末余额/可能有借方余额/可能有贷方余额/可能无月末余额)。
A按年度计划分配率分配制造费用的方法适用于(季节性生产企业)

含详解答案