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第十七章第十七章 勾股定理勾股定理17.1 17.1 勾股定理勾股定理第第1 1课时课时 勾股定理勾股定理1课堂讲解课堂讲解2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升u勾股定理勾股定理u勾股定理与勾股定理与图图形的面形的面积积 相相传传2500年前，一次年前，一次毕毕达哥拉斯去朋友家作客，达哥拉斯去朋友家作客，发现发现朋友家用朋友家用砖铺砖铺成的地成的地面反映直角三角形三面反映直角三角形三边边的的某种数量关系，同学某种数量关系，同学们们，我我们们也来也来观观察下面的察下面的图图案，案，看看你能看看你能发现发现什么？什么？A、B、C的面的面积积有什么关系？有什么关系？直角三角形三直角三角形三边边有什么关系？有什么关系？ABC让我们一起探索这个古老的定理吧！让我们一起探索这个古老的定理吧！1知知识点点勾股定理勾股定理知知1 1导导 我国古代把直角三角形中我国古代把直角三角形中较较短的直角短的直角边边称称为为勾勾，较长较长的的直角直角边边称称为为股股，斜，斜边边称称为为弦弦.图图1称称为为“弦弦图图”，最早是由，最早是由三国三国时时期的数学家期的数学家赵赵爽在爽在为为周髀算周髀算经经作法作法时给时给出的出的.弦弦股股勾勾图图1知知1 1导导ABCABC(图图中每个小方格代表一个中每个小方格代表一个单单位面位面积积)图图2-1图图2-2(1)观观察察图图2-1 正方形正方形A中含有中含有 个个 小方格，即小方格，即A的面的面积积 是是 个个单单位面位面积积.正方形正方形B的面的面积积是是 个个单单位面位面积积.正方形正方形C的面的面积积是是 个个单单位面位面积积.99918知知1 1导导ABCABC(图图中每个小方格代表一个中每个小方格代表一个单单位面位面积积)图图2-1图图2-2 分分“割割”成成若干个直角边为若干个直角边为整数的三角形整数的三角形=18(单单位面位面积积)S正方形正方形c知知1 1导导ABCABC(图图中每个小方格代表一个中每个小方格代表一个单单位面位面积积)图图2-1图图2-2(2)在在图图2-2中，正方形中，正方形A，B，C中各含有多少个小方格？中各含有多少个小方格？它它们们的面的面积积各是多少？各是多少？(3)你能你能发现图发现图2-1中中三个正方三个正方 形形A，B，C的面的面积积之之间间有有 什么关系什么关系吗吗？SA+SB=SC 即：两条直角即：两条直角边边上上的正方形面的正方形面积积之和等于之和等于 斜斜边边上的正方形的面上的正方形的面积积.知知1 1导导A AB BC Ca ac cb bS Sa a+S+Sb b=S=Sc c观察所得到的各组数据，你有什么发现？观察所得到的各组数据，你有什么发现？猜想猜想:两直角边两直角边a、b与斜边与斜边c 之间的关系？之间的关系？a a2 2+b+b2 2=c=c2 2知知1 1讲讲a a2 2+b+b2 2=c=c2 2a ac cb b 直角三角形两直角边的平方和等于直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方斜边的平方.勾勾股股弦弦 勾股定理勾股定理(毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯定理)知知1 1讲讲定定义义：直角三角形两直角直角三角形两直角边边的平方和等于斜的平方和等于斜边边的平方的平方 如果用如果用a，b和和c分分别别表示直角三角形的两直角表示直角三角形的两直角边边 和斜和斜边边，那么，那么a2b2c2.数学表达式：数学表达式：在在RtABC中，中，C90，ABc，ACb，BCa，则则a2b2c2.分清斜分清斜边边和直角和直角边边因因为为在在RtABC中，中，a，b，c是三是三边边，所以可以用勾股定理解决，所以可以用勾股定理解决问题问题例例1 在在RtABC中，中，C90，A，B，C的的 对边对边分分别别是是a，b，c.(1)已知已知ab6，求，求c；(2)已知已知c3，b2，求，求a；(3)已知已知a b2 1，c5，求，求b.知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）导导引：引：(1)C90，ab6，由勾股定理，得由勾股定理，得(2)C90，c3，b2，由勾股定理，得由勾股定理，得(3)C90，a b2 1，a2b.又又c5，由勾股定理，得，由勾股定理，得(2b)2b252，解得解得b知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）解：解：总 结知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）利用勾股定理求直角三角形的利用勾股定理求直角三角形的边长边长的方法：的方法：一般一般都要都要经过经过“一分二代三化一分二代三化简简”这这“三步曲三步曲”，即一分：分，即一分：分清哪条清哪条边边是斜是斜边边，哪些是直角，哪些是直角边边；二代：将已知；二代：将已知边长边长及两及两边边之之间间的关系式代入的关系式代入a2b2c2（假假设设c是斜是斜边边）；三化三化简简1 设设直角三角形的两条直角直角三角形的两条直角边长边长分分别为别为a和和b，斜，斜边边 长为长为c.(1)已知已知a=6，c=10，求求b；(2)已知已知a=5，b=12，求求c；(3)已知已知c=25，b=15，求，求a.知知1 1练练（来自（来自教材教材）(1)(2)(3)解解：知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）下列下列说说法中正确的是法中正确的是()A已知已知a，b，c是三角形的三是三角形的三边长边长，则则a2b2c2B在直角三角形中，两在直角三角形中，两边边的平方和等于第三的平方和等于第三边边的的 平方平方C在在RtABC中，中，C90，所以，所以a2b2c2D在在RtABC中，中，B90，所以，所以a2b2c2C2知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）3 若一个直角三角形的两直角边的长分别为若一个直角三角形的两直角边的长分别为a，b，斜边长为斜边长为c，则下列关于，则下列关于a，b，c的关系式中不正的关系式中不正确的是确的是()Ab2c2a2 Ba2c2b2 Cb2a2c2 Dc2 2a2b2C知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）【2016荆门荆门】如如图图，在，在ABC中，中，ABAC，AD是是BAC的平分的平分线线已知已知AB5，AD3，则则BC的的长为长为()A5 B6 C8 D10C4知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）【2016东营东营】在在ABC中，中，AB10，AC2 ，BC边边上的高上的高AD6，则则另一另一边边BC等等于于()A10 B8 C6或或10 D8或或10C5知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）【2017陕陕西西】如如图图，将两个大小、形状完全相同，将两个大小、形状完全相同的的ABC和和ABC拼在一起，其中点拼在一起，其中点A与点与点A重重合，点合，点C落在落在边边AB上，上，连连接接BC.若若ACBACB90，ACBC3，则则BC的的长为长为()A3 B6 C3 D.A6知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）【2016漳州漳州】如如图图，在，在ABC中，中，ABAC5，BC8，D是是线线段段BC上的上的动动点点(不含端点不含端点B，C)，若，若线线段段AD长为长为正整数，正整数，则则点点D的个数共有的个数共有()A5个个 B4个个 C3个个 D2个个C7知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）如如图图，在，在RtABC中，中，A90，BD平分平分ABC，交，交AC于点于点D，且，且AB4，BD5，则则点点D到到BC的距离是的距离是()A3B4C5D6A82知识点知识点勾股定理与面积的关系勾股定理与面积的关系知知2 2导导 在在一一张纸张纸上画上画4个与个与图图所示的全等的直角三所示的全等的直角三边边形，形，并把它并把它们们剪下来如剪下来如图图所示，用所示，用这这四个直角三角形四个直角三角形进进行拼行拼摆摆，将得到一个以，将得到一个以a+b为边长为边长的大正方形和以直的大正方形和以直角形斜角形斜边边c为边长为边长的小正方形的小正方形归纳知知2 2导导 观观察察图图形，容易得到大正方形的形，容易得到大正方形的边长为边长为 a+b，所以，所以大正方形的面大正方形的面积积是是(a+b)2又因又因为为大正方形是由大正方形是由4个全等个全等的直角三角形和中的直角三角形和中间间的正方形拼成的，所以大正方形的的正方形拼成的，所以大正方形的面面积积又可表示成又可表示成 ab4+c2 因此有因此有(a+b)2=ab4+c2整理得整理得a2+b2=c2，即，即a、b、c为边为边的直角三角形的直角三角形满满足足两直角两直角边边的平方和等于斜的平方和等于斜边边的平方的平方知知2 2讲讲例例2 观观察如察如图图所示的所示的图图形，回答形，回答问题问题：(1)如如图图，DEF为为直角三角形，正方形直角三角形，正方形 P的面的面积积 为为9，正方形，正方形Q的面的面积为积为 15，则则正方形正方形M的面的面积积 为为_；(2)如如图图，分，分别别以直角以直角 三角形三角形ABC的三的三边长为边长为直径向三角形外作三个半直径向三角形外作三个半圆圆，则这则这三个半三个半圆圆形的面形的面积积之之间间的关系式是的关系式是_；(用用图图中字母表示中字母表示)(3)如如图图，如果直角三角形两直角，如果直角三角形两直角边边的的长长分分别为别为3和和 4，分，分别别以直角三角形的三以直角三角形的三边长为边长为直径作半直径作半圆圆，请请你你 利用利用(2)中得出的中得出的结论结论求阴影部分的面求阴影部分的面积积知知2 2讲讲(1)根据正方形的面根据正方形的面积积公式，公式，结结合勾股定理可得合勾股定理可得 DF2DE2EF2，即正方形，即正方形M的面的面积积91524；(2)另外由勾股定理可知另外由勾股定理可知AC2BC2AB2，所以，所以S1S2S3；(3)阴影部分的面阴影部分的面积积两个小半两个小半圆圆形的面形的面积积和直角三角和直角三角 形的面形的面积积大半大半圆圆形的面形的面积积，由，由(2)可知两个小半可知两个小半圆圆形形 的面的面积积和大半和大半圆圆形的面形的面积积，所以阴影部分的面，所以阴影部分的面积积 直角三角形的面直角三角形的面积积（来自（来自点拨点拨）导导引：引：知知2 2讲讲(1)24(2)S1S2S3(3)设设两个小半两个小半圆圆形的面形的面积积分分别为别为S1，S2，大半，大半圆圆 形的面形的面积为积为S3，三角形的面，三角形的面积为积为S，则则S阴影阴影S1S2SS3 S 346.（来自（来自点拨点拨）解：解：总 结知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）与直角三角形三与直角三角形三边边相相连连的正方形、半的正方形、半圆圆及正多及正多边边形、形、圆圆都具有相同的都具有相同的结论结论：两直角：两直角边边上上图图形面形面积积的和等于斜的和等于斜边边上的上的图图形面形面积积本例考本例考查查了勾股定理及正方形的面了勾股定理及正方形的面积积公式，半公式，半圆圆形面形面积积的求法，解答此的求法，解答此类题类题目的关目的关键键是仔是仔细细观观察所察所给图给图形，面形，面积积与与边长边长、直径有平方关系，就很容、直径有平方关系，就很容易易联联想到勾股定理想到勾股定理1 如如图图，图图中所有的三角形都是直角三角形，四中所有的三角形都是直角三角形，四边边 形都是正方形形都是正方形.已知正方形已知正方形A，B，C，D的的边长边长分分 别别是是12，16，9，12，求最大正方形，求最大正方形E的面的面积积.知知2 2练练（来自（来自教材教材）SE(122162)(92122)400225 625.解：解：2 (2016株洲株洲)如如图图，以直角三角形的三，以直角三角形的三边边a，b，c为为 边边或直径，分或直径，分别别向外作等向外作等边边三角形，半三角形，半圆圆，等腰直，等腰直 角三角形和正方形，上述四种情况的面角三角形和正方形，上述四种情况的面积积关系关系满满足足 S1S2S3的的图图形个数是形个数是()A1 B2 C3 D4知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）D知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）3 如如图图，直，直线线l上有三个正方形上有三个正方形a，b，c，若，若a，c的面的面 积积分分别为别为3和和4，则则b的面的面积为积为()A3 B4 C5 D7 D知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）如如图图，已知，已知ABC为为直角三角形，分直角三角形，分别别以直角以直角边边AC，BC为为直径作半直径作半圆圆AmC和和BnC，以，以AB为为直径作半直径作半圆圆ACB，记记两个月牙形阴影部分的面两个月牙形阴影部分的面积积之和之和为为S1，ABC的面的面积为积为S2，则则S1与与S2的大小关系的大小关系为为()AS1S2 BS1S2 CS1S2 D不能确定不能确定4C知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）【2017温州温州】四个全等的直角三角形按如四个全等的直角三角形按如图图所示所示方式方式围围成正方形成正方形ABCD，过过各各较长较长直角直角边边的中点作的中点作垂垂线线，围围成面成面积为积为S的小正方形的小正方形EFGH，已知，已知AM为为RtABM较长较长直角直角边边，AM2 EF，则则正方形正方形ABCD的面的面积为积为()A12S B10SC9S D8S5C1.勾股定理的适用条件：勾股定理的适用条件：直角三角形；它反映了直角直角三角形；它反映了直角 三角形三三角形三边边关系关系2由勾股定理的基本关系式：由勾股定理的基本关系式：a2b2c2可得到一些可得到一些 变变形关系式：形关系式：c2a2b2(ab)22ab(ab)2 2ab；a2c2b2(cb)(cb)等等1知知识小小结 在在ABC中，中，边边AB15，AC13，高，高AD12，则则 ABC的周的周长长是是()A42 B32 C42或或32 D不能确定不能确定C2易错小结易错小结本本题应题应分分ABC为锐为锐角三角形和角三角形和ABC为钝为钝角角三角形两种情况三角形两种情况讨论讨论解本解本题时题时常常容易忽略常常容易忽略其中一种情况而出其中一种情况而出错错易易错错点：点：考虑问题不全面而漏解考虑问题不全面而漏解.请请完成完成典中点典中点 、板板块块 对应习题对应习题！