11.3.2--多边形及其内角和.ppt

11.3 11.3 多边形及其内角和多边形及其内角和第第2 2课时课时 多边形的内多边形的内 角和角和第十一章第十一章 三角形三角形1课堂讲解课堂讲解u多边形的内角和多边形的内角和 u多边形的外角和多边形的外角和u多边形内角和与外角和的关系多边形内角和与外角和的关系2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升 如如图图，从多，从多边边形的一个形的一个顶顶点点A 出出发发，沿多，沿多边边形的形的各各边边走走过过各各顶顶点，再回到点点，再回到点A，然后，然后转转向出向出发发的方向，的方向，一一共共转过转过了多少度呢？了多少度呢？知知1 1讲讲1知识点知识点多边形的内角和多边形的内角和思考思考 我我们们知道，三角形的内角和等于知道，三角形的内角和等于180，正方形、，正方形、长长方形方形的内角的内角和都和都 等于等于360.那么，任意一个四那么，任意一个四边边形形的内角和是否也的内角和是否也等于等于360呢？你能利用呢？你能利用 三角形内角和三角形内角和定理定理证证明四明四边边形的内角和形的内角和等于等于360吗吗？知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）任意四任意四边边形的内角和等于多少度？形的内角和等于多少度？你是怎你是怎样样得到的？得到的？ABCD知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）ABCD2180=360 4180 360=360 四边形的内角和是四边形的内角和是3603603180 180=360 ABCDABCDEP知知1 1讲讲多边形多边形的边数的边数图图 形形从一个顶点引出从一个顶点引出的对角线条数的对角线条数分割出的三分割出的三角形的个数角形的个数多边形的多边形的内角和内角和3456 n(n2)1804 1802 1803 1801 18001122334n3n2知知1 1讲讲 一般地，从一般地，从n边边形的一个形的一个顶顶点出点出发发，可以作，可以作(n 3)条条对对角角线线，它，它们们将将n边边形分形分为为（n 2)个三角形，个三角形，n边边形形的内角和等于的内角和等于180(n 2).把一个多把一个多边边形分成几个三角形分成几个三角形，形，还还有其他分法有其他分法吗吗？由新？由新的分法，能得出多的分法，能得出多边边 形内角形内角和公式和公式吗吗？如果一个四如果一个四边边形的一形的一组对组对角互角互补补，那么另一，那么另一组对组对角角有什么关系？有什么关系？如如图图，在四，在四边边形形ABCD中，中，A+C=180,A+B+C+D=(42)180 =360B+D=360(A+C )=360180=180这这就是就是说说，如果四，如果四边边形的一形的一组对组对角互角互补补，那么另一，那么另一组对组对角也互角也互补补.例例1解：解：知知1 1讲讲一一个个多多边边形的各内角都等于形的各内角都等于120，它是几，它是几边边形？形？知知1 1练练（来自（来自教材教材）1已知正多已知正多边边形的每个内角都是形的每个内角都是156，求，求这这个多个多边边形的形的边边数数2解：解：设这设这个多个多边边形的形的边边数数为为n，则则(n2)180n120，解得，解得n6.所以它是六所以它是六边边形形解：解：设这设这个多个多边边形的形的边边数数为为n，由，由题题意得意得(n2)180156n，解得，解得n15，即，即这这个多个多边边形的形的边边数数为为15.四川遂宁四川遂宁若一个多若一个多边边形的内角和是形的内角和是1 260，则这则这个多个多边边形的形的边边数是数是_设这设这个多个多边边形的形的边边数数为为n，由，由题题意知，意知，(n2)1801 260，解得，解得n9.例例2导导引：引：9知知1 1讲讲总 结(1)已知多已知多边边形的内角和求形的内角和求边边数数n的方法：根据多的方法：根据多边边形内形内 角和公式列方程：角和公式列方程：(n2)180内角和，解方程内角和，解方程 求出求出n，即得多，即得多边边形的形的边边数；数；(2)已知正多已知正多边边形每个内角的度数形每个内角的度数k求求边边数数n的方法：根据的方法：根据 多多边边形内角和公式列方程：形内角和公式列方程：(n2)180kn，解，解 方程求出方程求出n，即得多，即得多边边形的形的边边数数知知1 1讲讲(中考中考怀怀化化)一个多一个多边边形的内角和是形的内角和是360，这这个多个多边边形是形是()A三角形三角形 B四四边边形形C六六边边形形 D不能确定不能确定（来自（来自典中点典中点）1知知1 1练练B(中考中考丽丽水水)一个多一个多边边形的每个内角均形的每个内角均为为120，则则这这个多个多边边形是形是()A四四边边形形 B五五边边形形C六六边边形形 D七七边边形形（来自（来自典中点典中点）2知知1 1练练C知知2 2导导问题问题1我我们们知道，三角形的内角和是知道，三角形的内角和是180，三角，三角形的外角和是形的外角和是360得出三角形的外角和是得出三角形的外角和是360有多种方法如有多种方法如图图，你，你能能说说说说怎怎样样由外角与相由外角与相邻邻内角互内角互补补的关系的关系得出得出这这个个结论吗结论吗？2知识点知识点三角形的外角和三角形的外角和BCDEF123知知2 2导导由由 1BAE180，2 CBF180，3 ACD180，得得 123BAECBFACD 540 由由 123180，得，得 BAECBFACD 540180 360知知2 2导导问题问题2如如图图，你能仿照上面的方法求四，你能仿照上面的方法求四边边形的外形的外 角和角和吗吗？BC123D4知知2 2导导由由 BAD+1=180，ABC+2=180，BCD+3=180，ADC+4=180，得得BAD+1+ABC+2+BCD+3+ADC+4=1804由由BAD+ABC+BCD+ADC=1802，得得1+2+3+4=1804 1802=360知知2 2导导问题问题3五五边边形的外角和等于多少度？六形的外角和等于多少度？六边边形呢？形呢？仿照上面的方法仿照上面的方法试试一一试试类类比求三角形、四比求三角形、四边边形的外角和的方法求出五形的外角和的方法求出五边边形的外角和是形的外角和是360，六，六边边形的外角和是形的外角和是360(解解答答过过程略程略)知知2 2导导如图，如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的些外角的 和叫做六边形的外角和和叫做六边形的外角和.六边形的外角六边形的外角和等于多少？和等于多少？例例3考考虑虑以下以下问题问题：（1）任何一个外角同与它相任何一个外角同与它相邻邻的内角有什么的内角有什么 关系？关系？（2）六六边边形的形的6个外角加上与它个外角加上与它们们相相邻邻的内的内 角，所得角，所得总总和是多少？和是多少？（3）上述上述总总和与六和与六边边形的内角和、外角和有形的内角和、外角和有 什么关系？什么关系？联联系系这这些些问题问题，考，考虑虑外角和的求法外角和的求法.六六边边形的任何一个外角加上与它相形的任何一个外角加上与它相邻邻的内角都等于的内角都等于180.因此六因此六边边形形 的的6个外角加上与它个外角加上与它们们相相邻邻的内角，所得的内角，所得总总和等于和等于6180.这这个个总总和就是六和就是六边边形的外角和加上内角和形的外角和加上内角和.所以外角和等于所以外角和等于总总和和减去内角减去内角 和，即外角和等于和，即外角和等于6180(6 2)180=2180 =360.分析：分析：解：解：知知2 2导导思考：思考：如果将例如果将例2中六中六边边形形换为换为n边边形形(n是不小于是不小于3的的任意整数），可以任意整数），可以 得到同得到同样结样结果果吗吗？知知2 2导导知知2 2导导归 纳（来自（来自点拨点拨）由上面的思考可以得到：由上面的思考可以得到：多多边边形的外角和等于形的外角和等于360.你也可以像以下你也可以像以下这样这样理解理解为为什么多什么多边边形的外形的外 角和等角和等于于360.如如图图11.3-12,从多从多边边形的一个形的一个顶顶点点A出出发发，沿多沿多边边形形的各的各边边走走过过各各顶顶点，再回到点点，再回到点A，然后，然后 转转向出向出发时发时的方向的方向.在行程中所在行程中所转转的各个角的和，的各个角的和，就就是多是多边边形的外角和形的外角和.由于走了一周，由于走了一周，所所转转的各的各 个角的和等于一个周角，个角的和等于一个周角，所以多所以多边边形的外角和等形的外角和等 于于 360.知知2 2讲讲图图 11.3-12已知四已知四边边形的四个外角度数比形的四个外角度数比为为1 2 3 4，求各外角的度数，求各外角的度数由四由四边边形外角和定理和各外角之形外角和定理和各外角之间间的比例关系可求出各外角的比例关系可求出各外角设设四四边边形的最小外角形的最小外角为为x，则则其他三个外角分其他三个外角分别为别为2x，3x，4x.根据四根据四边边形外角和等于形外角和等于360，得，得x2x3x4x360.所以所以x36，2x72，3x108，4x144.所以四所以四边边形各外角的度数分形各外角的度数分别为别为36，72，108，144.例例4 导导引：引：解：解：知知2 2讲讲总 结知知2 2讲讲(1)用多用多边边形外角和定理求内形外角和定理求内(外外)角或求正多角或求正多边边形的形的边边数数，一般可，一般可 利用利用方程思想方程思想通通过过列方程解决，都是列出外角和的字母表达式：列方程解决，都是列出外角和的字母表达式：各个外角的和各个外角的和(如本例如本例)或或边边数数正多正多边边形每个外角的度数，再形每个外角的度数，再 说说明它明它们们等于等于360，即可求出；，即可求出；(2)由于多由于多边边形的外角和等于形的外角和等于360，因此有些正多，因此有些正多边边形的内角形的内角问问 题题也可以也可以转转化化为为外角外角问题问题来解决来解决.通过本节课的探究与学习，你有哪些收获与体会？通过本节课的探究与学习，你有哪些收获与体会？多边形内角和定理及外角和定理的内容、推导和应用。多边形内角和定理及外角和定理的内容、推导和应用。体会数学中的类比和转化的数学思想。体会数学中的类比和转化的数学思想。1.必做必做：完成教材：完成教材P24-25习题习题11.3T3-4，T6-8；2.补补充：充：请请完成完成点点拨训练拨训练P16对应对应习题习题