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幕墙立柱的几种常见力学计算模型
幕墙立柱根据实际支撑条件一般可以按以下几种力学模型设计。
1、 简支梁

简支梁力学模型是《建筑幕墙工程技术规范》(JGJ102-2003)中推荐的立柱计算模型。在均布荷载作用下，其简化图形如图1.1。

由截面法可求得简支梁任意位置的弯矩为： 图1.1

进而可解得：当时，有弯矩最大值：。
简支梁的变形可以按梁挠曲线的近似微分方程[1]：

经过两次积分可得简支梁的挠度方程为：

由于梁上外力及边界条件对于梁跨中点都是对称的，因此梁的挠曲线也是对称的，则最大挠度截面发生在梁的中点位置。即：当时，代入上式有：

此种力学模型是目前我国幕墙行业使用的较广泛的形式，但由于没有考虑上下层立柱间的荷载的传递，因而计算结果偏于保守。
2、连续梁
在理想状态下，认为立柱上下接头处可以完全传递弯矩和剪力，其最大弯矩和变形可查《建筑结构静力手册》中相关的内力表。
在工程实际中，上下层立柱间采用插芯连接，若让插芯起到传递弯矩的作用，需要插芯有相当长的嵌入长度和足够的刚度。即立柱接头要作为连续，能传递弯矩，应满足以下两个条件：
(I) 芯柱插入上、下柱的长度不小于2hc, hc为立柱截面高度；
(II) 芯柱的惯性矩不小于立柱的惯性矩[4]。

计算时连续梁的跨数，可按3跨考虑。同时考虑由于施工误差等原因造成活动接头的不完全连续，从设计安全角度考虑，按连续梁设计时，推荐采用的弯矩值为：。
在工程实际中，我们不提倡采用这种连续梁算法。主要原因是由于铝合金型材模具误差等不可避免的因素，造成立柱接头处只能少部分甚至无法传递弯矩，根本无法形成连续梁的受力模型。

3、双跨梁（一次超静定）
在简支梁的计算中，由于挠度和弯矩偏大，为了提高梁的刚度和强度，就必须加大立柱截面，这样用料较大，在经济上也不太合算。在简支梁中间适当位置增加一个支撑，就形成了“双跨梁”，可以有效的减小梁的内力和挠度。
双跨梁简化图形如图3.1。

图3.1

双跨梁为一次超静定结构，可以采用力法求解，具体如下：
将支座B等效简化为一个反力RB，则根据荷载叠加原理，可以将图3.1的力学模型简化为图3.2-a和图33.2-b两种力学模型的合成。

按图3.2-a，在均布荷载作用下，B点的变形为：
…………①
按图3.2-b，在集中荷载RB作用下，B点的
变形为：
…………………②
另外，B点为固定支座，其总的变形为0，按此条件将①式与②式联立，可得方程③：
……………….. ③
解方程③，可以求得支座B处的反力RB，进而采用截面法可解得梁的最大弯矩为支座B处的负弯矩，其值为：

双跨梁的最大挠度在BC段，其值可近似按下式计算：

另外，在工程实际中双跨梁的最大挠度也可将BC段视做简支梁，按BC段简支挠度计算，这样计算的结果偏大。
双跨梁的弯矩和挠度除按上述方法计算外，也可按下式计算：

式中：m为最大弯矩系数，µ为最大挠度系数，均可由表1查取。
表1 双跨梁最大弯矩和挠度系数[3]
a/l
m
µ(x10-3)

a/l
m
µ(x10-3)
0.05
0.1072
4.56

0.20
0.0650
2.65
0.08
0.0974
4.31

0.22
0.0607
2.42
0.10
0.0913
3.92

0.25
0.0547
2.09
0.12
0.0878
3.68

0.30
0.0463
1.63
0.13
0.0826
3.55

0.35
0.0397
1.24
0.14
0.0799
3.43

0.40
0.0350
0.87
0.15
0.0772
3.31

0.45
0.0322
0.56
0.16
0.0746
3.15

0.50
0.0313
0.31
0.18
0.0697
2.81

以上简单介绍了双跨梁的力学模型，双跨梁在工程实际的应用是相当广泛的，它可以大大减少立柱的用料。在工程中大多利用建筑结构的下翻梁或加设钢梁、钢架来增加支点。同时，应当注意，双跨梁的最大支反力一般也出现在中间支座B处，这在计算幕墙预埋件时应特别注意。
待续

铰接多跨梁的立柱计算与分析

1．前言
21世纪，我国的幕墙行业已进入高速发展阶段，幕墙市场的竞争越来越激烈，幕墙工程的设计与施工也越来越规范、越来越成熟。作为一名幕墙设计师，为了降低工程的直接材料成本，提高幕墙产品的价格竞争力，在初步设计阶段，合理科学地选用计算模型显得十分重要。
根据玻璃幕墙规范与金属板石材幕墙规范规定，立柱设计可采用单跨梁、双跨梁或铰接多跨梁进行计算。本文将对单支点铰接多跨梁（多跨静定梁）的设计进行分析。
2．多跨铰接梁的受力分析
在幕墙立柱设计过程中，当主体结构梁高度较小，且楼层较多时，通常采用这种受力方式：幕墙立柱每层用一处连接件与主体结构连接，每层立柱在连接处向上悬挑一段，上一层立柱下端用插芯连接支承在此悬挑端上，实际上是一段段带悬挑的简支梁用铰连接成多跨梁，也就是多跨铰接梁。如图1。

图1　铰接多跨梁简图
根据大多实际工程情况，楼层高度是一致的，因此，我们只对等跨静定铰接梁讨论，即：
H1=H2=H3=…=Hn（H为层高）
L1’=L2’=L3’=…=Ln’（L’为悬挑长度）
从图1可以看出，第一跨为简支梁受力形式，第二、三、…、n跨均为静定梁受力结构。从整个结构受力来看，第一跨是结构受力最不利的部位。因而对于第一跨的设计及计算是多跨铰接梁受力计算的一个不可忽视的重点。
另外，由于H1=H2=H3=…=Hn是建筑物的楼层高度是固定值，L1’=L2’=L3’=…=Ln’是在设计时确定的悬挑段长度，可见悬挑值的确定会直接影响到立柱材料大小的选择。
3．多跨铰接梁需关注的问题
3.1 第一跨问题
根据受力分析，第一跨的结构受力较为不利，通常采用两种方式解决。
方案一：对第一跨作局部加强处理，可以增大型材截面，也可以在铝型材空腔中设置加强钢件，增大立柱的抵抗矩。以上处理均需在施工图及计算书中明确说明，在结构计算时需单独校核，以满足设计要求。
方案二：一般情况下，第一跨处于幕墙顶部，此部位大多有女儿墙结构，因此可以增设支点，受力形式也就为图2所示，第一跨实际为双跨梁受力结构，短跨为L0’。在受力分析计算时必须单独校核该部位立柱强度。

图2　受力模型简图
3.2 悬挑段长度的确定
在选定受力模式后，对L1’、L2’、…、Ln’的取值在设计时通常是根据主体结构与连接点的关系确定。但是否有较为合理的取值？下面我们对多跨静定铰接梁（等跨）的受力作进一步的分析。

图3　受力模型分析示意图

图4　悬挑段与简支段受力示意图
在图3中，AB1段为简支梁，我们对它作局部处理，它的受力在分析时仅供参考。B1B2、B2B3、…、Bn-1Bn均为带悬臂的静定梁悬臂长度为L2’、L3’、…、Ln’。Bn端以下一跨梁的悬臂为支座，在悬臂的端部作用一集中荷载，此集中荷载为前一跨梁Bn端的支座反力。
为讨论方便，我们将每跨静定梁分成悬挑段和简支段。图4中第一种情况是悬挑段受力简图，它受到来自面板的均布荷载q和Bn-1端的集中力P的作用，集中力P是前一跨梁端部支座反力的反作用力。第二种情况是简支段受力简图，它的荷载除均布荷载q外，还有由集中力P及均布荷载对Cn-1端产生的负弯距作用。
根据计算模型，
第一跨B支座反力
R1B=qL1/2×[1-（L1’/L1）2] （1）
第n跨B支座反力
RnBn=2、4、6R1B×[1-Ln’/Ln -（Ln’/Ln）n]
RnBn=3、5、7----=R1B×[1-Ln’/Ln +（Ln’/Ln）n]
当n≥4以后，（Ln’/Ln）n 项值很微小，RnB逼近一定值，可近似取：
第n跨B支座反力
RnBn=4、5----= R1B×[1-Ln’/Ln] （2）
第n跨集中力
Pnn=2、3、4----=R（n-1）B （3）
P2＞P3、P3＜P4----当n≥4以后，Pn逼近一定值，同时Mn也逼近一定值。
第n跨C支座弯距为：
M nC n=2、34----= -[PnLn’+qLn’2/2] （4）
第n跨简支段跨中弯距为：
Mn= qLn2/8·[1-（Ln’/Ln）2]2-PnLn’
×[1-(1+Ln’/Ln)2/2+ Ln’/Ln] （5）

图5　悬挑段与简支段弯矩图
从图5中可知，对同一立柱，当Cn支座的弯距M nC与跨中弯距M n相等时，能充分发挥立柱的截面特性，经济性也最好。即
MnCn=2、3、4----＝Mn　　　（6）
于是有，PnLn’+qLn’2/2＝qLn2/8·[1-（Ln’/Ln）2]2-PnLn’×[1-(1+Ln’/Ln)2/2+ Ln’/Ln]
联解(1)、（2）、…（5）等式，得
Ln’/Ln=1/6　　　　　　　　 　（7）
可见，当悬挑段长度为简支段长度的1/6时，两段的最大弯距很接近，立柱材料大小的选用最恰当。
4．多跨梁的设计分析
下面我们以138系列立柱为例，运用多跨铰接梁电算程序分析跨度L=4m时，悬挑段长度Ln’与简支段长度Ln的比值与各跨立柱最大应力的关系。
立柱截面参数：Ix=4104226.29 mm4
Wx＝55462.52 mm3
A=1570.73 mm2
立柱线荷载标准值：qk=3.0 kN/m
采用最大荷载法分析，悬挑长度Ln’分别取400mm（Ln’/Ln＝1/9）、500mm(Ln’/Ln＝1/7)、565mm(Ln’/Ln＝1/6)、600mm(Ln’/Ln＝1/5.7)、700mm(Ln’/Ln＝1/4.7)。对应部位的最大应力如下：
表1 (单位: N/mm2 )

Ln’
AB1段
B1C1段
C1B2段
C2B3段
1
400
118.058
58.918
95.580
95.229
2
500
111.657
73.343
85.794

85.073
3
565
107.618
80.844
80.832
79.788
4
600
105.436
87.767
77.199
75.893
5
700
99.696
102.191
69.848
67.678

从表1中数据可知，对应部位最大应力与悬挑段Ln’的变化关系，在第三种情况下实现了最佳组合，立柱的各跨度最大应力最接近，也就是我们经常提到的等强度设计理论，从受力角度考虑，这种情况立柱的经济性最好，能发挥立柱截面的最大效益，此时悬臂段与简支段长度的比值约为1/6。
当跨度为其他值时，情况又是如何呢？
表2数据为不同跨度情况下，悬挑段与简支段长度比值Ln’/Ln均约按1/6进行取值进行计算的结果。结果表明（除去第一跨AB1段）各跨的的最大应力都很接近，与以上分析情况一致。
表2 (单位: N/mm2 )

Ln
Ln’
AB1
B1C1
C1B2
C2B3
1
3000
424
60.753
45.729
45.682
45.094
2
3500
496
82.441
62.220
61.906
61.099
3
4500
635
136.08
102.19
102.05
100.87
4
5000
706
167.79
125.90
125.94
124.31
5
5500
777
202.83
152.24
152.18
150.21

5．结束语
当选用铰接多跨梁模型进行幕墙立柱设计时，我们要注意如下两点：一是第一跨是薄弱环节，其设计计算需慎重考虑；二是悬挑段的选定，可参照悬挑段与简支段为1:6的比例关系进行选取材料的利用率会最大，也会有更大的经济效益。
参考文献
1．张芹编《单元式、金属（石）板幕墙资料汇编》
2．《玻璃幕墙工程技术规范》 （JGJ102-2003）
3．《建筑结构荷载规范》 （GB50009-2001）
4．《建筑结构静力计算手册》 中国建筑工业出版

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