第十二章中学数学教育侧脸与评价.ppt

第十二章第十二章 中学数学教育中学数学教育测测量与量与评评价价n本章介绍中学数学命题与考试以及数学学习评价的相关知识，主要包括：中学数学试题的类型，命题的原则与标准，试题的编制工作，考试成绩的统计分析，数学学习评价的功能、类型、方法，等等。第一第一节节中学数学命中学数学命题题与考与考试试n中学数学的成绩考核主要有考查与考试两种基本类型。n考查是通过课堂提问、板演、检查书面作业以及单元测验，及时了解学生的学习情况，从而决定教学的起点与进度、教学内容的深度与广度。n考试包括期中考试、期末考试和毕业考试，是对学生学习情况全面、总结性的检查，是评定学生学习成绩的主要依据。n考试可分为口试、笔试、实践操作三种，笔试又可分为开卷与闭卷考试两种方式。n闭卷考试的关键在于命题。一、中学数学试题的类型n在标准化考试中，按照试题的正确答案是否唯一，评卷给分是否客观，可以把试题分为客观性试题和主观性试题两种类型。n（一）客观性试题n所谓客观性试题，是指正确答案唯一，不论由谁评卷都只能给出同一个分数的试题。n是非题、选择题、配对题、填空题等一般都属于客观性试题。n优点：客观性试题适应性强，既能考查学生对数学知识的理解水平，又能考查解题技能水平，具有容量大、覆盖的知识面广，评分统一、客观、标准等优点。n缺点：这类试题难以考查学生综合运用数学知识分析和解决实际问题的能力，也难以考查完整的推理论证能力及文字表达能力。而且对于是非题、选择题和配对题，学生在解答时往往可以借助非数学方法解答，甚至随意猜测，在一定程度上影响考试的信度和效度 n（二）主观性试题n所谓主观性试题，是指正确答案可用多种方式表达，评卷教师凭主观经验给分的试题。n问答题、改错题，计算题、应用题、作图题、证明题、阅读题等大多属于主观性试题。n优点：主观性试题既适于考查学生掌握数学基础知识和基本技能的水平，又适于考查学生灵活运用数学知识分析和解决问题的能力。同时，通过试卷还可以了解学生书面表达能力。n缺点：试题解答费时，每次考试的题数偏少，覆盖的知识面较窄，评分较困难，标准不易统一。新题型n（1）应用题。n应用题一般是指需要运用数学知识和数学方法来解决实际问题或其他学科中的问题。n（2）探索题。探索题一般是结论不太明确，或条件不够完备，要求通过观察、试验、分析、比较、类比、归纳，猜想出题目的结论或条件，然后加以严格的证明。n中学数学中的探索题，常见的有以下三种类型：n 题中只给出条件，没有给出明确的结论，或者结论不确定，要求探求结论并加以证明；n 题中只给出结论，没有给出完备的条件，要求确定应当具备的条件，并加以证明；n 改变已知问题的条件，探求结论相应地会发生什么变化；n 改变已知问题的结论，探求条件相应地需要发生什么变化。n（3）开放型题。n开放型题一般是指没有标准的终结答案，培养发散思维的数学问题。n开放型题的主要特征在于题目的答案不是唯一的，有时甚至是难以穷尽的。开放型题大多没有现成解法，也没有标准的终结答案，所以在教学中有其特定的功能。二、中学数学命题的原则和标准n准确性n完备性n相容性n独立性（一）准确性原则n准确性原则有三方面的含义：n 一是题目的叙述必须清楚、准确，不能模棱两可；n二是题中所涉及的概念或记号必须是教材中已被定义或已被规定的，如需使用教材以外的概念、记号，必须在题目中加以阐明；n三是题中的已知数据和结论数据必须合乎实际情形，不能脱离实际随意编造。（二）完备性原则n完备性原则，是指题目的条件必须充分，在给定的知识范围内足以保证结论成立或问题可解。违反完备性原则，所设计的数学题将导致错误或无法解答。（三）相容性、独立性原则n相容性原则，是指题目的条件与条件之间不能互相矛盾，条件与结论之间不能互相矛盾，条件与定义、公理、定理之间也不能互相矛盾。n独立性原则，亦即试题题设中给出的条件，彼此之间是独立的，不允许有相互包含或重复的情况发生。通常把其叙述为“条件必须是独立的、最小的”，并作为数学试题科学性的一个标准。n例如，“在ABC中，ABC=126，求证：ab=a+ba+b+c”n相容性强调的是各个条件之间的不矛盾性，而“条件必须是独立的、最小的”则是强调题设的“最佳”，即简单、经济，二者有所侧重。n关于命题的标准，从定性的要求，其标准为：注重基础，构思严谨，敞开思路，不落俗套，又能考查学生的真实数学能力。从定量的要求，其标准为：坡度平缓，层次分明；覆盖全面，重点突出；难度适中，区分度强；信度要高，效度要好。三、中学数学命题的步骤n（一）明确考试的目的n（二）编制考试方案n明确考试的目的就是明确测验主办者通过考试希望获得的信息。这种信息包括学生的学习状态、学习水平在学生群体中所处的位置，以及教学的效果等。可以通过以下途径明确考试目的：n（1）通过明确考试的性质来明确考试目的。n（2）通过明确考试的知识容量来明确考试目的。n（3）通过明确考试的综合程度来明确考试目的。n根据考试的目的与要求所编制的考试方案，通常是通过制订一张双向细目表来体现的。它主要包括以下几部分内容：n（1）选定测验的知识载体。n（2）预定测验的时间。n（3）确定试卷所要测量的能力。n（4）选取题型，分配分数。n（5）编制标准答案，给出评分标准。（二）编制考试方案n根据考试的目的与要求所编制的考试方案，通常是通过制订一张双向细目表来体现的。它主要包括以下几部分内容：n（1）选定测验的知识载体。n（2）预定测验的时间。n（3）确定试卷所要测量的能力。n（4）选取题型，分配分数。n（5）编制标准答案，给出评分标准。四、中学数学试题的编制n（一）数学试题的编制要素n（1）试题的立意n从整卷来讲，立意主要表现出三大形式：知识性立意；能力性立意；发展性立意。n（2）试题的位置难度n（3）试题的素材n4）试题的表达方式（二）数学试题编制的基本工作n1.选题n选题就是选用某些现成的题目作为试题。n选题的原则是：n题目所设计的内容和形式具有普遍的代表性；n题目的内容能代表数学知识的重点，题目的形式新颖、完美；n题目的素材具有普适性。2.改题n改题就是以一道现成的题目为基础，将其改造成一个适用的试题。n如，在开放题的改造过程中，下面的方法经常使用：弱化试题的条件，使其结论多样化；隐去试题的结论，使其指向多样化；在给定的条件下，探求多种结论；给出结论，寻求使结论成立的充分条件；比较某些对象的异同点；利用不同知识的联系与区别进行推广或类比；考虑原命题的逆命题以及在实际情境中，寻求多种解法与结论。3编题n编题是指命题者根据命题要求编制新颖试题。n（1）改编陈题。n习惯上把教科书中的例题、习题和其他各类书刊上已有的题目称为陈题。n 变更结论法。n这种方法是保持试题的条件不变，变更试题的结论。其方式有以下几种：将试题的结论特殊化；将试题的结论作为中间结果编制新题；将试题的结论作等价变换。n 变更条件法。这种方法是保持结论不变，变更试题的条件。其方式有以下几种：将试题的条件作等价变换；将试题的条件一般化；将试题的条件特殊化。n例如，对题目“已知一条曲线在x轴的上方，它上面每一点到A(0,2)的距离减去它到x轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程”，n改编：如果去掉“在x轴上方”的条件，或将“x轴”改为“y轴”，就可以成为两道新的题目了。n 同时变更试题的条件和结论编制新题。n这种方法同时变更试题的条件、结论，是一种比较有效的编题方法。n有以下几种方式：通过类比关系编新题，即将试题的知识背景与另一知识背景建立类比关系，从而编制类似的问题（新题的正确性用另外途径加以证明）；将试题的条件和结论同时一般化；将试题的条件和结论同时特殊化；交换陈题中的条件和结论；以陈题作为解题依据编制新题；形数转化编制新题，这是一种将几何问题转化为代数问题，或将代数问题转化为几何问题，从而编制新题的方法。（2）编制新题 n 利用实际问题编制新题。n通过建立数学模型，从实际问题抽象出新的数学问题。n这类题的结构为：实际问题情境，数学模型化，解数学模型，从而解答这个实际问题。n其目的是为了测量学生灵活运用所学数学知识分析和解决问题的能力.n解答这类题的关键是从所学的数学知识中选取合适的数学知识，将实际问题数学化。n 利用数学自身问题编制新题。n利用已学过的数学命题间的不同组合进行逻辑推导，是编制新题的主要方法。n具体有以下方式：由给定的条件确定结论编制新题，指先给出题目的已知条件，由已知条件推出其结论，然后比较其中独立结论得到的途径，以确定作为新题的结论；由给定的结论确定条件编制新题，指先给定结论，再寻找结论成立的充分条件，然后比较其中独立条件得到的途径，以确定新题的条件；以高等数学知识为背景编制新题指以高等数学的思想和知识为背景，把高等数学中的问题初等化，可以编制新题。特征量数之特征量数之集中集中量数量数描述数据集中描述数据集中趋势趋势通用符号：通用符号：计计算公式：算公式：一个数据发生任何微小的变化都会影响到算术平均数的大小，算术平均数能够非常灵敏地反映数据的变动。但是，一些极端数值(极大值或极小值)很容易影响平均数，使其失去典型性。1、算算术术平均数平均数对数学试卷进行分析时最常用的量2、中位数中位数:用 Md表示，是在一组按大小顺序排列的数据中位置居中的那个数。数据是奇数个时，正好是中间位置的数，即第（N+1)/2 个那个数；数据是偶数个时，求中间位置两个数的平均数。3、众数众数用 M0表示，是一组数据中次数出现最多的那个数。第二节考试成绩的统计分析 特征量数之特征量数之差异差异量数量数描述描述实际观测值实际观测值离散程度离散程度标准差越大表明离散程度越大，数据不均匀，集中量的代表性小。1、标标准差准差最优良的差异量数通用符号：通用符号：S(S(样样本本标标准差准差)（总总体体标标准差）准差）计计算公式：算公式：计计算公式：算公式：2、平均差平均差所有观察值与算术平均数之差的绝对值的算术平均数。平均差越大说明数据的差异程度越大。通用符号：通用符号：AD S或3、全距全距最粗略的差异量计计算公式：算公式：最大值-最小值标准差的应用：变异系数、标准分数计计算公式：算公式主要用于：主要用于：同一同一团团体不同体不同观测值观测值离散程度的比离散程度的比较较；对对于水平相差于水平相差较较大，但大，但进进行的是同一种行的是同一种观测观测的各种的各种团团体离散程度的比体离散程度的比较较。例：已知某小学一年级学生的平均体重为25千克，标准差是3.7千克，平均身高110厘米，标准差为6.2厘米，问体重与身高的离散程度那个大？解：CV体重3.7/2514.8 CV身高6.2/110=5.64答：通过比较差异系数可知，体重的分散程度比身高的分散程度大（14.85.64)。1、变变异系数异系数一种相一种相对对差异量，常用差异量，常用CV表示表示（标准差与平均数的比）含义：是一种由原始分推导出来的相对地位分，它是用来说明原始分在所属的那些分数中的相对位置的。Z 分数准确地刻划了一个分数在一批分数中的相对位置。Z0，学生考分处于中下水平；Z=0，达平均水平；Z0，成绩较好。若某生Z总和较大，说明该生成绩较好。2、标标准分数准分数常用常用Z表示表示数学教育测量与评价计计算公式：算公式：（原始数据与平均数之差除以标准差）主要用于：主要用于：表明每个研究表明每个研究对对象在群体中的相象在群体中的相对对位置；位置；比比较较不同不同统计统计指指标标得分在群体中的相得分在群体中的相对对位置，如某生在位置，如某生在选择题选择题、填空、填空题题的的标标准分数可准分数可以确定他在以确定他在选择题选择题、填空、填空题题方面分方面分别处别处什么位置；什么位置；以以标标准分数之和表准分数之和表示示总总成成绩绩。例：某生三次数学考试的成绩分别为92、77、60，三次考试的班平均分为92、75、57，标准差分别为8、4、5。如何看待该生的三次考试成绩?答：如果仅从原始分数看，肯定认为第一次最好，其实不然，要计算出各次的标准分数，才能说明问题。根据公式得出：Z1=(7070)/8=0 Z2=（5755）/4=0.5 Z3=（4542）/5=0.6 这说明，原始分数为92，其位置正在平均线上，而原始分数为77的，其位置在平均线上0.5处，而原始分数为60的，其位置在平均线上0.6处。很显然第三次成绩最好，第一次最差。标标准分数（准分数（Z）的用途一：）的用途一：数学教育测量与评价标标准分数（准分数（Z）的用途二：）的用途二：运用运用标标准分比准分比较较不同教育不同教育测验测验成成绩总绩总分的分的优优劣，更劣，更为为合理。合理。例：甲乙两学生五科考试成绩如下，试分析哪名学生成绩好些？语语文文数学数学地理地理历历史史政治政治合合计计70.0 14.0 80 85 0.71 1.07 85.0 3.5 90 88 1.43 0.8655.0 4.0 57 51 0.50 1.0042.0 5.0 45 40 0.60 0.4070.0 8.0 70 90 0 2.50 342 354 3.24 3.03两考生两考生总总成成绩标绩标准分数准分数计计算表算表 甲生甲生 乙生乙生 甲生甲生 乙生乙生 如果按原始分数乙生总分是354分优于甲生的342分总分，但按标准分数则甲生的3.24分优于乙生的3.03分。科科 目目 X S X Z难度n难度是指试卷（题）的难易程度。n一般用试卷（题）的得分率或答对率（P）表示。nP值在01之间，数值越大，说明试卷（题）越容易。最易容易适中题 较难难很难难度0.950.850.700.500.300.10章节考试20%40%30%10%高考30%30%20%20%竞赛20%30%30%20%难度n1.客观性试题难度计算n使用范围：采用二分法计分的题目n难度以通过率来表示(P为题目的通过率，R为答对或通过该题目的人数，N为全体考生数。)n2.主观试题的难度计算n使用范围：论述题、问答题和计算题等非二分法计分的题目n难度以通过率来表示(为被试在某一题上的平均分，W为该题的满分。)区分度n指试题对不同考生的知识、能力水平的鉴别程度。n题目的区分度反映了试题这种区分能力的高低。n题目区分度的实质是用以鉴定一个题目有效性的指标。n与难度相比，更关注题目的区分度，区分度反映了试题这种区分能力的高低，并以此作为筛选和修改试题的主要依据。区分度值题目的区分度 0.3好 0.4优秀n区分度的计算方法n1.得分率求差法n2.得分求差法信度n信度是衡量测验分数一致性或可靠性的一个指标，即用一个或一组测验对同一被试群体施测多次，所得结果的一致性的程度，以及测验分数所反映被试真实水平（即真分数）的可靠性程度。n分半相关n将全卷中全部试题按题号或分数适当分半，得到两个平行“子试卷”，计算这两个子试卷考生得分的相关系数，这样求得的是半个试卷的信度，然后再用Spearman-Brown公式校正，得到考试的分半信度系数。n一般认为分半信度系数在0.90以上比较合适。n比较适合多数为选择题的试卷。第三第三节节数学学数学学习评习评价价n一、数学学习评价概述n数学学习评价是指有计划、有目的地收集有关学生在数学知识掌握、应用数学知识的能力和对数学情感、态度、价值观等方面的信息，并根据这些信息对数学学习状况或某个课程或教学计划做出结论的过程。（一）数学学习评价的目的 n数学学习评价针对学生表现为以下几个目的：n诊断学生在学习中存在的困难，及时调整和改进学习方法；n对学生在数学学习中取得的成就和进步进行评价，激励学生的数学学习；n全面了解学生数学学习的历程，帮助学生认识自己在解题、策略、思维方法和学习习惯的长处和不足，提供改进的方向；n使学生明确学习中欲达到的目标，便于学生形成正确的学习预期；n促使学生对数学树立积极的态度、情感和价值观，帮助学生认识自我，建立信心。n数学学习评价针对教师表现为以下几个目的：n及时获得学生学习信息的反馈，了解学生学习的进展和遇到的问题；n及时了解教师自身在知识结构、教学设计和教学组织等方面的表现，随时调整和改进教学进度和教学方法，使教学更适合学生的学习，更有利于学生的发展。（二）数学学习评价的内容n知识技能方面的评价包括：对数与代数、空间与图形、统计与概率等中的有关“双基”掌握情况的评价。n数学思考的评价包括：对形成有关的抽象思维能力、形象思维能力、统计观念和推理能力的历程评价。n解决问题的评价包括：对提出问题和解决问题的能力、解决问题的策略、创新和实践能力、合作与交流能力以及评价与反思的意识的评价。n情感与态度的评价包括：对学生参与学习活动情况、学习的习惯与态度以及学习兴趣与自信心等方面的评价。n不同的评价方法在评价过程中起着不同的作用，常常采用多种评价方法一起使用。n对学生知识、技能掌握情况的评价，可采取定量和定性评价方式相结合。n数学思考和解决问题方面的评价，应更多地在学生学习过程和解决实际问题过程中进行考查，可采用形成性评价。n情感与态度方面的评价主要通过教学过程中对学生的参与程度和投入精力等方面的考查，可采用定性的评价方法。二、数学学习评价的功能n（1）提供反馈信息，完善教师的教和学生的学。n（2）对学生的成就和进步进行肯定评价，激励学生的数学学习情感。n（3）帮助学生认识自我、树立信心，使学生形成正确的学习目的。n（4）收集学生数学学习的全面信息，为修改课程和教学设计方案提供依据。三、数学学习评价的要求n（1）恰当评价学生基础知识与基本技能的掌握。n（2）重视对学生发现问题和解决问题能力的评价。n（3）提倡评价主体多元化和评价方式多样化。四、数学学习评价的类型标准类别评价目的或时机诊断性评价形成性评价终结性评价评价解释结果的方法分类 标准参照评价常模参照评价 分类目的形式时间安置性评价确定必需的准备技能，对学习目标的掌握程度和寻求最佳的学习模式。以往成绩的记录，对学习目标的预测，观察等 考查学生是否具有最低知识和能力准备诊断性评价查明那些持久的学习问题的成因，并且制订出矫正计划。如摸底考试制定计划之前形成性评价学生和教师提供关于学会与否的连续反馈。用来测量学生目前在数学学习中目标达成的程度和具体学习情况。如随堂考、单元测验等教学的中间环节。终结性评价确定学习目标达成的程度，主要用于给学生的表现打分，或证明学生对预期的学习目标掌握情况。如期中考、期末考、毕业考、升学考在教学过程或单元结束时进行 分类定义目的标准参照评价 在评价对象群体之外，预定一个客观的或理想标准，并用这个固定的标准去评价每个对象，主要用于评价既定学习目标达成的情况。明确学习任务（如整数的加减法）的具体范围并对学生的表现进行描述。常模参照评价 学生在已知群体中的相对位置（如在班上排名第五）。其基本特征在于比较，比较的标准源自于已知的群体，也只适用于该群体，由评价对象组成的群体整体状况决定着每个群体成员的水平。让评价对象明确自己在群体中的位置，提高学习的动力。五、数学学习评价的方法n（一）定量评价方法n定量评价是指对数学学习欲评价的内容，通过教育测量、统计等方法与手段，收集数据信息，进行定量分析、处理，找到集中趋势的量化指标和离散程度，给出综合性定量描述与判断。n这种方法的特点决定了其功能的有限，主要适用于学生对数学“双基”掌握情况的评价，即只适用于可以转化为分数的学习表现的评价。那些无法简单地以数字加以衡量的学习目标，比如，学生的数学学习情感与态度，则难以用定量的方法加以评价。n（二）定性评价方法n所谓定性评价，是对数学学习欲评价的内容，通过观察法、调查法等收集的数学学习的信息，筛选出集中趋势的判断，舍弃非本质的离散现象，对事物本质进行决策性判定。n这种评价既能反映学生所获得的数学知识和能力，又能揭示其非认知行为，如数学学习的态度、情感和合作精神等。n定性评价方法有：课堂观察法、访谈法、问卷法和数学日记法。