建立空间直角坐标系-解立体几何题.doc

建立空间直角坐标系，解立体几何高考题
立体几何重点、热点：
求线段的长度、求点到平面的距离、求直线与平面所成的夹角、求两异面直线的夹角、求二面角、证明平行关系和垂直关系等．
常用公式：
1、求线段的长度：
2、求P点到平面的距离：，（N为垂足，M为斜足，为平面的法向量）
3、求直线l与平面所成的角：，(,,为的法向量)
4、求两异面直线AB与CD的夹角：
5、求二面角的平面角：，（ ，为二面角的两个面的法向量）
6、求二面角的平面角：，（射影面积法）
7、求法向量：①找；②求：设 为平面内的任意两个向量，为的法向量，
则由方程组，可求得法向量．

高中新教材9(B)引入了空间向量坐标运算这一内容，使得空间立体几何的平行﹑垂直﹑角﹑距离等问题避免了传统方法中进行大量繁琐的定性分析，只需建立空间直角坐标系进行定量分析，使问题得到了大大的简化。而用向量坐标运算的关键是建立一个适当的空间直角坐标系。
一﹑直接建系。
当图形中有互相垂直且相交于一点的三条直线时，可以利用这三条直线直接建系。
例1. (2002年全国高考题)如图，正方形ABCD﹑ABEF的边长都是1，而且平面ABCD﹑ABEF互相垂直。点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a（）。 （1）求MN的长； （2）当a为何值时，MN的长最小；
（3）当MN最小时，求面MNA与面MNB所成二面角α的大小。
解：（1）以B为坐标原点，分别以BA﹑BE﹑BC为x﹑y﹑z轴建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz，由CM=BN=a，M(，0，),N（，，0）
∴ =(0，，)
∴ =
=（）
（2）由（1）=
所以，当a=时，=，
即M﹑N分别移动到AC﹑BF的中点时，MN的长最小，最小值为。
（3）取MN的中点P，连结AP﹑BP，因为AM=AN，BM=BN，
所以AP⊥MN，BP⊥MN，∠APB即为二面角α的平面角。
MN的长最小时M(，0，),N（，，0）
由中点坐标公式P(，，),又A（1，0，0），B（0，0，0）
∴ =(，-，-)，=(-，-，-)
∴ cos∠APB===-
∴ 面MNA与面MNB所成二面角α的大小为π-arccos
例2.(1991年全国高考题)如图，已知ABCD是边长为4的正方形，E﹑F分别是AB﹑AD的中点，GC⊥面ABCD，且GC=2，求点B到平面EFG的距离。
解：建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，
由题意 C（0，0，0），G（0，0，2），E（2，4，0），F（4，2，0），B（0，4，0）
∴ =（2，4，-2），=（4，2，-2），=（2，0，0）
设平面EFG的法向量为=（x，y，z），则⊥，⊥，
得，
令z=1，得x=，y=
即=（，，1），
在方向上的射影的长度为
d ====
例3. (2000年二省一市高考题) 在直三棱柱ABC- A1B1C1中CA=CB=1，
∠BCA=900，棱A A1=2，M﹑N分别是A1B1﹑A1 A的中点。
（1）求的长； （2） 求cos；（3）求证：A1B⊥C1M
解：建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，则C（0，0，0），B（0，1，0）， N（1，0，1），A1（1，0，2），B1（0，1，2），C1（0，0，2），M(，，2)
（1）=（1，-1，1）， 故=；
（2）=（0，1，2），=（1，-1，2）
∴ cos=
==
（3）=（-1， 1，-2），
=(，，0)
∴ •= -1×+1×+(-2)×0=0
∴ A1B⊥C1M
二﹑利用图形中的对称关系建系。
有些图形虽然没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是图形中有一定的对称关系（如：正三棱锥﹑正四棱锥﹑正六棱锥等），我们可以利用图形的对称性建立空间直角坐标系来解题。
例4. (2001年二省一市高考题)如图，以底面边长为2a的正四棱锥V-ABCD底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系O-xyz，其中Ox∥BC，Oy∥AB，E为VC的中点，高OV为h 。
（1）求cos； （2）记面BCV为α，面DVC为β，若∠BED是二面角α-VC-β的平面角，求∠BED 。
解：（1）由题意B（a，a，0），
D（-a，-a，0），E（-，，）
∴ =（-，-，），
=（，，）
cos=
=
=
（2） ∵ V（0，0，h），C（-a，a，0）
∴=（-a，a，- h）
又 ∠BED是二面角α-VC-β的平面角
∴ ⊥，⊥
即 ·=--= a2-=0， a2=
代入 cos==-
即∠BED=π-arccos
三﹑利用面面垂直的性质建系。
有些图形没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是有两个互相垂直的平面，我们可以利用面面垂直的性质定理，作出互相垂直且相交于一点的三条直线，建立空间直角坐标系。
例5. (2000年全国高考题) 如图，正三棱柱ABC- A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a 。
（1） 建立适当的坐标系，并写出A﹑B﹑A1﹑C1的坐标；
（2） 求 AC1与侧面AB B1A1所成的角。
解：（1）如图，以点A为坐标原点，以AB所在直线为y轴，以AA1所在直线为z轴，以经过原点且与ABB1A1垂直的直线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系。
由已知得：A（0，0，0），B（0，a，0），A1（0，0，a），C1（-，，a）
（2）取A1B1的中点M，于是有M（0，，a），连AM﹑MC1有
=（-，0，0），且=（0，a，0），=（0，0，a）
由于·=0，·=0，故MC1⊥平面AB B1A1 。
∴ A C1与AM所成的角就是AC1与侧面AB B1A1所成的角。
∵ =（-，，a），=（0，，a）,
∴ ·=0++2a2 =,
==a ，
==
∴ cos==
∴ 与所成的角，即AC1与侧面AB B1A1所成的角为30o 。
例6. (2002年上海高考题) 如图，三棱柱OAB- O1A1B1，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB=600, ∠AOB=900，且OB= OO1=2，OA=。
求：（1）二面角O1–AB–O的大小；
（2）异面直线A1B与A O1所成角的大小。（结果用反三角函数值表示）
解：（1）如图，取OB的中点D，连接O1D，则O1D⊥OB
∵ 平面OBB1O1⊥平面OAB，
∴ O1D⊥面OAB，
过D作AB的垂线，垂足为E，连结O1E， 则O1E⊥OB，
∠DEO1为二面角O1–AB-O的平面角。
由题设得O1D=
sin∠OBA==
∴ DE=DBsin∠OBA=
∵ 在RtΔO1DE中，tan∠DE O1=
∴ ∠DE O1=arctan，即二面角O1–AB–O的大小为arctan。
（2）以O为原点，分别以OA﹑OB所在直线为x﹑y轴，过点O且与平面AOB垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系。则O（0，0，0），O1（0，1，），
A（，0，0）， A1（，1，）， B（0，2，0），
则=（-，1，-），=（，-1，-）
cos〈，〉===-
故异面直线A1B与A O1所成角的大小arccos。

姓 名： 张传法
地 址： 山东临沂市罗庄区一中 （276017）
E-mail : zhangchuanfa424@
（注：本文发表于《数学通讯》2004年第6期） 3、通过活动，使学生养成博览群书的好习惯。
B比率分析法和比较分析法不能测算出各因素的影响程度。√
C采用约当产量比例法，分配原材料费用与分配加工费用所用的完工率都是一致的。Ｘ
C采用直接分配法分配辅助生产费用时，应考虑各辅助生产车间之间相互提供产品或劳务的情况。错
C产品的实际生产成本包括废品损失和停工损失。√
C成本报表是对外报告的会计报表。×
C成本分析的首要程序是发现问题、分析原因。×
C成本会计的对象是指成本核算。×
C成本计算的辅助方法一般应与基本方法结合使用而不单独使用。√
C成本计算方法中的最基本的方法是分步法。X
D当车间生产多种产品时，“废品损失”、“停工损失”的借方余额，月末均直接记入该产品的产品成本
中。×
D定额法是为了简化成本计算而采用的一种成本计算方法。×
F“废品损失”账户月末没有余额。√
F废品损失是指在生产过程中发现和入库后发现的不可修复废品的生产成本和可修复废品的修复费用。Ｘ
F分步法的一个重要特点是各步骤之间要进行成本结转。(√)
G各月末在产品数量变化不大的产品，可不计算月末在产品成本。错
G工资费用就是成本项目。(×)
G归集在基本生产车间的制造费用最后均应分配计入产品成本中。对
J计算计时工资费用，应以考勤记录中的工作时间记录为依据。(√)
J简化的分批法就是不计算在产品成本的分批法。(×)
J简化分批法是不分批计算在产品成本的方法。对
J加班加点工资既可能是直接计人费用，又可能是间接计人费用。√
J接生产工艺过程的特点，工业企业的生产可分为大量生产、成批生产和单件生产三种，X
K可修复废品是指技术上可以修复使用的废品。错
K可修复废品是指经过修理可以使用，而不管修复费用在经济上是否合算的废品。Ｘ
P品种法只适用于大量大批的单步骤生产的企业。×
Q企业的制造费用一定要通过“制造费用”科目核算。Ｘ
Q企业职工的医药费、医务部门、职工浴室等部门职工的工资，均应通过“应付工资”科目核算。Ｘ
S生产车间耗用的材料，全部计入“直接材料”成本项目。Ｘ
S适应生产特点和管理要求，采用适当的成本计算方法，是成本核算的基础工作。(×)
W完工产品费用等于月初在产品费用加本月生产费用减月末在产品费用。对
Y“预提费用”可能出现借方余额，其性质属于资产，实际上是待摊费用。对
Y引起资产和负债同时减少的支出是费用性支出。X
Y以应付票据去偿付购买材料的费用，是成本性支出。X
Y原材料分工序一次投入与原材料在每道工序陆续投入，其完工率的计算方法是完全一致的。Ｘ
Y运用连环替代法进行分析，即使随意改变各构成因素的替换顺序，各因素的影响结果加总后仍等于指标的总差异，因此更换各因索替换顺序，不会影响分析的结果。(×)
Z在产品品种规格繁多的情况下，应该采用分类法计算产品成本。对
Z直接生产费用就是直接计人费用。X
Z逐步结转分步法也称为计列半成品分步法。√

A按年度计划分配率分配制造费用，“制造费用”账户月末(可能有月末余额/可能有借方余额/可能有贷方余额/可能无月末余额)。
A按年度计划分配率分配制造费用的方法适用于(季节性生产企业)

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