15届港尾中学高职班数学复习材料——概率.doc

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概率（高职班）
第01节 事件与概率
（一）基础知识梳理：
1 。事件的概念：
（1）事件：在一次试验中出现的试验结果，叫做事件。一般用大写字母A，B，C，…表示。
（2）必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件。
（3）不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件
（4）确定事件：必然事件和不可能事件统称为确定事件。
（5）随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。
2．随机事件的概率：
（1）频数与频率：在相同的条件下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数为事件A出现的频数，称为事件A出现的频率。
（2）概率：在相同的条件下，大量重复同一试验时，事件A发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性。这个常数叫做随机事件A的概率，记作。
3．概率的性质：必然事件的概率为，不可能事件的概率为，随机事件的概率为，必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形
4。事件的和的意义: 事件A、B的和记作A+B，表示事件A和事件B至少有一个发生。
5。 互斥事件: 在随机试验中，把一次试验下不能同时发生的两个事件叫做互斥事件。
当A、B为互斥事件时，事件A+B是由“A发生而B不发生”以及“B发生而A不发生”构成的， 因此当A和B互斥时，事件A+B的概率满足加法公式： P(A+B)=P(A)+P(B) （A、B互斥）.
一般地：如果事件中的任何两个都是互斥的，那么就说事件彼此互斥，此时，＝。
6．对立事件: 事件Ａ和事件B必有一个发生的互斥事件叫A、B对立，即事件A、B不可能同时发生，但A、B中必然有一个发生 这时P(A+B)=P(A)+P(B)＝1 即P(A+)=P(A)+P()=1
当计算事件A的概率P（A）比较困难时，有时计算它的对立事件的概率则要容易些，为此有P（A）=1－P（）
7. 事件与集合：从集合角度来看，A、B两个事件互斥，则表示A、B这两个事件所含结果组成的集合的交集是空集. 事件A的对立事件所含结果的集合正是全集U中由事件A所含结果组成集合的补集，即A∪=U，A∩=对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件
（二）典型例题分析：
例1．将一枚均匀的硬币向上抛掷10次，其中正面向上恰有5次是( )
A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件 D．无法确定
例2．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．至少有1个白球，都是白球 B．至少有1个白球，至少有1个红球
C．恰有1个白球，恰有2个白球 D．至少有1个白球，都是红球
例3．甲、乙两名围棋选手在一次比赛中对局，分析甲胜的概率比乙胜的概率高5％，和棋的概率为59％，则乙胜的概率为_____________．
（三）基础训练：
1．下列说法正确的是 ( )
A．任一事件的概率总在(0，1)内 B．不可能事件概率不一定为0
C．必然事件的概率一定是1 D．以上均不对
2．某地气象局预报说：明天本地降雨概率为80%，则下面解释正确的是（ ）
A.明天本地有80%的区域下雨，20%的区域不下雨 B.明天本地下雨的机会是80%
C.明天本地有80%的时间下雨，20%的时间不下雨 D.以上说法均不正确
3．箱子中有2000个灯泡,随机选择100个灯泡进行测试,发现10个是坏的,预计整箱中有________个坏灯泡。
4．对某电冰箱厂生产的电冰箱进行抽样检测数据如下表所示：
抽取台数
50
100
200
300
500
1000
优等品数
46

92
192
285
479
950
则估计该厂生产的电冰箱优等品的概率为
（四）巩固练习：
1．把红、黑、蓝、白4张纸牌随机的分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是（ ）
A．对立事件 B．不可能事件 C．互斥但不对立事件 D．以上答案都不对
2．下列四个命题中错误命题的个数是（ ）
（1）对立事件一定是互斥事件 （2）若A，B是互斥事件，则P（A）+P（B）<1
（3）若事件A，B，C两两互斥，则P（A）+P（B）+P（C）=1
（4）事件A，B满足P（A）+P（B1，则A，B是对立事件
A．0 B．1 C．2 D．3
3．抛掷一枚质地均匀的骰子，事件A表示“所得点数是1、2”，事件B表示“所得点数大于4”，
则P（A+B）=____________.
4.某射手射击1次射中10环，9环，8环，7环的概率分别是0.24，0.28，0.19，0.16，则这名射手射击1次,射中10环或9环的概率为________,至多射中6环的概率是__________.

第02节 古典概型
（一）基础知识梳理：
1．基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果,称为一个基本事件
基本事件是试验中不能再分的最简单的随机事件。基本事件有以下两个特点：
（1）任何两个基本事件是互斥的；（2）任何事件(除不可能事件)都可表示成基本事件的和。
2．古典概型：具有以下两个特征的随机试验的概率模型称为古典概型。
(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
(2)每个基本事件出现的可能性相等。
3．古典概型的概率计算公式： 对于古典概型，若试验的所有基本事件数为n，随机事件A包含的基本事件数为m，那么事件A的概率定义为。
（二）典型例题分析：
例1.如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取1张，那么抽到红心的概率为________，取到方片的概率是 _______．取到红色牌的概率是_______,取到黑色牌的概率是________.
例2.在15瓶饮料中，有5瓶已过保质期。从中任取1瓶，取到已过保质期饮料的概率是_______；若前三次取到的3瓶饮料都已过了保质期，则第四次取到已过保质期的饮料的概率是______.
例3. 一个盒子里装有标号为1,2,3的3个小球，随机的选取两个小球，根据下列条件求两个小球上的数字之和为偶数的概率。
（1）小球的选取是有放回的； （2）小球的选取是无放回的。

例4. 将一枚质地均匀的硬币连掷三次，观察落地后的情形，求事件“出现一枚正面朝上，两枚反面朝上”的概率。

（三）基础训练：
1．从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为（ ）
A． 　 B． 　 　C． 　 　D．1　
2．袋中有5个球，其中3个红球，2个白球，现每次取一个，无放回地抽取两次，则取到1个红球，1个白球的概率是（ ）
A． 　 B． 　 　C． 　 　D．　
3．在一次数学测验中，某同学有两个单选题（即四个答案选一个）不会做，他随意选了两个答案，则这两道单选题都答对的概率为（ ）
A． 　 B． 　 　C． 　 　D．　
4．有五条线段长度分别为，从这条线段中任取条，则所取条线段能构成一个三角形的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．甲乙两人做出拳游戏（锤子、剪刀、布）。则平局的概率为 ________，甲赢的概率为_____。
6．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m，n作为点P的坐标，则点P（m，n）落在圆内的概率是_______________.
7．高一（1）班数学兴趣小组有男生和女生各3名，现从中任选2名学生去参加数学竞赛，则恰有一名参赛学生是男生的概率是________；至少有一名参赛学生是男生的概率是______。
8.现有一批产品共有6件, 其中5件为正品, 1件为次品.
(1) 如果从中取出1件, 然后放回, 再取1件, 求连续2次取出的都是正品的概率;
(2) 如果从中一次取2件, 求2件都是正品的概率.

（四）巩固练习：
．（2013江西文）A={2,3},B={1,2,3},从A,B中各任取一个数,则两数之和为4的概率是
A． B． C． D．
．（2013课标文）从中任取个不同的数,则这两数之差的绝对值为的概率是
A． B． C． D．
3.（2012安徽文10）袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于
（A） （B） （C） （D）
4．（2013重庆文）若甲乙丙三人随机地站成一排,则甲、乙两人相邻而站的概率为________.
5.（2009安徽文）从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________。
6.(2009年广东文) 随机抽取某中学甲乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图7.
(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高;
(2)计算甲班的样本方差
(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学,求身高为176cm的同学被抽中的概率.

7．（2013山东文）某小组共有五位同学,他们的身高(单位:米)以及体重指标(单位:千克/米2)如下表所示:

A
B
C
D
E
身高
1.69
1.73
1.75
1.79
1.82
体重指标
19.2[来源:学_科_网Z_X_X_K]
25.1
18.5
23.3
20.9
(Ⅰ)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人,求2人身高都在1.78以下的概率
(Ⅱ)从该小组同学中任选2人,求2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率

8.（2009福建文）袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现一次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球
（I）试问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果；
（Ⅱ）若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率。

第03节 随机数与几何概型
（一）基础知识梳理：
1. 几何概型的概念：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成正比，则称这样的概率模型为几何概型。
2. 几何概型试验的两个基本特征：（1）无限性：指在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；（2）等可能性：每个结果的发生具有等可能性。
3. 几何概型事件的概率计算公式：

（二）典型例题分析：
例1.取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段绳子的长度都不小于1m的概率是___________.
16cm
例2. 如图，在墙上挂着一块边长为16cm的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2cm，4cm，6cm，某人在在3m外向此板投镖，设投镖击中线上或没有投中木板时都不算，可重投，问：
（1）投中小圆内的概率是多少？
（2）投中大圆与中圆形成的圆环的概率是多少？
（3）投中大圆之外的概率是多少？

例3.某篮球爱好者，做投篮练习，假设其每次投篮命中的概率是40用随机模拟的方法来估计连续三次投篮中，恰有两次投中的概率. 若我们用1，2，3，4表示投中，用5，6，7，8，9，0表示未投中，这样可以体现投中的概率是40%。因为是投篮三次，所以每三个随机数作为一组。例如，产生20组随机数：
812，932，569，683，271，989，730，537，925，
907，113，966，191，431，257，393，027，556．
则三次投篮中恰有两次投中的概率近似为 。

例4.在如图的正方形中随机撒一把芝麻, 用随机模拟的方法来估计圆周率的值.如果撒了1000个芝麻,落在圆内的芝麻总数是776颗,那么这次模拟中的估计值是_
（三）基础训练：
1．在500mL的水中有一个草履虫, 现从中随机取出2mL水样放到显微镜下观察, 则发现草履虫的概率是（ ）
A．0.5 B．0.4 C．0.004 D．不能确定
2．一个路口的红绿灯，红灯时间为30秒，黄灯时间为5秒，绿灯时间为40秒，当某人到达路口时看见红灯的概率是（ ）
A． B． C． D．
3. 某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，他等待的时间不多于10分钟的概率是_________ 。
4.在长为12cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形，试求正方形面积介于到81之间的概率是_____________。
5．取一个边长为2a的正方形及其内切圆如图所示，随机向正方形内丢一 粒豆子，则豆子落入圆内概率是______________。
6.在△ABC内任取一点P，则△ABP与△ABC的面积之比大于时的概率为
（四）巩固练习：
1.（2013陕西理）如图, 在矩形区域ABCD的A, C两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无信号的概率是（ ）

A． B． C． D．

2.（2012北京理2）设不等式组，表示平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ）
（A） （B） （C） （D）
3.(2008佛山一模理)如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96颗，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为( )
A． B． C． D．
4.（2009福建文）点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧AB的长度小于1的概率为 。

概率（高职班）参考答案
第01讲 事件与概率（参考答案）
（二）典型例题分析： BC __18%__．
（三）基础训练： CB 200 0.95 ．
（四）巩固练习： CD 0.52 , 0.13 .
第02讲 古典概型（参考答案）
（二）典型例题分析：
例1. ， ， ， 例2. . 例3.提示：表格法。（1）； （2）。
例4. 解：（1）所有基本事件有：（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）共8个
（2）“出现一枚正面朝上，两枚反面朝上”这一事件包含了3个基本事件：（正，反，反），（反，正，反），（反，反，正）；
（3）由古典概率的计算公式，事件“出现一枚正面朝上，两枚反面朝上”的概率是.
（三）基础训练：
CADB , . 8.提示：表格法.（1）；（2）。
（四）巩固练习：
BBB
6.（1）由茎叶图可知：甲班身高集中于之间，而乙班身高集中于 之间。因此乙班平均身高高于甲班;
(2)
甲班的样本方差为
＝57
（3）设身高为176cm的同学被抽中的事件为A；
从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173cm的同学有：（181，173） （181，176）
（181，178） （181，179） （179，173） （179，176） （179，178） （178，173）
(178, 176) （176，173）共10个基本事件，而事件A含有4个基本事件；
；

7.【答案】

8.解：（I）一共有8种不同的结果，列举如下：
（红、红、红）、（红、红、黑）、（红、黑、红）、（红、黑、黑）、（黑、红、红）、（黑、红、黑）、（黑、黑、红）、（黑、黑、黑）
（Ⅱ）记“3次摸球所得总分为5”为事件A
事件A包含的基本事件有（红、红、黑）、（红、黑、红）、（黑、红、红），共3个
由（I）可知，所有基本事件总数为8，所以事件A的概率为 w.w.w.zxxk.c.o.m

第03讲 随机数与几何概型
（二）典型例题分析： 例1. 例3. 25% 例4. 3.104
例2.记A={投标击中小圆内}，B={投标击中大圆与中圆形成的圆环}，C={投标击中大圆之外}
正方形的面积为， 小圆的面积为，
中圆的面积为， 大圆的面积为。
所以（1）投中小圆内的概率是；
（2）投中大圆与中圆形成的圆环的概率是
（3）投中大圆之外的概率是
（三）基础训练： CB
（四）巩固练习： ADB
统计与概率高考解答题（1）
1.（2010山东文）一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，编号分别为1，2，3，4.
（Ⅰ）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；
（Ⅱ）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求的概率.

2.（2012广东文17）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：，，，，.
（1）求图中的值；
（2）估计这100名学生语文成绩的平均分；
变式：估计这100名学生语文成绩的众数，

3.（2011北京文）如图茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树.乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示.
（1）如果X=8，求乙组同学植树棵树的平均数和方差；
（2）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率. （注：方差）

4.（2011福建文19）某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1．2．3．4．5．现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：
X
1
2
3
4
5
f
a
0．2
0．45
b
C
（I）若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a、b、c的值；
（11）在（1）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1,x2,x3，等级系数为5的2件日用品记为y1,y2，现从x1,x2,x3,y1,y2,这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率。

5.（2013福建文）某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名,25周岁以下工人200名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关.现采用分层抽样的方法,从中抽取了100名工人,先统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组,在将两组工人的日平均生产件数加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.
(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人,求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的频率.
(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”,请你根据已知条件完成的列联表,并判断是否有的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”?

生产能手
非生产能手
合计
周岁以上组

周岁以下组

合计
[来源:学。科。网Z。X。X。K]

统计与概率高考解答题（1）答案
1.

2.（1）依题意得，，解得。[来源:
（2）这100名学生语文成绩的平均分为：
（分）。

3.解（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，所以平均数为方差
（Ⅱ）记甲组四名同学为A1，A2，A3，A4，他们植树的棵数依次为9，9，11，11；乙组四名同学为B1，B2，B3，B4，他们植树的棵数依次为9，8，9，10，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，它们是：
（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4），
（A3，B1），（A2，B2），（A3，B3），（A1，B4），（A4，B1），（A4，B2），（A4，B3），（A4，B4），
用C表示：“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件，则C中的结果有4个，它们是：（A1，B4），（A2，B4），（A3，B2），（A4，B2），所求概率为
4．解：（I）由频率分布表得，
因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，
所以[.Com]
等级系数为5的恰有2件，所以，
从而所以
（II）从日用品中任取两件，
所有可能的结果为：
，
设事件A表示“从日用品中任取两件，其等级系数相等”，则A包含的基本事件为： 共4个，
又基本事件的总数为10，故所求的概率

5.解:(Ⅰ)由已知得,样本中有周岁以上组工人名,周岁以下组工人名
所以,样本中日平均生产件数不足件的工人中,周岁以上组工人有(人),
记为,,;周岁以下组工人有(人),记为,
从中随机抽取名工人,所有可能的结果共有种,他们是:
,,,,,,,,,
其中,至少有名“周岁以下组”工人的可能结果共有种,它们是:,,,,,,.故所求的概率:

(Ⅱ)由频率分布直方图可知,在抽取的名工人中,“周岁以上组”中的生产能手(人),“周岁以下组”中的生产能手(人),据此可得
列联表如下:

生产能手
非生产能手
合计
周岁以上组

周岁以下组

合计
[来源:学。科。网Z。X。X。K]

所以得:
因为,所以没有的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”

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