1、主要内容主要内容主要内容主要内容典型例题典型例题典型例题典型例题习习习习 题题题题 课课课课第二章第二章第二章第二章 极极极极 限限限限.（一）极限的概念（一）极限的概念（二）连续的概念（二）连续的概念一、主要内容.左右极限左右极限两个重要两个重要极限极限求极限的常用方法求极限的常用方法无穷小无穷小的性质的性质极限存在的极限存在的充要条件充要条件判定极限判定极限存在的准则存在的准则无穷小的比较无穷小的比较极限的性质极限的性质数列极限数列极限函函 数数 极极 限限等价无穷小等价无穷小及其性质及其性质唯一性唯一性无穷小无穷小两者的两者的关系关系无穷大无穷大.1.1.极限的定义极限的定义.左极限左极
2、限右极限右极限.另两种情形另两种情形:.无穷小无穷小:极限为零的变量称为极限为零的变量称为无穷小无穷小.绝对值无限增大的变量称为绝对值无限增大的变量称为无穷大无穷大.无穷大无穷大:在同一过程中在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小;恒不为恒不为零的无穷小的倒数为无穷大零的无穷小的倒数为无穷大.无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系2.2.无穷小与无穷大无穷小与无穷大.定理定理1 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小的代数和有限个无穷小的代数和仍是无穷小仍是无穷小.定理定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论1 在同一过程中在同一过程中,
3、有极限的变量与无穷小的有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小乘积是无穷小.推论推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.无穷小的运算性质无穷小的运算性质.定理定理推论推论1 1推论推论2 23.3.极限的性质极限的性质.4.4.求极限的常用方法求极限的常用方法a.多项式与分式函数代入法求极限多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分
4、段函数极限.5.5.判定极限存在的准则判定极限存在的准则(夹逼准则夹逼准则).(1)(2)6.6.两个重要极限两个重要极限.定义定义:7.7.无穷小的比较无穷小的比较.定理定理(等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理)8.等价无穷小的性质等价无穷小的性质9.极限的唯一性极限的唯一性.左右连续左右连续在区间在区间a,ba,b上连续上连续连续函数连续函数的的 性性 质质初等函数初等函数的连续性的连续性间断点定义间断点定义连连 续续 定定 义义连续的连续的充要条件充要条件连续函数的连续函数的运算性质运算性质非初等函数非初等函数的连续性的连续性 振振荡荡间间断断点点 无无穷穷间间断断点点 跳跳跃跃间间断
5、断点点 可可去去间间断断点点第一类第一类 第二类第二类.1.1.连续的定义连续的定义.定理定理3.3.连续的充要条件连续的充要条件2.2.单侧连续单侧连续.4.4.间断点的定义间断点的定义.(1)跳跃间断点跳跃间断点(2)可去间断点可去间断点5.5.间断点的分类间断点的分类.跳跃间断点与可去间断点统称为跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点第一类间断点.特点特点:可去型可去型第第一一类类间间断断点点跳跃型跳跃型0yx0yx.2024/5/8 周三230yx无穷型无穷型振荡型振荡型第第二二类类间间断断点点0yx第二类间断点第二类间断点.6.6.闭区间的连续性闭区间的连续性7.7.连续性的运算性
6、质连续性的运算性质定理定理.定理定理1 1 严格单调的连续函数必有严格单调的连严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数续反函数.定理定理2 28.8.初等函数的连续性初等函数的连续性定理定理3 3.定理定理4 4 基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的.定理定理5 5 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连续的内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间.9.9.闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质定定理理1(1(最最大大值值和和最最小小值值定定理理)在在闭闭区区间间上上连连续续的函数一定有最大值和最小值的函数
7、一定有最大值和最小值.定理定理上连续，且上连续，且那末在开区间那末在开区间点点3(3(零点定理零点定理)设函数设函数)(xf在闭区间在闭区间 ba,)(af与与)(bf异号异号(即即0)()(b.faf),),()ba,内至少有函数内至少有函数)(xf的一个零的一个零,即至少有一点即至少有一点x x)(ba x x，使，使0)(=x xf.定定理理2(2(有有界界性性定定理理)在在闭闭区区间间上上连连续续的的函函数数一一定定在该区间上有界在该区间上有界.推论推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值与最小值m之间的任何值之间的任何值.定理定理 4(
8、4(介值定理介值定理)设函数设函数)(xf在闭区间在闭区间 ba,上上连续，且在这区间的端点取不同的函数值连续，且在这区间的端点取不同的函数值 Aaf=)(及及 Bbf=)(,那末，对于那末，对于A与与B之间的任意一个数之间的任意一个数C，在开区间，在开区间()ba,内至少有一点内至少有一点x x，使得，使得cf=x x)()(ba x x.2.2.1.1.3.3.典型例题典型例题.6.6.4.4.5.5.典型例题解答典型例题解答1.1.解解将分子、分母同乘以因子将分子、分母同乘以因子(1-x),则则.解解 解法讨论解法讨论2.2.解解3.3.4.4.解解.解解5.5.证明证明讨论讨论:6.6.由零点定理知由零点定理知,综上综上,.2024/5/8 周三44
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