应用举例(一)-距离.ppt

高度高度角度角度距离距离面积面积例例1、设、设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。测量者在测量者在A的同侧，在其所在的河岸边选定一点的同侧，在其所在的河岸边选定一点C，测出测出AC的距离是的距离是55m，BAC51o，ACB75o，求求A、B两点间的距离（精确到两点间的距离（精确到0.1m）分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形51o75o55m51o75o55m解：如图，因为在解：如图，因为在ABC中，中，B=180o-(51o+75o)=54o所以由所以由可得可得答：答：A,B两点间的距离约为两点间的距离约为65.7米。米。例例2、A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量两点间的距离的方法。测量两点间的距离的方法。ABCD分析：设分析：设CD=a，BCA=a a，ACD=b b，CDB=g g，ADB=d da ab bg gd daABCDa ab bg gd da1、分析：、分析：理解题意，画出示意图理解题意，画出示意图2、建模：、建模：把已知量与求解量集中在一个三角形中把已知量与求解量集中在一个三角形中3、求求解解：运运用用正正弦弦定定理理和和余余弦弦定定理理，有有顺顺序序地地解解这这些三角形，求得数学模型的解。些三角形，求得数学模型的解。4、检验：、检验：检验所求的解是否符合实际意义，从而得检验所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。出实际问题的解。实际问题实际问题数学问题（三角形）数学问题（三角形）数学问题的解（解三角形）数学问题的解（解三角形）实际问题的解实际问题的解解斜三角形应用题的一般步骤是：解斜三角形应用题的一般步骤是：练习练习1：一艘船以：一艘船以32.2 n mile/h的速度向正北的速度向正北航行。在航行。在A处看灯塔处看灯塔S在船的北偏东在船的北偏东20o的方向，的方向，若若30 min后航行到后航行到B处，在处，在B处看灯塔在船的处看灯塔在船的北偏东北偏东65o的方向，已知距离此灯塔的方向，已知距离此灯塔6.5n mile 以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？沿正北方向航行吗？解：解：在在ASB中，中，ABS=180o-65o=115o ASB=180o-115o-20o=45o AB=0.532.2=16.1 n mile 由正弦定理可得由正弦定理可得故船与灯塔的最小距离故船与灯塔的最小距离d=20.63sin20o7.06 n mile所以这艘船可以继续沿正北方向航行所以这艘船可以继续沿正北方向航行答：这艘船可以继续沿正北方向航行答：这艘船可以继续沿正北方向航行.练习练习2自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杆油泵顶杆BC的长度已知车厢的最大仰角是的长度已知车厢的最大仰角是60，油泵顶点，油泵顶点B与与车厢支点车厢支点A之间的距离为之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为与水平线之间的夹角为62020，AC长为长为1.40m，计算计算BC的长（精确到的长（精确到0.010.01m m）最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度解：依题意可知，在解：依题意可知，在ABC中中 AB1.95m，AC1.40m，CAB6620由余弦定理可得由余弦定理可得答：顶杆答：顶杆BCBC约长约长1.89m。CABD思考：如图，一艘船从思考：如图，一艘船从C处以处以30 n mile/h的速度往北偏东的速度往北偏东15o的的A岛行驶，若船在岛行驶，若船在C处测得处测得B岛在北偏西岛在北偏西30o的方向，行驶的方向，行驶20 min后在后在D处测得处测得B岛在北偏西岛在北偏西45o的方向，到达的方向，到达A岛后又岛后又测得测得B岛在北偏西岛在北偏西60o的方向，试求的方向，试求A岛与岛与B岛的距离。岛的距离。解：依题意可得，解：依题意可得，BCD=45o，BDA=60o，CBD=BDA-BCD=15o，又又BAD=180o-60o-15o=105o思考：如图，一艘船从思考：如图，一艘船从C处以处以30 n mile/h的速度往北偏东的速度往北偏东15o的的A岛行驶，若船在岛行驶，若船在C处测得处测得B岛在北偏西岛在北偏西30o的方向，行驶的方向，行驶20 min后在后在D处测得处测得B岛在北偏西岛在北偏西45o的方向，到达的方向，到达A岛后又岛后又测得测得B岛在北偏西岛在北偏西60o的方向，试求的方向，试求A岛与岛与B岛的距离。岛的距离。实际问题实际问题抽象概括抽象概括示意图示意图数学模型数学模型推推理理演演算算数学模型的解数学模型的解实际问题的解实际问题的解还原说明还原说明解应用题的基本思路解应用题的基本思路例例3、课本、课本P19 A组组 第第1题题解：依题意可知，在解：依题意可知，在ABC中中BC=0.53517.5 n mile/h已知已知ABC中，三个内角中，三个内角A,B,C的对边分别是的对边分别是a,b,c,若若ABC的面积为的面积为S,且且2S=(a+b)c,求求tanC的的值。在在ABC中，如果中，如果(a+b+c)(b+c-a)=3bc,且且sinA=2sinBcosC,试确定试确定ABC的形状。的形状。练习练习2自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杆油泵顶杆BC的长度已知车厢的最大仰角是的长度已知车厢的最大仰角是60，油泵顶点，油泵顶点B与与车厢支点车厢支点A之间的距离为之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为与水平线之间的夹角为62020，AC长为长为1.40m，计算计算BC的长（精确到的长（精确到0.010.01m m）（1 1）什么是最大仰角？）什么是最大仰角？最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度 （2 2）例题中涉及一个怎样的三角）例题中涉及一个怎样的三角形？形？在在ABC中已知什么，要求什么？中已知什么，要求什么？CAB例例2、A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量两点间的距离的方法。测量两点间的距离的方法。分析：用例分析：用例1的方法，可以计算出河的这一岸的一的方法，可以计算出河的这一岸的一点点C到对岸两点的距离再测出到对岸两点的距离，再测出BCA的大小，的大小，借助于余弦定理可以计算出借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离。两点间的距离。解：测量者可以在河岸边选定两点解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得，测得CD=a，并且在并且在C、D两点分别测得两点分别测得BCA=a a，ACD=b b，CDB=g g，BDA=d d，在，在ADC和和BDC中，应用中，应用正弦定理得正弦定理得计算出计算出AC和和BC后，再在后，再在ABC中，应用余弦定理中，应用余弦定理计算出计算出AB两点间的距离两点间的距离例例2、A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量两点间的距离的方法。测量两点间的距离的方法。分析：在河岸边选定两点分析：在河岸边选定两点C、D，测得，测得CD=a，并在并在C、D两点处分别测得两点处分别测得BCA=a a，ACD=b b，CDB=g g，BDA=d d练习练习1：一艘船以：一艘船以32.2 n mile/h的速度向正的速度向正北航行。在北航行。在A处看灯塔处看灯塔S在船的北偏东在船的北偏东20o的的方向，方向，30 min后航行到后航行到B处，在处，在B处看灯塔处看灯塔在船的北偏东在船的北偏东65o的方向，已知距离此灯塔的方向，已知距离此灯塔6.5n mile 以外的海区为航行安全区域，这以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？艘船可以继续沿正北方向航行吗？C解三角形问题的四种基本类型：解三角形问题的四种基本类型：（1）知两角及一边：）知两角及一边：（2）知两边及其中一边的对角：）知两边及其中一边的对角：（3）知两边及其夹角：）知两边及其夹角：（4）知三边：）知三边：75o55m解：如图，因为在解：如图，因为在ABC中，中，B=180o-(51o+75o)=54o所以由所以由可得可得答：答：A、B两点间的距离约为两点间的距离约为65.7米。米。拓展：若在拓展：若在B的同侧还有一点的同侧还有一点D，现测得，现测得BAD=a a，D51o