包络定理.ppt

1包络定理（envelope theorem）包络定理是比较静态研究的有用工具。记最优化问题包络定理是比较静态研究的有用工具。记最优化问题这这里里，a a 是是一一个个参参数数（外外生生变变量量），x x 是是一一向向量量，我我们们称称(a(a)为为间间接接目目标标函函数数。该该最最大大值值问问题题是是在在 a a 为为某某一一固固定定值值时时寻寻找找适适当当的的 x x*，使使得得函函数数 f f(x x,a a)达达到到最最大大。显显然然，若若 a a 的的数数值值发发生生变变化化时时，x x*和和目目标标函函数数的的最最大大值值 f f(x x*,a a)也也会会随随之之而而变化。变化。判判断断 a a 的的数数值值变变化化时时 (a a)=)=f f x x*(a)(a),a a 变变化化的的大大小小和和方向，我们可以使用方向，我们可以使用 由于先得到由于先得到 x x*(a)(a)非常麻烦，我们可以直接使用非常麻烦，我们可以直接使用包络定理包络定理2包络定理的证明记记对对应应参参数数值值 a a 的的最最大大值值点点为为 x x (a a)，假假设设它它关关于于 a a 可可微，则有微，则有由于由于 x x (a a)是上述最大化问题的解，所以一阶条件成立是上述最大化问题的解，所以一阶条件成立因此，包络定理得证。不难看出，最小化问题亦然。因此，包络定理得证。不难看出，最小化问题亦然。3包络定理图示4包络定理的一个推论对于一个具有一般性的最优化问题对于一个具有一般性的最优化问题对于一个具有一般性的最优化问题对于一个具有一般性的最优化问题x x 是是是是 n n 维向量，维向量，维向量，维向量，a a 是是是是 m m 维参数。包络定理可以写为：维参数。包络定理可以写为：维参数。包络定理可以写为：维参数。包络定理可以写为：含含含含义义义义：某某某某参参参参数数数数对对对对目目目目标标标标函函函函数数数数最最最最大大大大值值值值（最最最最大大大大值值值值函函函函数数数数）的的的的影影影影响响响响，等等等等于于于于拉拉拉拉格格格格朗朗朗朗日日日日函函函函数数数数直直直直接接接接对对对对该该该该参参参参数数数数求求求求偏偏偏偏导导导导数数数数，并并并并在在在在最最最最优优优优解解解解处取值。处取值。处取值。处取值。2024/5/8 周三56包络定理的一个推论包络定理的一个推论（证明证明）我们构造拉格朗日函数我们构造拉格朗日函数我们构造拉格朗日函数我们构造拉格朗日函数一阶条件为一阶条件为一阶条件为一阶条件为如果我们得到最优解如果我们得到最优解如果我们得到最优解如果我们得到最优解则最大值函数则最大值函数则最大值函数则最大值函数7包络定理的一个推论包络定理的一个推论（证明证明）对于最大值函数对于最大值函数对于最大值函数对于最大值函数两边关于两边关于两边关于两边关于 a ai i 求导，并在最优解处取值，可得求导，并在最优解处取值，可得求导，并在最优解处取值，可得求导，并在最优解处取值，可得对于约束条件对于约束条件对于约束条件对于约束条件两边关于两边关于两边关于两边关于 a ai i 求导，可得求导，可得求导，可得求导，可得代入上式代入上式代入上式代入上式8包络定理的应用之一：包络定理的应用之一：消费者选择理论消费者选择理论对于消费者选择问题对于消费者选择问题对于消费者选择问题对于消费者选择问题我们容易得到马歇尔需求函数我们容易得到马歇尔需求函数我们容易得到马歇尔需求函数我们容易得到马歇尔需求函数此时的效用函数值（此时的效用函数值（此时的效用函数值（此时的效用函数值（间接效用函数间接效用函数间接效用函数间接效用函数）：）：）：）：构造函数构造函数构造函数构造函数利用包络定理，可得利用包络定理，可得利用包络定理，可得利用包络定理，可得罗伊恒等式罗伊恒等式罗伊恒等式罗伊恒等式（Roys identityRoys identity）9包络定理的应用之二：包络定理的应用之二：成本曲线问题成本曲线问题对于短期成本最小化问题对于短期成本最小化问题对于短期成本最小化问题对于短期成本最小化问题我们容易得到最优的可变要素投入我们容易得到最优的可变要素投入我们容易得到最优的可变要素投入我们容易得到最优的可变要素投入2024/5/8 周三10