相似三角形模型分析大全.doc

第一部分 相似三角形知识要点大全
知识点1.．相似图形的含义
把形状相同的图形叫做相似图形。（即对应角相等、对应边的比也相等的图形）
解读：（1）两个图形相似，其中一个图形可以看做由另一个图形放大或缩小得到．
（2）全等形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同．
（3）判断两个图形是否相似，就是看这两个图形是不是形状相同，与其他因素无关．
例1．放大镜中的正方形与原正方形具有怎样的关系呢？
分析：要注意镜中的正方形与原正方形的形状没有改变．
解：是相似图形。因为它们的形状相同，大小不一定相同．
例2．下列各组图形：①两个平行四边形；②两个圆；③两个矩形④有一个内角80°的两个等腰三角形；⑤两个正五边形；⑥有一个内角是100°的两个等腰三角形，其中一定是相似图形的是_________(填序号)．
解析：根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，而平行四边形、矩形、等腰三角形都属于形状不唯一的图形，而圆、正多边形、顶角为100°的等腰三角形的形状不唯一，它们都相似．答案：②⑤⑥．
知识点2．比例线段
对于四条线段a,b,c,d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即（或a:b=c:d）那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．
解读：（1）四条线段a,b,c,d成比例，记作（或a:b=c:d），不能写成其他形式，即比例线段有顺序性．
（2）在比例式（或a:b=c:d）中，比例的项为a,b,c,d，其中a,d为比例外项，b,c为比例内项，d是第四比例项．
（3）如果比例内项是相同的线段，即或a:b=b:c，那么线段b叫做线段和的比例中项。
(4)通常四条线段a,b,c,d的单位应一致，但有时为了计算方便，a和b统一为一个单位，c和d统一为另一个单位也可以，因为整体表示两个比相等．
例3．已知线段a=2cm, b=6mm, 求．
分析：求即求与长度的比，与的单位不同，先统一单位，再求比．
例4．已知a,b,c,d成比例，且a=6cm,b=3dm,d=dm，求c的长度．
分析由a,b,c,d成比例，写出比例式a:b=c:d，再把所给各线段a,b,,d统一单位后代入求c．
知识点3．相似多边形的性质
相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．
解读：（1）正确理解相似多边形的定义，明确“对应”关系．
（2）明确相似多边形的“对应”来自于书写，且要明确相似比具有顺序性．
例5．若四边形ABCD的四边长分别是4，6，8，10，与四边形ABCD相似的四边形A1B1C1D1的最大边长为30，则四边形A1B1C1D1的最小边长是多少？
分析：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，且它们的相似比为对应的最大边长的比，即为，再根据相似多边形对应边成比例的性质，利用方程思想求出最小边的长．
知识点4．相似三角形的概念
对应角相等，对应边之比相等的三角形叫做相似三角形．
解读：（1）相似三角形是相似多边形中的一种；
（2）应结合相似多边形的性质来理解相似三角形；
（3）相似三角形应满足形状一样，但大小可以不同；
（4）相似用“∽”表示，读作“相似于”；
（5）相似三角形的对应边之比叫做相似比．
注意：①相似比是有顺序的，比如△ABC∽△A1B1C1，相似比为k,若△A1B1C1∽△ABC，则相似比为。②若两个三角形的相似比为1，则这两个三角形全等，全等三角形是相似三角形的特殊情况。若两个三角形全等，则这两个三角形相似；若两个三角形相似，则这两个三角形不一定全等．
例6．如图，已知△ADE∽△ABC，DE=2，BC=4，则和的相似比是多少？点D，E分别是AB，AC的中点吗？

注意：解决此类问题应注意两方面：（1）相似比的顺序性，（2）图形的识别．
解：因为△ADE∽△ABC，所以，因为，
所以，所以D，E分别是AB，AC的中点．
知识点5．相似三角的判定方法
（1） 定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似；
（2） 平行于三角形一边的直线截其他两边（或其他两边的延长线）所构成的三角形与原三角形相似．
（3） 如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．
（4） 如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．
（5） 如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．
（6） 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似．
例7．如图，点D在△ABC的边AB上，满足怎样的条件时，△ACD与△ABC相似？试分别加以列举．

分析：此题属于探索性问题，由相似三角形的判别方法可知，△ACD与△ABC已有公共角∠A，要使此两个三角形相似，可根据相似三角形的判别方法寻找一个条件即可．
解：当满足以下三个条件之一时，△ACD∽△ABC

条件一：∠1=∠B；条件二：∠2=∠ACB；条件三：，即AC2=AD·AB．

知识点6．相似三角形的性质
（1） 对应角相等，对应边的比相等；
（2） 对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比；
（3） 相似三角形周长之比等于相似比；面积之比等于相似比的平方．
例8．如图，已知△ADE∽△ABC，AD=8，BD=4，BC=15，EC=7
（1） 求DE、AE的长；
（2） 你还能发现哪些线段成比例．

分析：此题重点考查由两个三角形相似，可得到对应边成例，即．

例9．已知△ABC∽△A1B1C1，，=，△ABC的周长为20cm，面积为40cm2．

求（1）△A1B1C1的周长；（2）△A1B1C1的面积．
分析：根据相似三角形周长之比等于相似比；面积之比等于相似比的平方求解．
易求出△A1B1C1的周长为30cm; △A1B1C1的面积90cm2
第二部分 相似三角形模型分析大全

一、 相似三角形判定的基本模型认识

（一）A字型、反A字型（斜A字型）
（平行） （不平行）

（二）8字型、反8字型
（蝴蝶型）
（平行） （不平行）

（三）母子型

（四）一线三等角型：

三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景

（五）一线三直角型：

（六） 双垂型：

二、 相似三角形判定的变化模型

旋转型：由A字型旋转得到。 8字型拓展

共享性

一线三等角的变形

一线三直角的变形

第三部分 相似三角形典型例题讲解

母子型相似三角形

例1：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，BE∥CD交CA延长线于E．
求证：．

例2：已知：如图，△ABC中，点E在中线AD上, ．
求证：（1） （2）．A
C
D
E
B

例3：已知：如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，CG∥AB，BG分别交AD、AC于E、F．
求证：．

相关练习：
1、如图，已知AD为△ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线．求证：．

2、已知：AD是Rt△ABC中∠A的平分线，∠C=90°，EF是AD的垂直平分线交AD于M，EF、BC的延长线交于一点N。
求证：(1)△AME∽△NMD; (2)ND=NC·NB

3、已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC上一点，CF⊥BE于F。
求证：EB·DF=AE·DB

5． A
C
B
P
D
E
（第25题图）
已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=4，P是斜边AB上的一个动点，PD⊥AB，交边AC于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且∠EPD=∠A．设A、P两点的距离为x，△BEP的面积为y．
（1）求证：AE=2PE；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积．

双垂型
1、如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CE分别是AC、AB上的高
求证：（1）△ABD∽△ACE；（2）△ADE∽△ABC；(3)BC=2ED

2、如图，已知锐角△ABC，AD、CE分别是BC、AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别是27和3，DE=6，求：点B到直线AC的距离。

共享型相似三角形
1、△ABC是等边三角形,D、B、C、E在一条直线上,∠DAE=，已知BD=1，CE=3，,求等边三角形的边长.

2、已知：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠DAE=45°．
求证：（1）△ABE∽△ACD； （2）．

一线三等角型相似三角形
C
A
D
B
E
F

例1：如图，等边△ABC中边长为6，D是BC上动点，∠EDF=60°
（1）求证：△BDE∽△CFD
（2）当BD=1，FC=3时，求BE

例2：（1）在中，，，点、分别在射线、上（点不与点、点重合），且保持.
①若点在线段上（如图），且，求线段的长；
②若，，求与之间的函数关系式，并写出函数的定义域；
A
B
C
备用图
A
B
C
备用图
A
B
C
P
Q

A
B
C
D

（2） 正方形的边长为（如下图），点、分别在直线、上（点不与点、点重合），且保持.当时，求出线段的长.
A
B
C
D

A
B
C
D

例3：已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且AD＝5，AB＝DC＝2．
（1）如图8，P为AD上的一点，满足∠BPC＝∠A．
①求证；△ABP∽△DPC
②求AP的长．

C
D
A
B
P

（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足∠BPE＝∠A，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么
①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
②当CE＝1时，写出AP的长．

例4：如图，在梯形中，∥，，．点为边的中点，以为顶点作，射线交腰于点，射线交腰于点，联结．
（1）求证：△∽△；
（2）若△是以为腰的等腰三角形，求的长；
（3）若，求的长．

相关练习：
1、如图，在△ABC中，，，是边上的一个动点，点在边上，且．
A
B
C
D
E

(1) 求证：△ABD∽△DCE；
(2) 如果，，求与的函数解析式，并写出自变量的定义域；
(3) 当点是的中点时，试说明△ADE是什么三角形，并说明理由．

2、如图，已知在△ABC中， AB=AC=6，BC=5，D是AB 上一点，BD=2，E是BC 上一动点，联结DE，并作，射线EF交线段AC于F．
（1）求证：△DBE∽△ECF； （2）当F是线段AC中点时，求线段BE的长；
（3）联结DF，如果△DEF与△DBE相似，求FC的长．

3、已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且BC =6，AB=DC=4，点E是AB的中点．
（1）如图，P为BC上的一点，且BP=2．求证：△BEP∽△CPD；
（2）如果点P在BC边上移动（点P与点B、C不重合），且满足∠EPF=∠C，PF交直线CD于点F，同时交直线AD于点M，那么
①当点F在线段CD的延长线上时，设BP=，DF=，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域；
②当时，求BP的长．
E

D

C

B

A

（备用图）

E

D

C

B

A

P

（第25题图）

4、如图，已知边长为的等边，点在边上，，点是射线上一动点，以线段为边向右侧作等边，直线交直线于点，
（1）写出图中与相似的三角形；
（2）证明其中一对三角形相似；
（3）设，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

（4）若，试求的面积．

备用图

一线三直角型相似三角形

例1、已知矩形ABCD中，CD=2，AD=3，点P是AD上的一个动点，且和点A,D不重合，过点P作，交边AB于点E,设，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围。

例2、在中，是AB上的一点，且，点P是AC上的一个动点，交线段BC于点Q，（不与点B,C重合），设，试求关于x的函数关系，并写出定义域。

【练习2】
在直角三角形ABC中，是AB边上的一点，E是在AC边上的一个动点，（与A,C不重合），与射线BC相交于点F.
(1)、当点D是边AB的中点时，求证：
(2)、当，求的值
（3）、当，设,求y关于x的函数关系式，并写出定义域

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