达朗贝尔原理.ppt

114-1惯性力惯性力 质点的达朗贝尔原理质点的达朗贝尔原理人用手推车力为人用手推车力为F，车的加速度为车的加速度为a。是因为人要改变车的运动状态，由于车是因为人要改变车的运动状态，由于车的惯性（小车要保持原来的运动状态）而的惯性（小车要保持原来的运动状态）而引起的对于施力物体引起的对于施力物体(人手人手)产生的反抗力。产生的反抗力。称为小车的小车的惯性力惯性力。一、惯性力的概念惯性力的概念 由牛顿第二定律：由牛顿第二定律：施力物体施力物体(人手人手)也受到一个也受到一个力力根据作用与反作用定律：根据作用与反作用定律：2质点受力作用而改变运动状态时，由于质点受力作用而改变运动状态时，由于本身的惯性对施力物体的反作用力。本身的惯性对施力物体的反作用力。质点惯性力定义：质点惯性力定义：注注 1：质点惯性力不是作用在质点：质点惯性力不是作用在质点 上的真实力，它是质点对施上的真实力，它是质点对施 力体反作用力的合力。力体反作用力的合力。注注 2：惯性力的作用点在施力体上惯性力的作用点在施力体上。质点惯性力在坐标轴上的投影：质点惯性力在坐标轴上的投影：Force of Inertia3 非自由质点非自由质点M，质量质量m，受主动力受主动力 ，约束力，约束力 作用，作用，质点的加速度质点的加速度 为：为：质点的达朗伯原理质点的达朗伯原理二、质点的达朗伯原理二、质点的达朗伯原理将将 移项，得：移项，得：代入上式，得：代入上式，得：如果在质点上除了作用真实的主动力和约束力外，再如果在质点上除了作用真实的主动力和约束力外，再假想地加上惯性力，则这些力在形式上组成一平衡力系。假想地加上惯性力，则这些力在形式上组成一平衡力系。这就是质点的达朗伯原理这就是质点的达朗伯原理4 该方程对动力学问题来说只是形式上的平衡，该方程对动力学问题来说只是形式上的平衡，并没有改变动力学问题的实质。采用动静法解决并没有改变动力学问题的实质。采用动静法解决动力学问题的最大优点，可以利用静力学提供的动力学问题的最大优点，可以利用静力学提供的解题方法，给动力学问题一种统一的解题格式。解题方法，给动力学问题一种统一的解题格式。5 如如如如图图图图所所所所示示示示一一一一圆圆圆圆锥锥锥锥摆摆摆摆。质质质质量量量量m m=0.1 0.1 kgkg的的的的小小小小球球球球系系系系于于于于长长长长l l=0.3 0.3 m m 的的的的绳绳绳绳上上上上，绳绳绳绳的的的的一一一一端端端端系系系系在在在在固固固固定定定定点点点点O O，并并并并与与与与铅铅铅铅直直直直线线线线成成成成 =60=60 角角角角。如如如如小小小小球球球球在在在在水水水水平平平平面面面面内内内内作作作作匀匀匀匀速速速速圆圆圆圆周周周周运运运运动动动动，求求求求小小小小球球球球的的的的速速速速度度度度v v与与与与绳绳绳绳的的的的张张张张力力力力F F的的的的大大大大小。小。小。小。O Ol l 例例例例 题题题题 1 1 例题例题例题例题达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理6 以以以以小小小小球球球球为为为为研研研研究究究究的的的的质质质质点点点点。质质质质点点点点作作作作匀匀匀匀速速速速圆圆圆圆周周周周运运运运动动动动，只只只只有有有有法法法法向向向向加加加加速速速速度度度度，在在在在质质质质点点点点上上上上除除除除作作作作用用用用有有有有重重重重力力力力m mg g和和和和绳绳绳绳拉拉拉拉力力力力F F外外外外，再再再再加加加加上上上上法法法法向向向向惯惯惯惯性性性性力力力力F*F*，如图所示。如图所示。如图所示如图所示。取上式在自然轴上的投影式，有：取上式在自然轴上的投影式，有：取上式在自然轴上的投影式，有：取上式在自然轴上的投影式，有：根据达朗贝尔原理，这三力在形式上组成平根据达朗贝尔原理，这三力在形式上组成平根据达朗贝尔原理，这三力在形式上组成平根据达朗贝尔原理，这三力在形式上组成平衡系，即衡系，即衡系，即衡系，即解：解：解：解：O Ol l e en ne et te eb bm mg gF FF*F*例例例例 题题题题 1 1 例题例题例题例题达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理7解得：解得：解得：解得：例例例例 题题题题 1 1 例题例题例题例题达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理O Ol l e en ne et te eb bm mg gF FF*F*8例例例例 题题题题 2 2 例题例题例题例题达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理 列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，当车厢向右列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，当车厢向右作匀加速运动时，单摆左偏角度作匀加速运动时，单摆左偏角度 ，相对于车厢静止。求车厢，相对于车厢静止。求车厢的加速度的加速度 。9例例例例 题题题题 2 2 例题例题例题例题达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理4、由动静法由动静法,有：有：解得 2、受力分析：受力分析：惯性力惯性力 3、运动分析：车作平动运动分析：车作平动方向如图所示方向如图所示 1、研究对象：摆锤研究对象：摆锤 M解：解：10例例例例 题题题题 2 2 例题例题例题例题达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理 角随着加速度角随着加速度 的变化而变化，当的变化而变化，当 不变时，不变时，角也不角也不变。只要测出变。只要测出 角，就能知道列车的加速度角，就能知道列车的加速度 。摆式加速计。摆式加速计的原理。的原理。11 球球球球磨磨磨磨机机机机是是是是一一一一种种种种破破破破碎碎碎碎机机机机械械械械，在在在在鼓鼓鼓鼓室室室室中中中中装装装装进进进进物物物物料料料料和和和和钢钢钢钢球球球球，如如如如图图图图所所所所示示示示。当当当当鼓鼓鼓鼓室室室室绕绕绕绕水水水水平平平平轴轴轴轴转转转转动动动动时时时时，钢钢钢钢球球球球被被被被鼓鼓鼓鼓室室室室携携携携带带带带到到到到一一一一定定定定高高高高度度度度，此此此此后后后后脱脱脱脱离离离离壳壳壳壳壁壁壁壁而而而而沿沿沿沿抛抛抛抛物物物物线线线线轨轨轨轨迹迹迹迹落落落落下下下下，最最最最后后后后与与与与物物物物料料料料碰碰碰碰撞撞撞撞以以以以达达达达到到到到破破破破碎碎碎碎的的的的目目目目的的的的。如如如如已已已已知知知知鼓鼓鼓鼓室室室室的的的的转转转转速速速速为为为为n r/minr/min，直直直直径径径径为为为为D D。设设设设钢钢钢钢球球球球与与与与壳壁间无滑动，试求最外层钢球的脱离角壳壁间无滑动，试求最外层钢球的脱离角壳壁间无滑动，试求最外层钢球的脱离角壳壁间无滑动，试求最外层钢球的脱离角 。例例例例 题题题题 3 3 例题例题例题例题达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理12 应用质点动静法应用质点动静法应用质点动静法应用质点动静法 以钢球为研究对象。设钢球的质以钢球为研究对象。设钢球的质以钢球为研究对象。设钢球的质以钢球为研究对象。设钢球的质量为量为量为量为m m。受力如图示。受力如图示。受力如图示。受力如图示。鼓室以匀角速度鼓室以匀角速度鼓室以匀角速度鼓室以匀角速度 转动，钢球尚转动，钢球尚转动，钢球尚转动，钢球尚未脱离壳壁时其加速度为：未脱离壳壁时，其加速度为：未脱离壳壁时，其加速度为：未脱离壳壁时，其加速度为：加惯性力，其大小为加惯性力，其大小为加惯性力，其大小为加惯性力，其大小为解：解：解：解：m mg gF FN NF FF*F*例例例例 题题题题 3 3 例题例题例题例题达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理13即脱离角即脱离角即脱离角即脱离角 与鼓室转速与鼓室转速与鼓室转速与鼓室转速n n有关。有关。有关。有关。求得求得求得求得 显然当钢球脱离壳壁时，显然当钢球脱离壳壁时，显然当钢球脱离壳壁时，显然当钢球脱离壳壁时，F FN N=0=0，由此可求出其脱离角由此可求出其脱离角由此可求出其脱离角由此可求出其脱离角 为为为为m mg gF FN NF F 例例例例 题题题题 3 3 例题例题例题例题达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理1416-2 质点系的达朗伯原理质点系的达朗伯原理 质点系中每个质点上真实作用的主动力、约束反力和它的质点系中每个质点上真实作用的主动力、约束反力和它的惯性力形式上组成平衡力系惯性力形式上组成平衡力系。这就是这就是质点系的达朗伯原理质点系的达朗伯原理。设有一质点系由设有一质点系由n个质点组成，对每一个质点，有个质点组成，对每一个质点，有主动主动力的力的合力合力约束反力约束反力的合力的合力质点的质点的惯性力惯性力15 质点系中每个质点上真实作用的主动力、约束反力和它的质点系中每个质点上真实作用的主动力、约束反力和它的惯性力形式上组成平衡力系惯性力形式上组成平衡力系。质点系的达朗伯原理质点系的达朗伯原理。注意到注意到 ,将质点系受力按内力、外力将质点系受力按内力、外力划分划分,则则用方程表示为用方程表示为：16 可见：对整个质点系来说，动静法给出的平衡方程，只可见：对整个质点系来说，动静法给出的平衡方程，只是质点系的惯性力系与其外力的平衡，而与内力无关。是质点系的惯性力系与其外力的平衡，而与内力无关。公式表明：作用在质点系上的所有外力与虚加在每个质公式表明：作用在质点系上的所有外力与虚加在每个质点上的惯性力在形式上组成力系。点上的惯性力在形式上组成力系。这是质点系达朗贝尔这是质点系达朗贝尔原理的又一表述。原理的又一表述。17对平面任意力系：对平面任意力系：对于空间任意力系：对于空间任意力系：实际应用时实际应用时,同静力学一样可任意选取研究对象同静力学一样可任意选取研究对象,列平列平衡方程求解。衡方程求解。用动静法求解动力学问题时，用动静法求解动力学问题时，21 如如如如图图图图所所所所示示示示，滑滑滑滑轮轮轮轮的的的的半半半半径径径径为为为为r r，质质质质量量量量为为为为m m均均均均匀匀匀匀分分分分布布布布在在在在轮轮轮轮缘缘缘缘上上上上，可可可可绕绕绕绕水水水水平平平平轴轴轴轴转转转转动动动动。轮轮轮轮缘缘缘缘上上上上跨跨跨跨过过过过的的的的软软软软绳绳绳绳的的的的两两两两端端端端各各各各挂挂挂挂质质质质量量量量为为为为m m1 1和和和和m m2 2的的的的重重重重物物物物,且且且且m m1 1 m m2 2 。绳绳绳绳的的的的重重重重量量量量不不不不计计计计，绳绳绳绳与与与与滑滑滑滑轮轮轮轮之之之之间间间间无无无无相相相相对对对对滑滑滑滑动动动动，轴轴轴轴承承承承摩摩摩摩擦擦擦擦忽忽忽忽略略略略不计。求重物的加速度。不计。求重物的加速度。不计。求重物的加速度。不计。求重物的加速度。OABr例例例例 题题题题 5 5 例题例题例题例题达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理22 以以以以滑滑滑滑轮轮轮轮与与与与两两两两重重重重物物物物一一一一起起起起组组组组成成成成的的的的质质质质点点点点系系系系为为为为研研研研究对象。究对象。究对象。究对象。OABra aa am m1 1g gm mg gm m2 2g gF FNNy解：解：解：解：已已已已知知知知m m1 1 m m2 2，则则则则重重重重物物物物的的的的加加加加速速速速度度度度a a方方方方向向向向如如如如图图图图所示。所示。所示。所示。在在在在系系系系统统统统中中中中每每每每个个个个质质质质点点点点上上上上假假假假想想想想地地地地加加加加上上上上惯惯惯惯性性性性力力力力后，可以应用达朗贝尔原理。后，可以应用达朗贝尔原理。后，可以应用达朗贝尔原理。后，可以应用达朗贝尔原理。重重重重物物物物的的的的惯惯惯惯性性性性力力力力方方方方向向向向均均均均与与与与加加加加速速速速度度度度a a的的的的方方方方向向向向相反，大小分别为：相反，大小分别为：相反，大小分别为：相反，大小分别为：例例例例 题题题题 5 5 例题例题例题例题达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理23 滑轮边缘上各点的质量为滑轮边缘上各点的质量为滑轮边缘上各点的质量为滑轮边缘上各点的质量为滑轮边缘上各点的质量为滑轮边缘上各点的质量为m mmi i i，切向惯性力切向惯性力切向惯性力切向惯性力切向惯性力切向惯性力的大小为的大小为的大小为的大小为的大小为的大小为 ，方向沿轮缘切线，指向，方向沿轮缘切线，指向，方向沿轮缘切线，指向，方向沿轮缘切线，指向，方向沿轮缘切线，指向，方向沿轮缘切线，指向如图所示。当绳与轮之间无相对滑动时，如图所示。当绳与轮之间无相对滑动时，如图所示。当绳与轮之间无相对滑动时，如图所示。当绳与轮之间无相对滑动时，如图所示。当绳与轮之间无相对滑动时，如图所示。当绳与轮之间无相对滑动时，a aattt =a aa;法向惯性力的大小为法向惯性力的大小为法向惯性力的大小为法向惯性力的大小为法向惯性力的大小为法向惯性力的大小为 方向沿方向沿方向沿方向沿方向沿方向沿半径背离中心。半径背离中心。半径背离中心。半径背离中心。半径背离中心。半径背离中心。或或或或OABra aa am m1 1g gm mg gm m2 2g gF FNNymi应用对转轴的力矩方程应用对转轴的力矩方程应用对转轴的力矩方程应用对转轴的力矩方程 MMO O（F F）=0 0 ，得，得，得，得例例例例 题题题题 5 5 例题例题例题例题达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理24因为因为因为因为解得解得解得解得例例例例 题题题题 5 5 例题例题例题例题 达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理OABra aa am m1 1g gm mg gm m2 2g gF FNNymi2516-3 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化 简化方法就是采用静力学中的力系简化的理论。将虚拟的简化方法就是采用静力学中的力系简化的理论。将虚拟的惯性力系视作力系向任一点惯性力系视作力系向任一点O简化而得到一个惯性力简化而得到一个惯性力 （主矢）（主矢）和一个惯性力偶和一个惯性力偶 （主矩）。（主矩）。无论刚体作什么运动，惯性力系主矢都等于刚体质量与质无论刚体作什么运动，惯性力系主矢都等于刚体质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反。心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反。下面讨论刚体作平动、定轴转动和平面运动时惯性力偶（主矩）。下面讨论刚体作平动、定轴转动和平面运动时惯性力偶（主矩）。26一、刚体作平动一、刚体作平动向质心向质心C简化简化：刚体平动时惯性力系可以简化为通过质心的合力刚体平动时惯性力系可以简化为通过质心的合力,其大小等其大小等于刚体的质量与加速度的乘积于刚体的质量与加速度的乘积,合力的方向与加速度方向相反合力的方向与加速度方向相反。质心相对质心的距离。质心相对质心的距离。27二、定轴转动刚体二、定轴转动刚体向转轴上任一点向转轴上任一点O简化简化：刚体上任一点刚体上任一点i的惯性力的惯性力：下面分别计算惯性力系对下面分别计算惯性力系对x，y，z轴轴的矩，分别以的矩，分别以MIx，MIy，MIz表示表示28令令：称为对z轴的惯性积，它取决于刚体质量对于坐标轴的分布情况29刚体定轴转动时，惯性力系向转轴上任一点刚体定轴转动时，惯性力系向转轴上任一点O简化的主矩为简化的主矩为 如果刚体具有垂直于转轴的质量对称平面，简化中心如果刚体具有垂直于转轴的质量对称平面，简化中心O取取为此平面与转轴的交点，则为此平面与转轴的交点，则惯性力系简化的主矩为惯性力系简化的主矩为当刚体质量有对称平面且绕垂直于此对称面的轴作定当刚体质量有对称平面且绕垂直于此对称面的轴作定轴转动时，惯性力系向转轴简化为此对称面内的一个力和轴转动时，惯性力系向转轴简化为此对称面内的一个力和一个力偶。这个力等于刚体质量与质心加速度的乘积，方一个力偶。这个力等于刚体质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反，作用线通过转轴；这个力偶的向与质心加速度方向相反，作用线通过转轴；这个力偶的矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积，转向与矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积，转向与角加速度的转向相反。角加速度的转向相反。30向向O点简化：（转轴）点简化：（转轴）向质点向质点C点简化：点简化：作用在作用在C点。点。作用在作用在O点点。31讨论：讨论：刚体作匀速转动，转轴不通过质点刚体作匀速转动，转轴不通过质点C。32讨论：讨论：转轴过质点转轴过质点C，但但0，惯性力偶，惯性力偶 （与（与 反向）反向）33讨论：讨论：刚体作匀速转动，且转轴过质心，则刚体作匀速转动，且转轴过质心，则（主矢、主矩均为零）主矢、主矩均为零）34 假设刚体具有质量对称平面，并且平行于该平面作平面运动。假设刚体具有质量对称平面，并且平行于该平面作平面运动。此时，刚体的惯性力系可先简化为对称平面内的平面力系。此时，刚体的惯性力系可先简化为对称平面内的平面力系。刚体平面运动可分解为刚体平面运动可分解为随基点（质点随基点（质点C）的平动：的平动：绕通过质心轴的转动：绕通过质心轴的转动：三、刚体作平面运动三、刚体作平面运动作用于质心作用于质心 有质量对称平面的刚体，平行于此平面运动时，刚体的有质量对称平面的刚体，平行于此平面运动时，刚体的惯性力系简化为此平面内的一个力和一个力偶。这个力通过惯性力系简化为此平面内的一个力和一个力偶。这个力通过质心，其大小等于刚体质量与质心加速度的乘积，方向与质质心，其大小等于刚体质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反；这个力偶的矩等于刚体对过质心且垂直心加速度方向相反；这个力偶的矩等于刚体对过质心且垂直于质量对称面的轴的转动惯量与角加速度的乘积，转向与角于质量对称面的轴的转动惯量与角加速度的乘积，转向与角加速度的转向相反。加速度的转向相反。35 对于平面运动刚体：由动静法可列出如下三个方程对于平面运动刚体：由动静法可列出如下三个方程：实质上：实质上：36 汽汽汽汽车车车车连连连连同同同同货货货货物物物物的的的的总总总总质质质质量量量量是是是是m m ，其其其其质质质质心心心心 C C 离离离离前前前前后后后后轮轮轮轮的的的的水水水水平平平平距距距距离离离离分分分分别别别别是是是是 b b 和和和和 c c，离离离离地地地地面面面面的的的的高高高高度度度度是是是是 h h 。当当当当汽汽汽汽车车车车以以以以加加加加速速速速度度度度a a沿沿沿沿水水水水平平平平道道道道路路路路行行行行驶驶驶驶时时时时，求求求求地地地地面面面面给给给给前前前前、后后后后轮轮轮轮的的的的铅铅铅铅直直直直反反反反力力力力。轮轮轮轮子子子子的的的的质质质质量不计。量不计。量不计。量不计。A AB BC Cc cb bh h例例例例 题题题题 6 6 例题例题例题例题达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理2024/5/8 周三3738A AB BC Cc cb bh h 取汽车连同货物为研究对象。取汽车连同货物为研究对象。取汽车连同货物为研究对象。取汽车连同货物为研究对象。解：解：解：解：运动分析加惯性力运动分析加惯性力运动分析加惯性力运动分析加惯性力：汽车作平动，汽车作平动，汽车作平动，汽车作平动，F F*=MMa a，加在质心加在质心加在质心加在质心 C C 。于是可写出汽车的动态平衡方程于是可写出汽车的动态平衡方程于是可写出汽车的动态平衡方程于是可写出汽车的动态平衡方程F F*a aF FB Bm mg gF FN NA AF FN NB B例例例例 题题题题 6 6 例题例题例题例题达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理受力分析受力分析受力分析受力分析：m mg g，F FN NA A ，F FN NB B 以及以及以及以及 F FB B (注意：前轮一般是被动轮，当忽略注意：前轮一般是被动轮，当忽略注意：前轮一般是被动轮，当忽略注意：前轮一般是被动轮，当忽略轮子质量时，其摩擦力可以不计轮子质量时，其摩擦力可以不计轮子质量时，其摩擦力可以不计轮子质量时，其摩擦力可以不计)。由式由式由式由式(1)(1)和和和和(2)(2)解得解得解得解得39 起起起起重重重重装装装装置置置置由由由由匀匀匀匀质质质质鼓鼓鼓鼓轮轮轮轮D D（半半半半径径径径为为为为R R，重重重重为为为为WW1 1）及及及及均均均均质质质质梁梁梁梁ABAB（长长长长l l=4 4R R，重重重重WW2 2=WW1 1）组组组组成成成成，鼓鼓鼓鼓轮轮轮轮通通通通过过过过电电电电机机机机C C（质质质质量量量量不不不不计计计计）安安安安装装装装在在在在梁梁梁梁的的的的中中中中点点点点，被被被被提提提提升升升升的的的的重重重重物物物物E E重重重重 。电电电电机机机机通通通通电电电电后后后后的的的的驱驱驱驱动动动动力力力力矩矩矩矩为为为为MM，求求求求重重重重物物物物E E上上上上升升升升的的的的加加加加速速速速度度度度a a及及及及支座支座支座支座A A，B B的约束力的约束力的约束力的约束力F FN NA A及及及及F FN NB B。OABACDE例例例例 题题题题 7 7 例题例题例题例题达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理40以以以以鼓鼓鼓鼓轮轮轮轮D D，重重重重物物物物E E及及及及与与与与鼓鼓鼓鼓轮轮轮轮固固固固结结结结的的的的电电电电机机机机转子所组成的系统（图转子所组成的系统（图转子所组成的系统（图转子所组成的系统（图b b）为研究对象。为研究对象。为研究对象。为研究对象。解：解：解：解：O(b)WWMMO OD DEWW1 1其中其中其中其中解得解得解得解得F FOxOxF FOyOy例例例例 题题题题 7 7 例题例题例题例题达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理MM为电机定子作用在转子的驱动力矩。为电机定子作用在转子的驱动力矩。为电机定子作用在转子的驱动力矩。为电机定子作用在转子的驱动力矩。412.2.考考考考虑虑虑虑整整整整个个个个系系系系统统统统（图图图图c c），加加加加惯惯惯惯性性性性力力力力后后后后受受受受力如图。力如图。力如图。力如图。OABWWWW2 2F FN NA AACDEF FN NB BWW1 1(c)F Fx xM*M*F*F*例例例例 题题题题 7 7 例题例题例题例题 达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理42 半半半半径径径径为为为为R R，重重重重量量量量为为为为WW1 1的的的的大大大大圆圆圆圆轮轮轮轮，由由由由绳绳绳绳索索索索牵牵牵牵引引引引，在在在在重重重重量量量量为为为为WW2 2的的的的重重重重物物物物A A的的的的作作作作用用用用下下下下，在在在在水水水水平平平平地地地地面面面面上上上上作作作作纯纯纯纯滚滚滚滚动动动动，系系系系统统统统中中中中的的的的小小小小圆轮重量忽略不计。求大圆轮与地面之间的滑动摩擦力。圆轮重量忽略不计。求大圆轮与地面之间的滑动摩擦力。圆轮重量忽略不计。求大圆轮与地面之间的滑动摩擦力。圆轮重量忽略不计。求大圆轮与地面之间的滑动摩擦力。A AO OC CWW1 1WW2 2R R例例例例 题题题题 8 8 例题例题例题例题达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理43 解：解：解：解：考察整个系统，有考察整个系统，有考察整个系统，有考察整个系统，有4 4个未知个未知个未知个未知 约束力。约束力。约束力。约束力。如如如如果果果果直直直直接接接接采采采采用用用用动动动动静静静静法法法法，需需需需将将将将系系系系统统统统拆拆拆拆开开开开。因因因因为为为为系系系系统统统统为为为为一一一一个个个个自自自自由由由由度度度度，所所所所以以以以考考考考虑虑虑虑先先先先应应应应用用用用动动动动能能能能定定定定理理理理，求求求求出出出出加加加加速速速速度度度度，再对大圆轮应用动静法。再对大圆轮应用动静法。再对大圆轮应用动静法。再对大圆轮应用动静法。1.1.应用动能定理。应用动能定理。应用动能定理。应用动能定理。例例例例 题题题题 8 8 例题例题例题例题达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理A AO OC CR RWW1 1WW2 2F FF FN NF FOxOxF FOyOy44两边对时间两边对时间两边对时间两边对时间t t求导，且求导，且求导，且求导，且得得得得例例例例 题题题题 8 8 例题例题例题例题达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理1.1.应用动能定理。应用动能定理。应用动能定理。应用动能定理。A AO OC CR RWW1 1WW2 2F FF FN NF FOxOxF FOyOy452.2.应用动静法。应用动静法。应用动静法。应用动静法。取轮子为研究对象。取轮子为研究对象。取轮子为研究对象。取轮子为研究对象。C CMMICICF FF FN NWW1 1将将将将 代入上式得代入上式得代入上式得代入上式得F FOxOx例例例例 题题题题 8 8 例题例题例题例题达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理A AO OC CR RWW1 1WW2 2F FF FN NF FOyOyF FIRIRa a F FT T46 用用用用长长长长 l l 的的的的两两两两根根根根绳绳绳绳子子子子 AOAO 和和和和 BO BO 把把把把长长长长 l l ，质质质质量量量量是是是是 m m 的的的的匀匀匀匀质质质质细细细细杆杆杆杆悬悬悬悬在在在在点点点点 O O(图图图图 a a )。当当当当杆杆杆杆静静静静止止止止时时时时，突突突突然然然然剪剪剪剪断断断断绳绳绳绳子子子子 BOBO ，试求刚剪断瞬时另一绳子试求刚剪断瞬时另一绳子试求刚剪断瞬时另一绳子试求刚剪断瞬时另一绳子 AOAO 的拉力。的拉力。的拉力。的拉力。Ol ll ll lBAC（a a）例例例例 题题题题 9 9 例题例题例题例题 达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理47 绳绳绳绳子子子子BOBO剪剪剪剪断断断断后后后后，杆杆杆杆ABAB将将将将开开开开始始始始在在在在铅铅铅铅直直直直面面面面内内内内作作作作平平平平面面面面运运运运动动动动。由由由由于于于于受受受受到到到到绳绳绳绳OAOA的的的的约约约约束束束束，点点点点A A将将将将在在在在铅铅铅铅直直直直平平平平面面面面内内内内作作作作圆圆圆圆周周周周运运运运动动动动。在在在在绳绳绳绳子子子子BOBO刚刚刚刚剪剪剪剪断断断断的的的的瞬瞬瞬瞬时时时时，杆杆杆杆ABAB上上上上的实际力只有绳子的实际力只有绳子的实际力只有绳子的实际力只有绳子AOAO的拉力的拉力的拉力的拉力F F和杆的重力和杆的重力和杆的重力和杆的重力m mg g。解：解：解：解：在在在在引引引引入入入入杆杆杆杆的的的的惯惯惯惯性性性性力力力力之之之之前前前前，须须须须对对对对杆杆杆杆作作作作加加加加速速速速度度度度分分分分析析析析。取坐标系取坐标系取坐标系取坐标系Axyz Axyz 如图如图如图如图(c c)所示。所示。所示。所示。a aaA AA =a a an nnA AA +a aatttA AA=a aaCxCxCx+a aaCyCyCy+a aatttACACAC +a aan nnACACACOl ll lBACm mg gF F（b b）O Ox xy y B BA AC C（c c）利利利利用用用用刚刚刚刚体体体体作作作作平平平平面面面面运运运运动动动动的的的的加加加加速速速速度度度度合合合合成成成成定定定定理理理理，以以以以质质质质心心心心C C作作作作基基基基点点点点，则则则则点点点点A A的的的的加加加加速速速速度为度为度为度为例例例例 题题题题 9 9 例题例题例题例题 达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理48 在绳在绳在绳在绳BOBO刚剪断的瞬时，杆的角速度刚剪断的瞬时，杆的角速度刚剪断的瞬时，杆的角速度刚剪断的瞬时，杆的角速度 =0 0 ，角角角角加速度加速度加速度加速度 0 0。因此因此因此因此又又又又 a an nA A=0=0，加速度各分量的方向如图加速度各分量的方向如图加速度各分量的方向如图加速度各分量的方向如图(c c)所示。把所示。把所示。把所示。把 a aA A 投影到点投影到点投影到点投影到点A A轨迹的法线轨迹的法线轨迹的法线轨迹的法线 AOAO上，就得到上，就得到上，就得到上，就得到a an nACAC =AC AC 2 2=0=0a at tACAC=l l 2 2这个关系就是该瞬时杆的运动要素所满足的条件。这个关系就是该瞬时杆的运动要素所满足的条件。这个关系就是该瞬时杆的运动要素所满足的条件。这个关系就是该瞬时杆的运动要素所满足的条件。即即即即（1 1）（b b）（c c）（c c）例例例例 题题题题 9 9 例题例题例题例题 达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理Ol ll lBACm mg gF F（b b）O Ox xy y B BA AC C（c c）49 杆的惯性力合成为一个作用在质心的力杆的惯性力合成为一个作用在质心的力杆的惯性力合成为一个作用在质心的力杆的惯性力合成为一个作用在质心的力 F F*C C 和一个力偶和一个力偶和一个力偶和一个力偶MM*C C，两者都在运动平面内，两者都在运动平面内，两者都在运动平面内，两者都在运动平面内，F F*C C的的的的两个分量大小分别是两个分量大小分别是两个分量大小分别是两个分量大小分别是F F*Cx Cx=mamaCx ,Cx ,F F*Cy Cy=ma=maCyCy力偶矩力偶矩力偶矩力偶矩 M*M*C C 的大小是的大小是的大小是的大小是M*M*C C=J JCzCz 旋向与旋向与旋向与旋向与 相反相反相反相反(如图如图如图如图b b)。Ol ll lBACm mg gF Fx xy y（b b）（c c）例例例例 题题题题 9 9 例题例题例题例题 达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理O Ox xy y B BA AC C（c c）50由动静法写出杆的动态平衡方程，有由动静法写出杆的动态平衡方程，有由动静法写出杆的动态平衡方程，有由动静法写出杆的动态平衡方程，有且对于细杆且对于细杆且对于细杆且对于细杆,J JCzCz =ml ml 2 212 12。联立求解方程联立求解方程联立求解方程联立求解方程(1)(1)(4)(4)，就可求出，就可求出，就可求出，就可求出（2 2）（3 3）（4 4）例例例例 题题题题 9 9 例题例题例题例题 达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理O Ox xy y B BA AC C（c c）Ol ll lBACm mg gF Fx xy y51 动画动画达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理偏心情况偏心情况偏心情况偏心情况转子制造或安装的不同情况及其轴承动反力转子制造或安装的不同情况及其轴承动反力转子制造或安装的不同情况及其轴承动反力转子制造或安装的不同情况及其轴承动反力52 动画动画 达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理偏角情况偏角情况偏角情况偏角情况转子制造或安装的不同情况及其轴承动反力转子制造或安装的不同情况及其轴承动反力转子制造或安装的不同情况及其轴承动反力转子制造或安装的不同情况及其轴承动反力53 动画动画达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理一般情况一般情况一般情况一般情况转子制造或安装的不同情况及其轴承动反力转子制造或安装的不同情况及其轴承动反力转子制造或安装的不同情况及其轴承动反力转子制造或安装的不同情况及其轴承动反力54 动画动画 达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理轴承的动反力轴承的动反力轴承的动反力轴承的动反力5516-4 绕定轴转动刚体的轴承动反力绕定轴转动刚体的轴承动反力 一、刚体的轴承动反力一、刚体的轴承动反力 刚体的角速度刚体的角速度 ，角加速度，角加速度（逆时针）逆时针）主动力系向主动力系向O点简化点简化:主矢主矢 ,主矩主矩 惯性力系向惯性力系向O点简化点简化:主矢主矢 ,主矩主矩轴承轴承A处动反力：处动反力：轴承轴承B处动反力：处动反力：FAx，FAyFBx，FBy，FBz根据动静法，列平衡方程如下根据动静法，列平衡方程如下56列平衡方程如下列平衡方程如下由上面五个方程求得轴承动反力由上面五个方程求得轴承动反力57 由两部分组成，一部分由主动力引起的，不能消除，称为由两部分组成，一部分由主动力引起的，不能消除，称为静反力静反力；一部分是由于惯性力系的不平衡引起的，称为一部分是由于惯性力系的不平衡引起的，称为附加动附加动反力反力，它可以通过调整加以消除。它可以通过调整加以消除。使附加动反力为零，须有使附加动反力为零，须有静反力静反力附加动反力附加动反力动反力动反力58当刚体转轴为中心惯性主轴时，轴承的附加动反力为零。当刚体转轴为中心惯性主轴时，轴承的附加动反力为零。转轴过质心对z 轴惯性积为零，z 轴为刚体在O点的惯性主轴；59 静平衡：静平衡：当刚体转轴通过质心，且刚体除重力外当刚体转轴通过质心，且刚体除重力外,没有受没有受到其它主动力作用时，则刚体可以在任意位置静止不动，这种到其它主动力作用时，则刚体可以在任意位置静止不动，这种现象称为静平衡。现象称为静平衡。二、静平衡与动平衡的概念二、静平衡与动平衡的概念 动平衡：动平衡：当刚体转轴通过质心且为惯性主轴时，刚体转动当刚体转轴通过质心且为惯性主轴时，刚体转动时，不出现轴承附加动反力，这种现象称为动平衡。时，不出现轴承附加动反力，这种现象称为动平衡。60 设设设设匀匀匀匀质质质质转转转转子子子子重重重重 W W，质质质质心心心心 C C 到到到到转转转转轴轴轴轴的的的的距距距距离离离离是是是是 e e，转转转转子子子子以以以以匀匀匀匀角角角角速速速速度度度度 绕绕绕绕水水水水平平平平轴轴轴轴转转转转动动动动，AOAO =a a ，OBOB =b b (图图图图 a)a)。假假假假定定定定转转转转轴轴轴轴与与与与转转转转子子子子的的的的对对对对称称称称平平平平面面面面垂垂垂垂直直直直，求求求求当当当当质质质质心心心心 C C 转转转转到到到到最最最最低低低低位位位位置置置置时时时时轴轴轴轴承承承承所所所所受受受受的的的的压力。压力。压力。压力。例例例例 题题题题 10 10(a a )例题例题例题例题达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理(a a )b a e z C O B A61(a a )b a e z C O B A解解解解:轴轴轴轴 Oz Oz 是转子在点是转子在点是转子在点是转子在点 O O 的主轴之一。可见惯性力对点的主轴之一。可见惯性力对点的主轴之一。可见惯性力对点的主轴之一。可见惯性力对点 O O 的主矩在垂直于的主矩在垂直于的主矩在垂直于的主矩在垂直于 OzOz的平面上两轴的投影的平面上两轴的投影的平面上两轴的投影的平面上两轴的投影 M*M*Cx Cx 和和和和 M*M*Cy Cy 恒等于零。又恒等于零。又恒等于零。又恒等于零。又 =0=0，这样这样这样这样 M*M*Cz Cz 也等也等也等也等于零。因此转子的惯性力合成为作用于点于零。因此转子的惯性力合成为作用于点于零。因此转子的惯性力合成为作用于点于零。因此转子的惯性力合成为作用于点O O的一个力的一个力的一个力的一个力 F F*C C ，大小等于大小等于大小等于大小等于方向沿方向沿方向沿方向沿 OCOC。当质心当质心当质心当质心 C C 转到最低位置时，轴上实际所受的力如图转到最低位置时，轴上实际所受的力如图转到最低位置时，轴上实际所受的力如图转到最低位置时，轴上实际所受的力如图 b b所示所示所示所示。(a a )(a a )b a e z C O B A(b b )WWF F B BF FA A 例题例题例题例题 达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理例例例例 题题题题 10 1062根据动静法写出动态平衡方程根据动静法写出动态平衡方程根据动静法写出动态平衡方程根据动静法写出动态平衡方程由式由式由式由式(1)(1)和和和和(2)(2)解得解得解得解得两轴承所受的力分别和两轴承所受的力分别和两轴承所受的力分别和两轴承所受