十大高中平面几何几何定理汇总及证明.docx

高中平面几何定理汇总及证明
1. 共边比例定理
有公共边AB的两个三角形的顶点分别是P、Q，AB与PQ的连线交于点M，则有以下比例式成立：△ PAB的面积：△ QAB的面积＝PM：QM. 

证明：分如下四种情况，分别作三角形高，由相似三角形可证
S△PAB=(S△PAM-S△PMB)
=(S△PAM/S△PMB-1)×S△PMB
=(AM/BM-1)×S△PMB(等高底共线，面积比=底长比）
同理，S△QAB=(AM/BM-1)×S△QMB
所以，S△PAB/S△QAB=S△PMB/S△QMB=PM/QM(等高底共线，面积比=底长比）
定理得证！
特殊情况：当PB∥AQ时，易知△PAB与△QAB的高相等，从而S△PAB=S△QAB，反之，S△PAB=S△QAB，则PB∥AQ。
2. 正弦定理
在任意一个平面三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆半径的2倍”，即a/sinA = b/sinB =c/sinC = 2r=R（r为外接圆半径，R为直径）
证明：
现将△ABC，做其外接圆，设圆心为O。我们考虑∠C及其对边AB。设AB长度为c。
若∠C为直角，则AB就是⊙O的直径，即c= 2r。
∵  （特殊角正弦函数值）
∴ 
若∠C为锐角或钝角，过B作直径BC`交 ⊙O于C`，连接C'A，显然BC'= 2r=R。
若∠C为锐角，则C'与C落于AB的同侧，
此时∠C'=∠C（同弧所对的圆周角相等）
∴在Rt△ABC'中有
若∠C为钝角，则C'与C落于AB的异侧，BC的对边为a，此时∠C'=∠A，亦可推出  。
考虑同一个三角形内的三个角及三条边，同理，分别列式可得
  。
3. 分角定理
在△ABC中，D是边BC上异于B,C或其延长线上的一点，连结AD，则有BD/CD=(sin∠BAD/sin∠CAD)*(AB/AC)。
证明：
S△ABD/S△ACD=BD/CD………… (1.1)
S△ABD/S△ACD=[(1/2)×AB×AD×sin∠BAD]/[(1/2) ×AC×AD×sin∠CAD]
= (sin∠BAD/sin∠CAD) ×(AB/AC) …………(1.2)
由1.1式和1.2式得
BD/CD=(sin∠BAD/sin∠CAD) ×(AB/AC)
4. 张角定理
在△ABC中，D是BC上的一点，连结AD。那么sin∠BADAC+sin∠CADAB=sin∠BACAD。
证明：
设∠1=∠BAD，∠2=∠CAD
由分角定理，
S△ABD/S△ABC=BD/BC=(AD/AC)*(sin∠1/sin∠BAC)
→ (BD/BC)*(sin∠BAC/AD)=sin∠1/AC (1.1)
S△ACD/S△ABC=CD/BC=(AD/AB)*(sin∠2/sin∠BAC)
→ (CD/BC)*(sin∠BAC/AD)=sin∠2/AB (1.2)
(1.1)式+(1.2)式即得 sin∠1/AC+sin∠2/AB=sin∠BAC/AD
5. 帕普斯定理
直线l1上依次有点A,B,C，直线l2上依次有点D,E,F，设AE,BD交于G，AF,DC交于I，BF,EC交于H，则G,I,H共线。

6. 蝴蝶定理
设S为圆内弦AB的中点，过S作弦CF和DE。设CF和DE各相交AB于点M和N，则S是MN的中点。
证明：
过O作OL⊥ED，OT⊥CF，垂足为L、T，
连接ON，OM，OS，SL，ST，易明△ESD∽△CSF
∴ES/CS=ED/FC
根据垂径定理得：LD=ED/2，FT=FC/2
∴ES/CS=EL/CT
又∵∠E=∠C
∴△ESL∽△CST
∴∠SLN=∠STM
∵S是AB的中点所以OS⊥AB
∴∠OSN=∠OLN=90°
∴O，S，N，L四点共圆，（一中同长）
同理，O，T，M，S四点共圆
∴∠STM=∠SOM，∠SLN=∠SON
∴∠SON=∠SOM
∵OS⊥AB
∴MS=NS
7. 西姆松定理
过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线上的垂线，则三垂足共线。（此线常称为西姆松线）。
证明：
若L、M、N三点共线，连结BP，CP，则因PL⊥BC，PM⊥AC，PN⊥AB，有B、L、P、N和P、M、C、L分别四点共圆，有
∠NBP = ∠NLP = ∠MLP= ∠MCP.
故A、B、P、C四点共圆。
若A、P、B、C四点共圆，则
∠NBP= ∠MCP。
因PL⊥BC，PM⊥AC，PN⊥AB，
有B、L、P、N和P、M、C、L四点共圆，有
∠NBP = ∠NLP= ∠MCP= ∠MLP.
故L、M、N三点共线。

西姆松逆定理：若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上。
证明：PM⊥AC，PN⊥AB ,所以A,M,N,P共圆
8. 清宫定理
设P、Q为△ABC的外接圆上异于A、B、C的两点，P关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，且QU、QV、QW分别交三边BC、CA、AB或其延长线于D、E、F，则D、E、F在同一直线上.
证明：
A、B、P、C四点共圆，因此
∠PCE=∠ABP

点P和V关于CA对称
所以∠PCV=2∠PCE
又因为P和W关于AB对称，所以
∠PBW=2∠ABP
从这三个式子，有
∠PCV=∠PBW
另一方面，因为∠PCQ和∠PBQ都是弦PQ所对的圆周角，所以
∠PCQ=∠PBQ
两式相加，有
∠PCV+∠PCQ=∠PBW+∠PBQ
即∠QCV=∠QBW
即△QCV和△QBW有一个顶角相等，因此

但是，，所以

同理
 ，
于是

根据梅涅劳斯定理的逆定理，D、E、F三点在同一直线上。

9. 密克定理
三圆定理：设三个圆C1, C2, C3交于一点O，而M, N, P分别是C1 和C2, C2和C3, C3和C1的另一交点。设A为C1的点，直线MA交C2于B，直线PA交C3于C。那么B, N, C这三点共线。
逆定理：如果是三角形，M, N, P三点分别在边AB, BC, CA上，那么△AMP、△BMN、△CPN 的外接圆交于一点O。
完全四线形定理
如果ABCDEF是完全四线形，那么三角形的外接圆交于一点 O，称为密克点。
四圆定理
设C1, C2,C3, C4为四个圆，A1和B1是C1和C2的交点，
A2和B2是C2 和C3的交点，A3和B3是C3和C4的交点，
A4和B4是C1和C4的交点。那么A1, A2, A3, A4四点共圆当且仅当B1, B2, B3, B4四点共圆。
证明：在△ABC的BC,AC,AB边上分别取点W,M,N，对AMN,△BWN和△CWM分别作其外接圆，则这三个外接圆共点。
该定理的证明很简单，利用“圆内接四边形对角和为180度”及其逆定理。
现在已知U是和的公共点。连接UM和UN，
∵四边形BNUW和四边形CMUW分别是和的内接四边形，
∴∠UWB+∠UNB=∠UNB+∠UNA=180度
∴∠UWB=∠UNA。
同理∠UWB+∠UWC=∠UWC+∠UMC=180度
∴∠UWB=∠UMC。
∵∠UMC+∠UMA=180度
∴∠UNA+∠UMA=180度，
这正说明四边形ANUM是一个圆内接四边形，而该圆必是，U必在上。

10. 婆罗摩笈多定理
圆内接四边形ABCD的对角线AC⊥BD，垂足为M。EF⊥BC，且M在EF上。那么F是A D的中点。
证明：
∵AC⊥BD，ME⊥BC
∴∠CBD=∠CME
∵∠CBD=∠CAD，∠CME=∠AMF
∴∠CAD=∠AMF
∴AF=MF
∵∠AMD=90°，同时∠MAD+∠MDA=90°
∴∠FMD=∠FDM
∴MF=DF，即F是AD中点
逆定理：
若圆内接四边形的对角线相互垂直，则一边中点与对角线交点的连线垂直于对边。
证明：
∵MA⊥MD，F是AD中点
∴AF=MF
∴∠CAD=∠AMF
∵∠CAD=∠CBD，∠AMF=∠CME
∴∠CBD=∠CME
∵∠CME+∠BME=∠BMC=90°
∴∠CBD+∠BME=90°
∴EF⊥BC

11. 托勒密定理
圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)．圆内接四边形ABCD，求证：AC·BD=AB·CD+AD·BC．
证明：过C作CP交BD于P，使∠1=∠2，又∠3=∠4，
∴△ACD∽△BCP．
得AC：BC=AD：BP，AC·BP=AD·BC ①。
又∠ACB=∠DCP，∠5=∠6，
∴△ACB∽△DCP．得AC：CD=AB：DP，AC·DP=AB·CD ②。
① +②得 AC(BP+DP)=AB·CD+AD·BC．
即AC·BD=AB·CD+AD·BC．
12. 梅涅劳斯定理
当直线交三边所在直线于点时，。
证明：过点C作CP∥DF交AB于P，则

两式相乘得

梅涅劳斯逆定理：若有三点F、D、E分别在边三角形的三边AB、BC、CA或其延长线上，且满足AF/FB×BD/DC×CE/EA=1，则F、D、E三点共线。
证明：先假设E、F、D三点不共线，直线DE与AB交于P。
由梅涅劳斯定理的定理证明（如利用平行线分线段成比例的证明方法）得：
(AP/PB)(BD/DC)(CE/EA)=1。
∵ (AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1。
∴ AP/PB=AF/FB ；
∴ (AP+PB)/PB=(AF+FB)/FB ；
∴ AB/PB=AB/FB ；
∴ PB=FB；即P与F重合。
∴ D、E、F三点共线。
13. 塞瓦定理
在△ABC内任取一点O，延长AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则
(BD/DC)×(CE/EA)×(AF/FB)=1。
∵△ADC被直线BOE所截，
∴(CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1①
∵△ABD被直线COF所截，
∴ (BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1②
② /①约分得：
(DB/CD)×(CE/EA)×(AF/FB)=1
14. 圆幂定理
相交弦定理：如图Ⅰ，AB、CD为圆O的两条任意弦。相交于点P，连接AD、BC，由于∠B与∠D同为弧AC所对的圆周角，因此由圆周角定理知：∠B=∠D，同理∠A=∠C，所以。所以有：，即：。
割线定理：如图Ⅱ，连接AD、BC。可知∠B=∠D，又因为∠P为公共角，所以有
，同上证得。
切割线定理：如图Ⅲ，连接AC、AD。∠PAC为切线PA与弦AC组成的弦切角，因此有∠PBC=∠D，又因为∠P为公共角，所以有
 ，易证

图Ⅳ，PA、PC均为切线，则∠PAO=∠PCO=90°，在直角三角形中：OC=OA=R，PO为公共边，因此
 。所以PAPC，所以
 。
综上可知，
 是普遍成立的。
弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数。

点对圆的幂
P点对圆O的幂定义为 
点P在圆O内→P对圆O的幂为负数；
点P在圆O外→P对圆O的幂为正数；
点P在圆O上→P对圆O的幂为0。
三角形五心：
内心：三角形三条内角平分线的交点
外心：三角形三条边的垂直平分线（中垂线）的相交点
重心：三角形三边中线的交点
垂心：三角形的三条高线的交点
旁心：三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心
九点圆心：三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点〔连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点〕九点共圆的圆心
15. 根心定理
三个两两不同心的圆，形成三条根轴，则必有下列三种情况之一：
（1） 三根轴两两平行；
（2） 三根轴完全重合；
（3） 三根轴两两相交，此时三根轴必汇于一点，该点称为三圆的根心。
平面上任意三个圆，若这三个圆圆心不共线，则三条根轴相交于一点，这个点叫它们的根心；若三圆圆心共线，则三条根轴互相平行。
根轴定义：
A与B的根轴L1：到A与B的切线相等的点。
B与C的根轴L2：到B与C的切线相等的点。

证明
设A、B、C三个圆，圆心不重合也不共线。
考察L1与L2的交点P。
因为P在L1上，所以：P到A的切线距离=P到B的切线距离。
因为P在L2上，所以：P到B的切线距离=P到C的切线距离。
所以：P到A的切线距离=P到B的切线距离=P到C的切线距离。
也就是：P到A的切线距离=P到C的切线距离。所以：P在A与C的根轴上。
所以：三个根轴交于一点。

16. 鸡爪定理
设△ABC的内心为I，∠A内的旁心为J，AI的延长线交三角形外接圆于K，则KI=KJ=KB=KC。
证明：
由内心和旁心的定义可知∠IBC=∠ABC/2，∠JBC=(180°-∠ABC)/2
∴∠IBC+∠JBC=∠ABC/2+90°-∠ABC/2=90°=∠IBJ
同理，∠ICJ=90°
∵∠IBJ+∠ICJ=180°
∴IBJC四点共圆，且IJ为圆的直径
∵AK平分∠BAC
∴KB=KC（相等的圆周角所对的弦相等）
又∵∠IBK=∠IBC+∠KBC=∠ABC/2+∠KAC=∠ABI+∠BAK=∠KIB
∴KB=KI
由直角三角形斜边中线定理逆定理可知K是IJ的中点
∴KB=KI=KJ=KC
逆定理：设△ABC中∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于K。在AK及延长线上截取KI=KB=KJ，其中I在△ABC的内部，J在△ABC的外部。则I是△ABC的内心，J是△ABC的旁心。
证明：
利用同一法可轻松证明该定理的逆定理。
取△ABC的内心I'和旁心J’，根据定理有KB=KC=KI'=KJ'
又∵KB=KI=KJ
∴I和I'重合，J和J’重合
即I和J分别是内心和旁心
17. 费尔巴哈定理
三角形的九点圆与其内切圆以及三个旁切圆相切
设△ABC的内心为I，九点圆的圆心为V。三边中点分别为L，M，N，内切圆与三边的切点分别是P，Q，R，三边上的垂足分别为D，E，F。
不妨设AB>AC。
假设⊙I与⊙V相切于点T，那么LT与⊙I相交，设另一个交点为S。
过点S作⊙I的切线，分别交AB和BC于V，U，连接AU。
又作两圆的公切线TX，使其与边AB位于LT的同侧。
由假设知
∠XTL=∠LDT
而TX和SV都是⊙I的切线，且与弦ST所夹的圆弧相同，于是
∠XTL=∠VST
因此
∠LDT=∠VST
则
∠UDT+∠UST=180°
这就是说，S，T，D，U共圆。
而这等价于：LU×LD=LS×LT
又 LP²=LS×LT
故有 LP²=LU×LD
另一方面，T是公共的切点，自然在⊙V上，
因此 L，D，T，N共圆，进而有
∠LTD=∠LND
由已导出的S，T，D，U共圆，得
∠LTD=∠STD=180°-∠SUD=∠VUB
=∠AVU-∠B
而
∠LND=∠NLB-∠NDB
=∠ACB-∠NBD
=∠C-∠B
（这里用了LN∥AC，以及直角三角形斜边上中线等于斜边的一半）
所以，就得到
∠AVU=∠C
注意到AV，AC，CU，UV均与⊙I相切，于是有
∠AIR=∠AIQ
∠UIS=∠UIP
∠RIS=∠QIS
三式相加，即知
∠AIU=180°
也即是说，A，I，U三点共线。
另外，AV=AC，这可由△AIV≌△AIC得到。
（这说明，公切点T可如下得到：
连接AI，并延长交BC于点U，
过点U作⊙I的切线，切点为S，交AB于V，
最后连接LS，其延长线与⊙I的交点即是所谓的公切点T。）
连接CV，与AU交于点K，
则K是VC的中点。
前面已得到：LP²=LU×LD
而
2LP=(BL+LP)-(CL-LP)
=BP-CP
=BR-CQ
=(BR+AR)-(CQ+AQ)
=AB-AC
=AB-AV
=BV
即 LP=BV
然而
LK是△CBV的中位线
于是 LK=BV
因之 LP=LK
故 LK²=LU×LD
由于以上推导均可逆转，因此我们只需证明： LK²=LU×LD。往证之
这等价于：LK与圆KUD相切
于是只需证：∠LKU=∠KDU
再注意到 LK∥AB（LK是△CBV的中位线），即有
∠LKU=∠BAU
又AU是角平分线，于是
∠LKU=∠CAU=∠CAK
于是又只需证：∠CAK=∠KDU
即证：∠CAK+∠CDK=180°
这即是证：A，C，D，K四点共圆
由于 AK⊥KC（易得），AD⊥DC
所以 A，C，D，K确实共圆。
这就证明了⊙I与⊙V内切。
旁切圆的情形是类似的。
证毕
另略证：
OI2=R2-2Rr
IH2=2r2-2Rr'
OH2=R2-4Rr'(其中r‘是垂心H的垂足三角形的内切圆半径，R、r是三角形ABC外接圆和内切圆半径)
FI2=1/2(OI2+IH2)-1/4OH2=(1/2R-r)2
FI=1/2R-r这就证明了九点圆与内切圆内切（九点圆半径为外接圆半径一半。F是九点圆圆心，I为内心）

18. 莫利定理
将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相交得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形
证明：设△ABC中，AQ,AR,BR,BP,CP,CQ为各角的三等分线，三边长为a,b,c,三内角为3α，3β，3γ，则α+β+γ=60°。
在△ABC中，由正弦定理，得AF=csinβ/sin(α+β)。
不失一般性，△ABC外接圆直径为1，则由正弦定理，知c=sin3γ，所以
AF=（sin3γ*sinβ）/sin(60°-γ)
= [sinβ*sinγ(3-4sin²γ)]/[1/2(√3cosγ-sinγ)]
= 2sinβsinγ（√3cosγ+sinγ）
= 4sinβsinγsin（60°+γ）.
同理,AE=4sinβsinγsin(60°+β)
∴AF:AE=[4sinβsinγsin(60°+γ)]：[4sinβsinγsin(60°+β)]
=sin(60°+γ):sin(60°+β)=sin∠AEF:sin∠AFE
∴∠AEF=60°+γ,∠AFE=60°+β.同理得，∠CED=60°+α
∠FED=180°-CED-(AEF-α-γ)=180°-60°-α-60°+α=60°
∴△FED为正三角形
19. 拿破仑定理
若以任意三角形的各边为底边向形外作底角为60°的等腰三角形，则它们的中心构成一个等边三角形。在△ABC的各边上向外各作等边△ABF，等边△ACD，等边△BCE。

证明：设等边△ABF的外接圆和等边△ACD的外接圆相交于O；连AO、CO、BO。
∴ ∠AFB=∠ADC=60°；
∵ A、F、B、O四点共圆；A、D、C、O四点共圆；
∴ ∠AOB=∠AOC=120°；
∴ ∠BOC=120°；
∵ △BCE是等边三角形
∴ ∠BEC=60°；
∴ B、E、C、O四点共圆；
∴ 这3个等边三角形的外接圆共点。
∵ A、D、B、O四点共圆
A、F、C、O四点共圆
B、E、C、O四点共圆
∠AFC=∠ADB=∠BEC=60°；
∴ ∠AOB=∠AOC=∠BOC=120°；
∵ NP、MP、MN是连心线；
BO、CO、AO是公共弦；
∴ BO⊥NP于X；
CO⊥MP于Y；
AO⊥NM于Z。
∴ X、P、Y、O四点共圆；
Y、M、Z、O四点共圆；
Z、N、X、O四点共圆；
∴ ∠N=∠M=∠P=60°；
即△MNP是等边三角形。