金融工程第章奇异期权.ppt

第九章 奇异期权期权市场是世界上最具有活力和变化的市场之一，盈利和避险的需要不断推动新工具的产生。1第一节 奇异期权概述比常规期权更复杂的衍生证券常常被叫做奇异期权（Exotic Options），比如执行价格不是一个确定的数，而是一段时间内的平均资产价格的期权，或是在期权有效期内如果资产价格超过一定界限，期权就作废，等等。大多数的奇异期权都是在场外交易的，往往是金融机构根据客户的具体需求开发出来的，其灵活性和多样性是常规期权所不能比拟的。相应地，奇异期权的定价和保值往往也更加困难，奇异期权对模型设定正确与否的依赖性常常很强，合约中潜在的风险通常比较模糊，很容易导致非预期的损失，无论是用标的资产进行保值还是用相应的期权进行保值（在后面我们将会看到，这种保值方法被称为静态保值），都需要很小心。2一、分拆与组合最基本的奇异期权是对常规期权和其他一些金融资产的分拆和组合，从而得到所需要的回报。这一方法是金融工程的核心之一。分拆和组合的思想还可以用在为奇异期权定价上。通过对奇异期权到期时回报的数学整理，常常可以把期权分成常规期权、简单期权和其他金融资产的组合，从而大大简化期权定价过程。3 二、弱式路径依赖所谓的路径依赖（Path Dependence）性质是指期权的价值会受到标的变量所遵循路径的影响。如果期权价值会受到路径变量的影响，但是在期权定价的偏微分方程中并不需要比与之类似的常规欧式期权增加新的独立路径依赖变量，就属于弱式路径依赖性质的期权。导致弱式路径依赖的第二个最常见的原因是障碍(Barrier)。当标的资产价格在事先确定的时间内触及某个预先确定的障碍水平时，障碍期权（敲入或敲出期权）就可能被敲出（作废）或是敲入（开始生效）。这种期权显然是路径依赖的，但是因为我们仍然只需要解一个以资产价格和时间为变量的偏微分方程，它仍然只是弱式路径依赖的。4 三、强式路径依赖与弱式路径依赖对应的强式路径依赖，在奇异期权中也相当常见。这些期权的损益除了取决于标的资产的目前价格和时间之外，还取决于资产价格路径的一些特征，也就是说不能将期权价格简单写作 ，还需要获得资产价格路径的更多信息。期权价值是原先的期权价格、时间和至少再多一个独立变量的函数，相应的在期权价值偏微分方程中也将增加期权价值对这些独立变量的导数。在现实生活中存在着许多这样的期权合约，亚式期权是其中的典型范例，其损益要受到标的资产在一定时间内价格平均值的影响。5 四、时间依赖奇异期权的一种变化形式是在以上所述的所有特征中加入时间依赖（Time Dependence）的特性。比如说美式期权只能在特定的一段时间之内提前执行，如百慕大期权；敲出期权的障碍位置也可以随着时间而不同，每个月都可以设定一个比上个月更高的水平；一个敲出期权，其障碍只在每个月的最后一星期有效。这些合约都可以称作是时间上非均匀的（Time-inhomogeneous）。这些变化使得期权合约更加丰富，也更符合客户和市场的特殊需求。6 五、维数维数（Dimensions）指的是基本的独立变量的个数。常规期权有两个独立变量和，因此是二维的。弱式路径依赖期权合约和那些除了不是路径依赖之外其他条件都与之完全相同的期权合约的维数相同，比如一个障碍期权和与之相应的常规期权都只有两个变量，都是二维的。在两种情况下，会出现三维甚至多维。第一种情况出现在有其他随机源的时候，比如期权中有多个标的资产。假设有一个期权，要取两种股票价格的最大值。这两种标的资产都是随机的，每种都有自己的波动率，它们之间还有相关关系。第二种情况是强式路径依赖的合约。比如一种新的独立变量是路径依赖量（比如亚式期权中的价格平均数）的一个衡量，期权价值是依赖于这个量的。7 六、期权的阶数奇异期权最后的一个分类特征是期权的阶数，但这不仅是一种分类特征，还引入了建模的问题。常规期权是一阶的，其损益仅直接取决于标的资产价格，其他的如路径依赖期权，如果路径变量直接影响期权价格的话，它也是一阶的。高阶指的是那些期权损益和价值取决于另一个（些）期权的价值。最典型的二阶期权的例子是复合期权。比如一个看涨期权给予持有者购买一个看跌期权的权利。复合期权在时刻 到期，而作为其自变量的那个标的期权则在更迟的一个时刻 到期。8第二节 障碍期权 一、障碍期权的分类 障碍期权（Barrier Options）是指期权的回报（Payoff）依赖于标的资产的价格在一段特定时间内是否达到了某个特定的水平（临界值），这个临界值就叫做“障碍”水平。一般可以归为两种类型：1.敲出障碍期权（Knock-out Options）：当标的资产价格达到一个特定的障碍水平时，该期权作废（即被“敲出”）；如果在规定时间 内资产价格并未触及障碍水平，则仍然是一个常规期权。2.敲入障碍期权（Knock-in Options）：正好与敲出期权相反，只有资产价格在规定时间内达到障碍水平，该期权才得以存在（即“敲入”），其回报与相应的常规期权相同；反之该期权作废。9通过考察障碍水平与标的资产初始价格的相对位置，进一步为障碍期权分类：如果障碍水平高于初始价格，把它叫做向上期权。如果障碍水平低于初始价格，把它叫做向下期权。将以上分类进行组合，我们可以得到诸如向下敲出看涨期权（Down-and-out Call）、向下敲入看跌期权（Down-and-in Put）和向上敲出看涨期权（Up-and-out Call）等。10 基本的障碍期权之上许多新的特殊交易条款，这些条款包括：1.障碍水平的时间依赖性，即随时间不同障碍水平将发生变化，比如障碍水平从某一个位置开始，逐渐上升。通常来说，障碍水平会是一个时间的分段常数函数（即在一段时间之内维持一个固定的水平，之后发生变化再维持一个水平）。其中的极端例子是被保护或是部分障碍期权（Protected or Partial Barrier Options）。在这类期权中，障碍是间歇性的，在一段特定的时间内，障碍会完全消失。其中又可以分为两类，一种是在障碍有效的时间内，只要资产价格处于障碍水平之外，障碍条件就被引发；第二种则是只有资产价格在有效时间内越过障碍，才被引发，如果价格已经位于障碍水平之外则不会引发。11 2.双重障碍(Double Barrier)：期权条款中包含一个障碍上限和障碍下限。上限高于现价，而下限则低于现价。在一个双重敲出期权中，如果任何一个障碍水平被触及，期权就作废。在一个双重敲入期权中，规定时间内价格至少要达到其中一个障碍水平期权才可有效。3.多次触及障碍水平（Repeated Hitting of the Barrier）：双重障碍期权可以进一步变得更复杂：有一类期权要求在障碍条件被引发之前，两重障碍水平都要被触及。4.障碍水平的重新设定：这种期权叫做重设障碍期权（Reset barrier）。当触及到障碍水平的时候，合约变成另一个不同障碍水平的障碍期权。12 5.外部障碍期权（Outside Barrier Options）：外部或称为彩虹障碍期权（Rainbow Barrier Option）的回报特征取决于第二种标的资产。这个期权中的障碍水平可能被一个资产价格的变动触发，而期权的回报则取决于另一种资产价格。这类产品显然属于多因素合约。6.提前执行的可能性：除了以上对障碍的多种创新之外，还可以在障碍期权中加入美式提前执行的条款，这时合约中一定要列明如果合约提前执行的话，期权回报将如何。7.部分折扣（Rebate）：有时障碍期权合约中会规定，如果触及障碍水平，可以部分退款（折扣）。这常常发生在敲出期权的情况下，这时这部分退款可以看作是对失去的回报部分的缓冲。这部分退款可以在障碍被引发时或是到期时才支付。132024/5/8 周三14 二、障碍期权的性质从障碍期权的基本分析中我们可以看到，障碍期权是路径依赖期权，它们的回报，以及它们的价值要受到资产到期前遵循的路径的影响。比如，一个向上敲出看涨期权在到期时同样支付 ，除非在此之前资产交易价格达到或超过障碍水平 。障碍期权受欢迎的主要原因在于：它们通常比常规期权便宜，这对那些相信障碍水平不会（或会）被引发的投资者很有吸引力。而且，购买者可以使用它们来为某些非常特定的具有类似性质的现金流保值。障碍距离资产价格现价越近，期权被敲出的可能性越大，合约就越便宜。15 三、在布莱克-舒尔斯偏微分方程框架中为障碍期权定价 （一）定价基本原理 障碍期权是弱式路径依赖的，这使得我们仍然可以直接应用布莱克-舒尔斯期权定价偏微分方程来为其定价。在障碍条件被触发之前，期权价值仍然满足 障碍条件则反映在相应的边界条件上16 1.敲出障碍 当标的资产价格达到敲出障碍水平时，合约作废，因此边界条件为：当 时，（9.1）其中 可以是向上或向下的障碍水平。对于一个向上敲出障碍期权来说，要在 的条件下解出布莱克-舒尔斯偏微分方程，同时考虑资产价格达到时的边界条件（9.1）。对于一个向下敲出障碍期权，则将范围改为 ，考虑相应的两个边界条件，解出偏微分方程。如果合约中有部分折扣规定的话，边界条件（9.1）可以修改为：其中R为折扣数。17 2.敲入障碍 敲入期权只有在障碍水平被触及的时候才有价值，因此，如果没有到达障碍水平，则 对于敲入期权来说，其价值在于到达障碍的可能性。如果是一个向上敲入期权，那么在资产价格到达上限的时候，合约的价值 就等于一个相应的常规期权价值 。当 时，18 3.敲入和敲出障碍期权的关系 在不考虑折扣R的情况下，具有相同的执行价格、到期时间和障碍水平的敲入期权和敲出期权具有如下的关系：敲入期权敲出期权执行价格和时间相同的常规期权 这是因为无论资产价格是否触及障碍水平，敲入期权和敲出期权的组合总能得到与常规期权相同的回报。这个关系在障碍期权定价中很有意义，只需要求出其中一个障碍期权，即可得到另一个的价值。19 （二）障碍期权的具体定价公式 1.向下敲出看涨期权仍然用 来表示与障碍期权具有相同的执行价格 和到期时间 的常规期权的布莱克舒尔斯解析解，表示障碍水平，则一个 的下降敲出看涨期权价格为：（9.3）20 2.向上敲入看涨期权 应用敲入和敲出期权之间的关系，我们可以得到，相应的向下敲入看涨期权价格为：值得注意的是，如果H和执行价格X的位置关系不同，这里的价格也会变化。障碍期权由于运动方向（向上和向下）、敲入敲出和看涨看跌的不同组合，会形成八种不同的类型，只有在向下看涨期权和向上看跌期权中，才会因为H和X的位置关系不同而导致价格变化。其他情形下H和执行价格X只可能有一种位置关系，否则或者障碍或者期权没有意义。21（三）障碍期权定价的扩展*1.障碍期权合约中增加条款的考虑如果在合约中还加入对障碍水平和执行时间等方面的创新条款，定价时就必须增加考虑这些具体因素。比如美式提前执行条款是对组合价值增加一个简单的约束条件；双重障碍期权的价值等于一个在较低的障碍水平上的向上期权和一个在较高水平上的向下期权之和，可以以此为边界条件，解出布莱克-舒尔斯偏微分方程；而重设障碍期权价值则可以使用两次解出障碍期权价值的方法来求得；等等。有些扩展条款无法得到精确的解析解，就需要运用数值方法来为其定价。2.波动率的选择布莱克-舒尔斯偏微分方程中对常数波动率的假设是不成立的，常用的方法就是使用从常规期权市场中计算出来的隐含波动率矩阵，从中获得波动率的有关信息。3.标的资产价格的观察频率另一个重要问题是：在检验资产价格是否达到障碍时，观测的频率为多少。22 四、数值定价方法 在理论上，障碍期权可以用二叉树或是三叉树模型来定价，只要在原先模型的倒推过程中，在结点上增加考虑障碍的影响就可以了。存在的问题：由于树图结点设置的障碍不同于真实的障碍水平，树图模型收敛缓慢。从图9.1和图9.2可以看到，在真实障碍附近，二叉树和三叉树图都形成了相应的内部障碍（Inner barrier，即紧邻于真实障碍内部的那些结点形成的障碍水平）和外部障碍（Outer barrier，即紧邻于真实障碍外部的那些结点形成的障碍水平），它们与真实障碍之差就形成了误差。23 图9.1 三叉树图中的障碍水平24 图9.2 二叉树图中的障碍水平 25262024/5/8 周三27