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第第7章章 真空中的静电场真空中的静电场 本章内容：本章内容：7.1 电荷电荷 库仑定律库仑定律7.2 电场电场 电场强度电场强度E7.3 电通量电通量 高斯定理高斯定理7.4 静电场的环路定理静电场的环路定理 电势能电势能7.5 电势电势 电势差电势差7.6 等势面等势面 *电势与电场强度的微分关系电势与电场强度的微分关系7.7 静电场中的导体静电场中的导体 电容电容7.8 静电能静电能7.1 电荷电荷 库仑定律库仑定律7.1.1.电荷电荷1.正负性正负性 2.量子性量子性3.守恒性守恒性在一个在一个孤立系统孤立系统中总电荷量不变中总电荷量不变 4.点电荷点电荷 带电体的大小、形状可以忽略带电体的大小、形状可以忽略 把带电体视为一个带电的几何点把带电体视为一个带电的几何点(一种理想模型一种理想模型)7.1.2.库仑定律库仑定律在真空中两个静止点电荷之间的静电作用力与这两个在真空中两个静止点电荷之间的静电作用力与这两个点电荷所带电量的乘积成正比，与它们之间距离的平点电荷所带电量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比，作用力的方向沿着两个点电荷的连线。方成反比，作用力的方向沿着两个点电荷的连线。电荷电荷q1 对对q2 的作用力的作用力F21电荷电荷q2对对q1的作用力的作用力F12 真空中的介电常数真空中的介电常数 (1)库仑定律适用于真空中的点电荷；库仑定律适用于真空中的点电荷；(2)库仑力满足牛顿第三定律；库仑力满足牛顿第三定律；(3)电荷之间距离小于电荷之间距离小于 时时,库仑定律仍保持有库仑定律仍保持有效效.至于至于 大距离方面大距离方面,虽然未作过实验验证虽然未作过实验验证,但也并没有特殊的理由但也并没有特殊的理由 预料在大距离情况下库仑定律将失效预料在大距离情况下库仑定律将失效.r讨论讨论氢原子中电子和质子的距离为氢原子中电子和质子的距离为 解解例例此两粒子间的电力和万有引力。此两粒子间的电力和万有引力。求求两粒子间的静电力大小为两粒子间的静电力大小为两粒子间的万有引力为两粒子间的万有引力为7.2 电场电场 电场强度电场强度E7.2.1.电场电场 场场的概念的概念 超距超距作用作用 电场的特点电场的特点:(1)对位于其中的带电体有力的作用对位于其中的带电体有力的作用(2)带电体在电场中运动带电体在电场中运动,电场力要作功电场力要作功7.2.2.电场强度电场强度E检验电荷检验电荷带电量足够小带电量足够小质点质点=在电场中：在电场中：电荷电荷电荷电荷电荷电荷电荷电荷电场电场 电场中某点的电场强度的大小等于单电场中某点的电场强度的大小等于单位电荷在该点受力的大小，其方向为位电荷在该点受力的大小，其方向为正电荷在该点受力的方向。正电荷在该点受力的方向。7.2.3.电场强度叠加原理电场强度叠加原理点电荷产生的场点电荷产生的场定义：定义：点电荷系：点电荷系：点电荷系在某点点电荷系在某点P产生的电场强度等于各点电荷单独在该产生的电场强度等于各点电荷单独在该点产生的电场强度的矢量和。这称为点产生的电场强度的矢量和。这称为电场强度叠加原理。电场强度叠加原理。连续分布带电体连续分布带电体:电荷电荷线密度线密度 :电荷电荷面密度面密度 :电荷电荷体密度体密度PPr求电偶极子在中垂线上一点产生的电场强度。求电偶极子在中垂线上一点产生的电场强度。例例解解aPxyO它在空间一点它在空间一点 P P 产生的电场强度。产生的电场强度。（P点到杆的垂直距离为点到杆的垂直距离为 a）解解dqr 由图上的几何关系由图上的几何关系 2 1例例 长为长为L的均匀带电直杆，电荷线密度为的均匀带电直杆，电荷线密度为 求求无限长直导线无限长直导线r讨论讨论圆环轴线上任一点圆环轴线上任一点P 的电场强度的电场强度RP解解dqOxr 例例半径为半径为R 的均匀带电细圆环，带电量为的均匀带电细圆环，带电量为q 求求由于圆环上电荷分布关于由于圆环上电荷分布关于x 轴对称轴对称(1)当当 x=0（即（即P点在圆环中心处）时，点在圆环中心处）时，(2)当当 xR 时时 可以把带电圆环视为一个点电荷可以把带电圆环视为一个点电荷 r讨论讨论求面密度为求面密度为 的的圆板轴线上任一点的电场强度圆板轴线上任一点的电场强度 解解PrxO例例R杆对圆环的作用力杆对圆环的作用力qL解解OxR例例 已知圆环带电量为已知圆环带电量为q，杆的线密度为，杆的线密度为 ，长为，长为L 求求例例解解相对于相对于O点的力矩：点的力矩：(1)力偶矩最大力偶矩最大 力偶矩为零力偶矩为零 (电偶极子处于稳定平衡）电偶极子处于稳定平衡）(2)(3)力偶矩为零力偶矩为零 （电偶极子处于非稳定平衡）（电偶极子处于非稳定平衡）求电偶极子在均匀电场中受到的力偶矩。求电偶极子在均匀电场中受到的力偶矩。r讨论讨论7.3.1.电电场场线（电线（电力力线）线）反映电场强度的分布反映电场强度的分布 任何两条电任何两条电场场线不会在没有电荷的地方相交线不会在没有电荷的地方相交起始于正电荷（或无穷远处），终起始于正电荷（或无穷远处），终止于负电荷（或无穷远处）止于负电荷（或无穷远处）7.3 电通量电通量 高斯定理高斯定理 电场线的特点电场线的特点:场强方向沿电场线场强方向沿电场线切线方向，切线方向，场强大小取决于电场线的场强大小取决于电场线的疏密疏密 静电场的电场线不会形成闭合曲线静电场的电场线不会形成闭合曲线dN7.3.2.电通量电通量 穿过任意曲面的电穿过任意曲面的电场场线线条数称为电通量。条数称为电通量。1.均匀场中均匀场中dS 面元的面元的电电通量通量矢量面元矢量面元2.非均匀场中曲面的非均匀场中曲面的电电通量通量 (2)电通量是代数量电通量是代数量穿出为正穿出为正 穿入为负穿入为负 3.闭合曲面电闭合曲面电通量通量方向的规定：方向的规定：(1)穿出、穿入闭合面电力线条数之差穿出、穿入闭合面电力线条数之差(3)通过闭合曲面的电通量通过闭合曲面的电通量r说明说明 7.3.3.高斯定理高斯定理 q 在在任意闭合面内，任意闭合面内，e 与曲面的形状和与曲面的形状和 q 的位置无关的，只的位置无关的，只与与闭合闭合曲面曲面包围的电荷电量包围的电荷电量 q 有有关。关。1.点电荷点电荷 qq穿过球面的电力线条数为穿过球面的电力线条数为 q/0穿过闭合面的电力线穿过闭合面的电力线条数仍为条数仍为 q/0 q 在球心处，在球心处，r球面电通量为球面电通量为电通量为电通量为+q q 在闭合面外在闭合面外2.多个电荷多个电荷q1q2q3q4q5穿出、穿入的电力线条数相等穿出、穿入的电力线条数相等任意闭合面电通量为任意闭合面电通量为 反映静电场的性质反映静电场的性质真空中的任何静电场中，穿过任一闭合曲面的电通量，等真空中的任何静电场中，穿过任一闭合曲面的电通量，等于该曲面所包围的电荷电量的代数和乘以于该曲面所包围的电荷电量的代数和乘以 (不连续分布的源电荷不连续分布的源电荷)(连续分布的源电荷连续分布的源电荷)有源场有源场,电荷就是它的源。电荷就是它的源。r意义意义 是所有电荷产生的是所有电荷产生的;e 只与内部电荷有关只与内部电荷有关。3.高斯定理高斯定理与电荷量，电荷的分布有关与电荷量，电荷的分布有关与闭合面内的电量有关与闭合面内的电量有关,与电荷的分布无关与电荷的分布无关(2)(3)净电荷净电荷就是电荷的代数和就是电荷的代数和(4)利用高斯定理求解特殊电荷分布电场的思路利用高斯定理求解特殊电荷分布电场的思路(1)静电场的高斯定理适用于一切静电场；静电场的高斯定理适用于一切静电场；r说明说明v分析电荷对称性；分析电荷对称性；v根据对称性取高斯面；根据对称性取高斯面；v根据高斯定理求电场强度。根据高斯定理求电场强度。均匀带电球面，总电量为均匀带电球面，总电量为Q，半径为半径为R电场强度分布电场强度分布QR解解取过场点取过场点P的同心球面为高斯面的同心球面为高斯面P对球面外一点对球面外一点P:r根据高斯定理根据高斯定理+例例求求rEO对球面内一点对球面内一点:电场分布曲线电场分布曲线例例 已知球体半径为已知球体半径为R，带电量为，带电量为q（电荷体密度为（电荷体密度为）R+解解 球外球外r均匀带电球体的电场强度分布均匀带电球体的电场强度分布求求球内球内R+r电场分布曲线电场分布曲线REOr解解 电场强度分布具有面对称性电场强度分布具有面对称性 选取一个圆柱形高斯面选取一个圆柱形高斯面 已知已知“无限大无限大”均匀带电平面上电荷面密度为均匀带电平面上电荷面密度为 电场强度分布电场强度分布求求例例根据高斯定理有根据高斯定理有 已知已知“无限长无限长”均匀带电直线的电荷线密度为均匀带电直线的电荷线密度为+解解 电场分布具有轴对称性电场分布具有轴对称性 过过P点作高斯面点作高斯面 例例距直线距直线r 处一点处一点P 的电场强度的电场强度求求根据高斯定理得根据高斯定理得 P7 7.4 静电场的环路定理静电场的环路定理 电势能电势能v单个点电荷产生的电场单个点电荷产生的电场baL 与路径无关与路径无关Oq0q07.4.1.静电力的功静电力的功 静电场的环路定理静电场的环路定理 1.静电力的功静电力的功 q0电场力做功只与始末位置有关，与路径无关电场力做功只与始末位置有关，与路径无关，所以所以静电力静电力是是保守力保守力，静电场是静电场是保守场保守场。v任意带电体系产生的电场任意带电体系产生的电场在电荷系在电荷系q1、q2、的电场中，移动的电场中，移动q0，静电力所作功为，静电力所作功为:abLq0q0r结论结论在静电场中，沿闭合路径移动在静电场中，沿闭合路径移动q0，电场力作功，电场力作功L1L22.静电场的环路定理静电场的环路定理abq0(1)环路定理要求电力线不能闭合。环路定理要求电力线不能闭合。(2)静电场是静电场是有源有源、无旋场无旋场，可引进，可引进电势能电势能。r讨论讨论7.4.2.电势能电势能v电势能的差电势能的差自自 a 点移至点移至 b 点过程点过程中电场力所做的功。中电场力所做的功。定义：定义：q0q0q0 在电场中在电场中a、b 两点两点电势能之差，电势能之差，v电势能电势能取电势能零点取电势能零点 W“b”=0 等于把等于把 q0q0 在电场中某点在电场中某点 a 的电势能：的电势能：(1)电势能应属于电势能应属于 q0 和产生电场的和产生电场的源电荷源电荷系统所共有。系统所共有。(3)选电势能零点原则：选电势能零点原则：(2)电荷在某点电势能的值与电势能零点电荷在某点电势能的值与电势能零点有关有关,而两点的差值而两点的差值与电势能零点与电势能零点无关无关 实际应用中取大地、仪器外壳等为势能零点。实际应用中取大地、仪器外壳等为势能零点。当当(源源)电荷分布在电荷分布在有限范围内有限范围内时，一般选时，一般选无穷远无穷远处。处。无限大带电体，无限大带电体，势能零点一般势能零点一般选在有限远处一点。选在有限远处一点。r说明说明如图所示如图所示,在带电量为在带电量为 Q 的点电荷所产生的点电荷所产生的静电场中，有一带电量为的静电场中，有一带电量为q 的点电荷的点电荷解解选无穷远为电势能零点选无穷远为电势能零点bacQq 在在a 点和点和 b 点的电势能点的电势能求求例例选选 C 点为电势能零点点为电势能零点两点间的电势能差为：两点间的电势能差为：7 7.5 电势电势 电势差电势差 电势定义电势定义 电势差电势差移动移动单位正电荷单位正电荷自该点自该点“势能零点势能零点”过程中电场力作的功过程中电场力作的功。移动移动单位正电荷单位正电荷自自 ab过程中电场力作的功。过程中电场力作的功。7.5.1.电势电势 电势差电势差arq 点电荷的电势点电荷的电势 点电荷系的电势点电荷系的电势P7.5.2.电势叠加原理电势叠加原理 对对n 个点电荷个点电荷:在点电荷系产生的电场中，某点的电势是各个点电荷在点电荷系产生的电场中，某点的电势是各个点电荷单独单独存存在时，在该点产生的电势的代数和。这称为在时，在该点产生的电势的代数和。这称为电势叠加原理电势叠加原理。对连续分布的带电体：对连续分布的带电体：r结论结论均匀带电圆环半径为均匀带电圆环半径为R，电荷线密度为，电荷线密度为。解解 建立如图坐标系，选取电荷元建立如图坐标系，选取电荷元 dq例例圆环轴线上一点的电势圆环轴线上一点的电势求求RPOxdqr半径为半径为R，带电量为，带电量为q 的均匀带电球体的均匀带电球体解解 根据高斯定律可得：根据高斯定律可得：求求 带电球体的电势分布带电球体的电势分布例例+RrP对球外一点对球外一点P：对球内一点对球内一点P1：+RP1求电荷线密度为求电荷线密度为 的无限长带电直线空间中的电势分布的无限长带电直线空间中的电势分布解解 取无穷远为势能零点取无穷远为势能零点例例取取a点为电势零点点为电势零点,a点距离直线为点距离直线为xa(场中任意一点场中任意一点P的电势表达式最简捷的电势表达式最简捷)XO P离带电直线的距离离带电直线的距离xp axa取取7.6 等势面等势面 *电势与电场强度的微分关系电势与电场强度的微分关系7.6.1.等势面等势面电场中电势相等的点连成的面称为等势面。电场中电势相等的点连成的面称为等势面。等势面的性质等势面的性质:(1)(2)电力线指向电势降的方向电力线指向电势降的方向(3)等势面的疏密反映了电场强度的大小等势面的疏密反映了电场强度的大小等势面等势面7.6.2.电势与电场强度的关系电势与电场强度的关系取两个相邻的等势面，把点电荷从取两个相邻的等势面，把点电荷从P移到移到Q，电场力做功为：，电场力做功为：电场强度的大小等于沿过该点等电场强度的大小等于沿过该点等势面法线方向上电势的变化率势面法线方向上电势的变化率某点的电场强度等于该点电势梯度的负值，这就是电势与某点的电场强度等于该点电势梯度的负值，这就是电势与电场强度的微分关系。电场强度的微分关系。在直角坐标系中：在直角坐标系中：QoRr x 求半径为求半径为R,带电量为带电量为Q(电荷无规则分布电荷无规则分布)的细圆环轴线上任的细圆环轴线上任意一点的意一点的电势电势和和电场强度电场强度按轴线的按轴线的分量分量x例例解解P7.7 静电场中的导体静电场中的导体 电容电容 7.7.1.导体的静电平衡导体的静电平衡 1.静电平衡静电平衡导体内部和表面上任何一部分都导体内部和表面上任何一部分都没有宏观电荷运动，我们就说导没有宏观电荷运动，我们就说导体处于体处于静电平衡状态静电平衡状态。2.导体静电平衡的条件导体静电平衡的条件 导体表面导体表面(1)从电场角度从电场角度(2)从电势角度从电势角度导体是等势体导体是等势体表面是等势面表面是等势面导体的静电平衡导体的静电平衡(1)静电平衡导体的内部处处不带电静电平衡导体的内部处处不带电证明：证明：在导体内任取体积元在导体内任取体积元由高斯定理由高斯定理体积元任取体积元任取导体静电平衡时，电荷只能分布在导体表面！导体静电平衡时，电荷只能分布在导体表面！3.静电平衡导体上电荷的分布静电平衡导体上电荷的分布导体中各处导体中各处 如果有空腔如果有空腔,且空腔中无电荷且空腔中无电荷,则则 如果有空腔如果有空腔,且空腔中有电荷且空腔中有电荷,则则电荷只能分布在外表面！电荷只能分布在外表面！在内外表面都分布有电荷！在内外表面都分布有电荷！+q-导体上的电荷重新分布导体上的电荷重新分布-+(2)静电平衡导体表面附近的电场强度与导体表面电荷的关系静电平衡导体表面附近的电场强度与导体表面电荷的关系设导体表面电荷面密度为设导体表面电荷面密度为设设 P 是导体外是导体外紧靠导体表面紧靠导体表面的一点的一点,相应相应的电场强度为的电场强度为确定电场强度确定电场强度E 和电荷密度和电荷密度 的关系的关系:+ds+为导体表面附近的场强，是所有电荷产生的合场强为导体表面附近的场强，是所有电荷产生的合场强.(为导体外法线方向为导体外法线方向)孤立孤立导体导体+尖尖端端放放电电导导体体球球孤孤立立带带电电(4)静电屏蔽静电屏蔽(腔内、腔外的场互不影响腔内、腔外的场互不影响)由实验可得以下由实验可得以下定性定性的结论：的结论：在表面凸出的尖锐部分在表面凸出的尖锐部分(曲率是正值且较大曲率是正值且较大)电荷面密度较大，电荷面密度较大，在比较平坦部分在比较平坦部分(曲率较小曲率较小)电荷面密度较小，在表面凹进部电荷面密度较小，在表面凹进部分带电面密度最小。分带电面密度最小。ABC(3)处于静电平衡的孤立带电导体电荷分布处于静电平衡的孤立带电导体电荷分布 已知导体球壳已知导体球壳A带电量为带电量为Q，导体球，导体球B带电量为带电量为q (1)将将A接地后再断开，电荷和电势的分布；接地后再断开，电荷和电势的分布；解解A与地断开后与地断开后,ArR1R2B-q电荷守恒电荷守恒(2)再将再将B接地，电荷和电势的分布。接地，电荷和电势的分布。A接地时，内表面电荷为接地时，内表面电荷为-q外表面电荷设为外表面电荷设为例例求求(1)B球球心处的电势球球心处的电势ArR1R2B-q设设B上的电量为上的电量为根据孤立导体电荷守恒根据孤立导体电荷守恒(2)电容只与导体的几何因素和介电容只与导体的几何因素和介质有关，与导体是否带电无关质有关，与导体是否带电无关7.7.2.孤立导体的电容孤立导体的电容单位单位:法拉法拉(F)孤立导体的电势孤立导体的电势孤立导体的电容孤立导体的电容 +QuE 求求半径为半径为R 的孤立导体球的电容的孤立导体球的电容.电势为电势为电容为电容为R通常，由彼此绝缘相距很通常，由彼此绝缘相距很近的两导体构成电容器。近的两导体构成电容器。极板极板极板极板+Q-Q u使两导体极板带电使两导体极板带电两导体极板的电势差两导体极板的电势差7.7.3.电容器的电容电容器的电容电容器的电容电容器的电容电容器电容的大小取决于极板的形状、大小、相对位置以及电容器电容的大小取决于极板的形状、大小、相对位置以及极板间介质。极板间介质。d uS+Q-Q(1)平行板电容器平行板电容器r电容器电容的计算电容器电容的计算(2)球形电容器球形电容器R1+Q-QR2ab(3)柱形电容器柱形电容器R1R2l7.8 静电能静电能 以平行板电容器为例，来计算电场能量。以平行板电容器为例，来计算电场能量。设在时间设在时间 t 内，从内，从 B 板向板向 A 板迁移了电荷板迁移了电荷 在将在将 dq 从从 B 板迁移到板迁移到 A 板需作功板需作功 极板上电量从极板上电量从 0 Q 作的总功为作的总功为AB+忽略边缘效应，对平行板电容器有忽略边缘效应，对平行板电容器有能量密度能量密度不均匀电场中不均匀电场中（适用于所有电场）（适用于所有电场）已知均匀带电的球体，半径为已知均匀带电的球体，半径为R，带电量为，带电量为QRQ从球心到无穷远处的电场能量从球心到无穷远处的电场能量解解r求求例例取体积元取体积元