17.4--一元二次方程的根与系数的关系.ppt

第第1717章章 一元二次方程一元二次方程17.4 17.4 一元二次方程的根一元二次方程的根与系数的关系与系数的关系1课堂讲解课堂讲解一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程的根与系数的关系的一元二次方程的根与系数的关系的应应用用2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升学生自主学生自主预习预习教材，完成下列各教材，完成下列各题题.1一元二次方程一元二次方程ax2bxc0(a0),在在b24ac0的条件下，它的根的条件下，它的根为为 ，这这个式子叫作一元二次方程的求根公式个式子叫作一元二次方程的求根公式.2对对于一元二次方程于一元二次方程ax2bxc0(a0),当当 时时，方程有两个，方程有两个 的的实实数根；数根；当当 时时，方程有两个，方程有两个 的的实实数根；数根；当当 时时，方程，方程 实实数根数根.1知识点知识点一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的根与系数的关系 探究探究 在前面在前面17.2节节中，我中，我们们学学过过，一元二次方程的每，一元二次方程的每一个根都可由它的各一个根都可由它的各项项系数通系数通过过运算得到运算得到.进进一步，你是否注意到每个方程中的两根之和一步，你是否注意到每个方程中的两根之和(x1x2)、两根之、两根之积积（x1x2）与）与该该方程的各方程的各项项系数之系数之间间有怎有怎样样的关系？填写下表，然后的关系？填写下表，然后观观察根与系数的关系：察根与系数的关系：知知1 1导导根据你的根据你的观观察，猜想：察，猜想：方程方程ax2bxc0(a0)的根如果是的根如果是x1，x2，那么，那么x1x2_,x1x2_.你能你能证证明上面的猜想明上面的猜想吗吗？方程方程x1x2x1x2x1x2x22x1503x24x102x25x10知知1 1导导一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系：如果如果ax2bxc0(a0)的两个根的两个根为为x1，x2，那么那么x1x2 ，x1x2 .这这个个关系通常称关系通常称为为韦韦达定理达定理要点精要点精析：析：(1)一元二次方程的根与系数的关系的前提条件是一元二次方程的根与系数的关系的前提条件是二二次次项项系数系数不不为为0和方程有和方程有实实数根数根(2)根与系数的关系刻画了一元二次方程的两根和根与系数的关系刻画了一元二次方程的两根和、两根两根积积与系数与系数a，b，c之之间间的关系的关系知知1 1讲讲设设方程的另一个根是方程的另一个根是x2，则则解方程解方程组组，得，得答：答：方程的另一个根方程的另一个根为为 k的的值为值为7.例例1 已知关于已知关于x的方程的方程2x2kx40的一个根是的一个根是4,求它的另一个根及求它的另一个根及k的的值值.知知1 1讲讲解：解：知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）总总 结结 已知方程的一根求另一根，可以直接代入先求方已知方程的一根求另一根，可以直接代入先求方程中待定字母的程中待定字母的值值，然后再解方程求另一根也可以，然后再解方程求另一根也可以直接利用根与系数的关系求另一根及待定字母的直接利用根与系数的关系求另一根及待定字母的值值由由x12x22x122x1x2x222x1x2(x1x2)22x1x24，根据，根据根与系数的关系即可得到根与系数的关系即可得到一个一个关于关于k的方程的方程，从而从而求得求得k的的值值x12x22x122x1x2x222x1x2(x1x2)22x1x24，x1x22k，x1x2k22k1，4k22(k22k1)4，解得解得k1或或k3不合不合题题意，舍去意，舍去)例例2 德州德州方程方程x22kxk22k10的两个的两个实实数根数根 x1，x2满满足足x12x22 4则则k的的值为值为_知知1 1讲讲导导引：引：1知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）总总 结结 已知方程两根的关系求待定字母系数的已知方程两根的关系求待定字母系数的值时值时，先根据根与系数的关系用待定的字母表示两根之和与先根据根与系数的关系用待定的字母表示两根之和与两根之两根之积积，然后将已知两根的关系，然后将已知两根的关系进进行行变变形，再将两形，再将两根的和与根的和与积积整体代入，列出以待定字母整体代入，列出以待定字母为为未知数的方未知数的方程，程，进进而求出待定字母的而求出待定字母的值值知知1 1练练1下列下列各方程中，两根之和与两根之各方程中，两根之和与两根之积积各是多少？各是多少？(1)x23x10;(2)3x22x20；(3)2x29x50；(4)4x27x10；(5)2x23x0;(6)3x21.（来自（来自教材教材）2判定判定下列各方程后面括号内的两个数是不是它的两个根下列各方程后面括号内的两个数是不是它的两个根.(1)x25x40,(1，4)；(2)x26x70，(1，7);(3)2x23xl0,(1);(4)3x25x20,(2);(5)x28x110,知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）3(中考中考金金华华)一元二次方程一元二次方程x24x30的两根的两根为为x1，x2，则则x1x2的的值值是是()A4B4C3D34(中考中考黄黄冈冈)若方程若方程3x24x40的两个的两个实实数根分数根分别为别为x1，x2，则则x1x2的的值值是是()A4 B3 C D.知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）5已知已知方程方程x22x10，则则此方程此方程()A无无实实数根数根 B两根之和两根之和为为2C两根之两根之积为积为1 D有一根有一根为为16(中考中考广西广西)已知已知实实数数x1，x2满满足足x1x27，x1x212，则则以以x1，x2为为根的一元二次方程是根的一元二次方程是()Ax27x120 Bx27x120Cx27x120 Dx27x1202知识点知识点一元二次方程的根与系数的关系的应用一元二次方程的根与系数的关系的应用 利用利用根与系数的关系可以不解方程而求出与两根与系数的关系可以不解方程而求出与两根根有关系有关系的一些代数式的一些代数式(对对称式称式)的的值值拓展：拓展：常常见见的涉及一元二次方程的两个根的涉及一元二次方程的两个根x1，x2的的代代 数式数式的重要的重要变变形有形有：x12x22(x1x2)22x1x2；知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）(x1x2)2(x1x2)24x1x2；(x1k)(x2k)x1x2k(x1x2)k2；知知2 2讲讲由由韦韦达定理，得达定理，得例例3 方程方程 2x23x10的两个根的两个根记记作作x1，x2不解方不解方程，求程，求x1 x2的的值值.知知2 2讲讲解：解：知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）总总 结结 求与根有关的代数式的求与根有关的代数式的值值时时，看代数式是否具有，看代数式是否具有对对称性，若具有称性，若具有对对称性，称性，则则直接直接变变形，将两根之和或形，将两根之和或积积代入求代入求值值；若不具有；若不具有对对称性，称性，则则将其中的某一个根将其中的某一个根单单独代入方程中，得到与待求独代入方程中，得到与待求值值的代数式相关的的代数式相关的结结构，构，进进行整体代入求行整体代入求值值例例4 已知已知x1，x2是关于是关于x的一元二次方程的一元二次方程kx24x30的两个不相等的的两个不相等的实实数根数根(1)求求k的取的取值值范范围围(2)是否存在是否存在这样这样的的实实数数k，使，使2x12x2 2 成成 立？若存在，求出立？若存在，求出k的的值值；若不存在，；若不存在，说说明理由明理由知知2 2讲讲导导引：引：(1)根据方程有两个不相等的根据方程有两个不相等的实实数根得数根得0，可求，可求出出k的的取取值值范范围围，同，同时时注意注意k0；(2)先假先假设设存在，根据根与系数的关系列出以存在，根据根与系数的关系列出以k为为未知数未知数的的方程，求出方程，求出k的的值值，然后，然后结结合合(1)中中k的取的取值值范范围围检检验验解：解：(1)由由题题意得意得424k(3)0，k又又k0，k 且且k0.(2)存在存在x1x2 x1x22x12x2 k2，解解得得k14，k22(不符合不符合题题意，舍去意，舍去)k4.知知2 2讲讲知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）总总 结结 根的判根的判别别式与根与系数的关系式与根与系数的关系经经常常结结合在一起合在一起考考查查，因，因为为运用根与系数的关系的前提条件是根的运用根与系数的关系的前提条件是根的判判别别式大于或等于零式大于或等于零1已已知知关关于于x的的方方程程3x219xm0的的一一个个根根是是1，求它的另一个根及求它的另一个根及m的的值值.知知2 2练练2设设x1，x2是是方方程程2x24x30的的两两个个根根，利利用用根根与系数的关系，求下列各式的与系数的关系，求下列各式的值值.(1)(x11)(x21)；(2)（来自（来自教材教材）3(中考中考枣枣庄庄)已知关于已知关于x的一元二次方程的一元二次方程x2mxn0的两的两实实数根分数根分别为别为x12，x24，则则mn的的值值是是()A10 B10 C6 D2知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）4(中考中考雅安雅安)已知关于已知关于x的一元二次方程的一元二次方程x2mx80的一个的一个实实数根数根为为2，则则另一个另一个实实数根及数根及m的的值值分分别别为为()A4，2 B4，2 C4，2 D4，25若若关于关于x的一元二次方程的一元二次方程x2kx4k230的两个的两个实实数根分数根分别别是是x1，x2，且，且满满足足x1x2x1x2，则则k的的值值为为()A1或或 B1C.D不不存在存在知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）6(中考中考烟台烟台)等腰三角形三等腰三角形三边长边长分分别为别为a，b，2，且，且a，b是关于是关于x的一元二次方程的一元二次方程x26xn10的两的两根，根，则则n的的值为值为()A9 B10 C9或或10 D8或或10一元二次方程根与系数的关系的几种常用一元二次方程根与系数的关系的几种常用变变形：形：(1)x12x22(x1x2)22x1x2；(2)(x1x2)2(x1x2)24x1x2；(3)(x11)(x21)x1x2(x1x2)1；1.必做必做:完成教材完成教材习题习题17.4T1-52.补补充充:请请完成完成典中点典中点剩余部分剩余部分习题习题