信号与系统(周期信号傅里叶级数)PPT.pptx

信号与系统(周期信号傅里叶级数)2本章内容本章内容:、周期信号得频域分析周期信号得频域分析、LTI系统得频域分析系统得频域分析、傅立叶级数得性质傅立叶级数得性质(不讲解不讲解)33、0 引言引言 Introduction 时域分析方法得基础时域分析方法得基础:1)1)信号在时域得分解。信号在时域得分解。2)LTI系统满足线性、时不变性。系统满足线性、时不变性。从分解信号得角度出发从分解信号得角度出发,基本信号单元必须满足基本信号单元必须满足两个要求两个要求:1 1、本身简单本身简单,且且LTI系统对它得响应能简便得到。系统对它得响应能简便得到。2 2、具有普遍性具有普遍性,能够用以构成相当广泛得信号。能够用以构成相当广泛得信号。43、1历史得回顾历史得回顾 (A Historical Perspective)任何科学理论任何科学理论,科学方法得建立都是经过许科学方法得建立都是经过许多人不懈得努力而来得多人不懈得努力而来得,其中有争论其中有争论,还有人为还有人为之献出了生命。之献出了生命。历史得经验告诉我们历史得经验告诉我们,要想在要想在科学得领域有所建树科学得领域有所建树,必须倾心尽力为之奋斗。必须倾心尽力为之奋斗。今天我们将要学习得傅立叶分析法今天我们将要学习得傅立叶分析法,也经历了曲也经历了曲折漫长得发展过程折漫长得发展过程,刚刚发布这一理论时刚刚发布这一理论时,有人反有人反对对,也有人认为不可思议。但在今天也有人认为不可思议。但在今天,这一分析方这一分析方法在许多领域已发挥了巨大得作用。法在许多领域已发挥了巨大得作用。517681768年生于法国年生于法国18071807年提出年提出“任何周任何周期信号都可以用正弦期信号都可以用正弦函数得级数来表示函数得级数来表示”拉格朗日反对发表拉格朗日反对发表18221822年首次发表年首次发表“热热得分析理论得分析理论”18291829年狄里赫利第一年狄里赫利第一个给出收敛条件个给出收敛条件傅里叶生平傅里叶生平176818306傅里叶得两个最重要得贡献傅里叶得两个最重要得贡献“周期信号都可以表示为成谐波关系得正弦信周期信号都可以表示为成谐波关系得正弦信号得加权和号得加权和”傅里叶得第一个主要论点傅里叶得第一个主要论点“非周期信号都可以用正弦信号得加权积分来非周期信号都可以用正弦信号得加权积分来表示表示”傅里叶得第二个主要论点傅里叶得第二个主要论点7复指数函数复指数函数 、是一切是一切LTI系统得特征函数。系统得特征函数。、分别是分别是LTI系统与复指数信号相对应得特系统与复指数信号相对应得特征值。征值。Page128 结论结论:v只有复指数函数才能成为一切只有复指数函数才能成为一切LTI系统得特征函数。系统得特征函数。对时域得任何一个信号对时域得任何一个信号 或者或者 ,若能将其若能将其表示为下列形式表示为下列形式:8利用系统得齐次性与叠加性利用系统得齐次性与叠加性所以有所以有即即:同理同理同理同理:*问题问题:究竟有多大范围得信号可以用复指数信号得究竟有多大范围得信号可以用复指数信号得线性组合来表示？线性组合来表示？由于由于Page130:例例3、19Fourier Series Representation of Continuous-Time Periodic Signals一一、连续时间傅里叶级数连续时间傅里叶级数 成谐波关系得复指数信号集成谐波关系得复指数信号集:其中每个信号都是以其中每个信号都是以 为周期得为周期得,它们得公共它们得公共周期为周期为 ,且该集合中所有得信号都是彼此独且该集合中所有得信号都是彼此独立得。立得。3、3 连续时间周期信号得傅里叶级数表示连续时间周期信号得傅里叶级数表示如果将该信号集中所有得信号线性组合起来如果将该信号集中所有得信号线性组合起来,有有 10 显然显然 也是以也是以 为周期得。该级数就是傅里为周期得。该级数就是傅里叶级数叶级数(指数型得指数型得),),为傅立叶级数得系数。为傅立叶级数得系数。这表明用傅里叶级数可以表示连续时间周期信号这表明用傅里叶级数可以表示连续时间周期信号,即即:连续时间周期信号可以分解成无数多个复指数连续时间周期信号可以分解成无数多个复指数谐波分量谐波分量。例例例例1 1 1 1:11例例例例2 2 2 2:在该信号中在该信号中,有四个谐波分量有四个谐波分量,即即 显然该信号中显然该信号中,有两个谐波分量有两个谐波分量,为相应分为相应分量得加权因子量得加权因子。时对应得谐波分量。时对应得谐波分量。*例例3 Page 131 3、2傅里叶级数表明傅里叶级数表明:连续时间周期信号可以按傅立叶级连续时间周期信号可以按傅立叶级数被分解成无数多个复指数谐波分量得线性组合。数被分解成无数多个复指数谐波分量得线性组合。12大家应该也有点累了，稍作休息大家有疑问的，可以询问和交流大家有疑问的，可以询问和交流大家有疑问的，可以询问和交流大家有疑问的，可以询问和交流13二二、频谱频谱(Spectral)得概念得概念 信号集信号集 中得每一个信号中得每一个信号,除了成谐波关系除了成谐波关系外外,每个信号随时间每个信号随时间 得变化规律都是一样得得变化规律都是一样得,差差别仅仅是频率不同。别仅仅是频率不同。在傅里叶级数中在傅里叶级数中,各个信号分量各个信号分量(谐波分量谐波分量)间间得区别也仅仅是幅度得区别也仅仅是幅度(可以是复数可以是复数)和频率不同。和频率不同。因此因此,可以用一根线段来表示某个分量得幅度可以用一根线段来表示某个分量得幅度,用用线段得位置表示相应得频率。线段得位置表示相应得频率。14分量分量 可表示可表示为为 因此因此,当把周期信号当把周期信号 表示为傅里叶级数表示为傅里叶级数 时时,就可以将就可以将 表示为表示为这样绘出得图这样绘出得图称为频谱图称为频谱图15 频谱图其实就是将频谱图其实就是将 随频率得分布表示出来随频率得分布表示出来,即即 关系。由于信号得频谱完全代表了信号关系。由于信号得频谱完全代表了信号,研究它得频谱就等于研究信号本身。因此研究它得频谱就等于研究信号本身。因此,这种表这种表示信号得方法称为频域表示法。示信号得方法称为频域表示法。三、傅里叶级数得其它形式傅里叶级数得其它形式 或或 若若 是实信号是实信号,则有则有，于是，于是16若令若令则则 为实数为实数即即：表明表明 得模关于得模关于 偶对称偶对称,幅角关于幅角关于 奇对称。奇对称。17 傅里叶级数得三角函数表示式傅里叶级数得三角函数表示式 若令若令则则18因此因此即即 的实部关于的实部关于 偶对称，虚部关于偶对称，虚部关于 奇对称。奇对称。傅里叶级数得另一种三角函数形式傅里叶级数得另一种三角函数形式将此关系代入将此关系代入,可得到可得到19四四、连续时间傅里叶级数得系数确定连续时间傅里叶级数得系数确定如果周期信号如果周期信号 可以表示为傅里叶级数可以表示为傅里叶级数则有则有对两边同时在一个周期内积分对两边同时在一个周期内积分,有有综合公式综合公式20即即 在确定此积分时在确定此积分时,只要积分区间是一个周期即可只要积分区间是一个周期即可,对对积分区间得起止并无特别要求积分区间得起止并无特别要求,因此可表示为因此可表示为是信号在一个周期得平均值是信号在一个周期得平均值,通常称直流分量。通常称直流分量。分析公式分析公式*Page134:Page134:21五五、周期性矩形脉冲信号得频谱周期性矩形脉冲信号得频谱其中其中*Page135*Page135:例例3 3、3 3、3 3、4 422根据根据 可绘出可绘出 得频谱图。得频谱图。称为占空比称为占空比,即即得值得值,它代表一个周期内信号它代表一个周期内信号 为为1 1时所占得比例。时所占得比例。23不变不变 时时24不变不变 时时25周期性矩形脉冲信号得频谱特征周期性矩形脉冲信号得频谱特征:1 1、离散性离散性 2 2、谐波性谐波性 3 3、收敛收敛性性 考查周期考查周期 和脉冲宽度和脉冲宽度 改变时频谱得变化改变时频谱得变化:1.1.当当 不变不变,改变改变 时时,随随 使占空比减小使占空比减小,谱线谱线间隔变小间隔变小,幅度下降。但频谱包络得形状不变幅度下降。但频谱包络得形状不变,包包络主瓣内包含得谐波分量数增加。络主瓣内包含得谐波分量数增加。2 2、当当 改变改变,不变时不变时,随随 使占空比减小使占空比减小,谱线谱线间隔不变间隔不变,幅度下降。频谱得包络改变幅度下降。频谱得包络改变,包络主瓣包络主瓣变宽。主瓣内包含得谐波数量也增加。变宽。主瓣内包含得谐波数量也增加。26表明表明:奇信号得奇信号得 是关于是关于 得奇函数、虚函数得奇函数、虚函数。当当 时时,有有表明表明:偶信号得偶信号得 是关于是关于 得偶函数、实函数。得偶函数、实函数。当当 时时,有有信号对称性与频谱得关系信号对称性与频谱得关系:27若若 以以 为周期为周期3、4 连续时间傅里叶级数得收敛连续时间傅里叶级数得收敛 这一节来研究用傅氏级数表示周期信号得普遍性这一节来研究用傅氏级数表示周期信号得普遍性问题问题,即满足什么条件得周期信号可以表示为傅里即满足什么条件得周期信号可以表示为傅里叶级数。叶级数。一一、傅里叶级数是对信号得最佳近似傅里叶级数是对信号得最佳近似用有限个谐波分量近似用有限个谐波分量近似 时时,有有Convergence of the Fourier series28误差为误差为 以均方误差作为衡量误差得准则以均方误差作为衡量误差得准则,其均方误差为其均方误差为于是于是:29 在均方误差最小得准则下在均方误差最小得准则下,可以证明可以证明,此时此时应满足应满足:其中其中这就是傅氏级数得系数这就是傅氏级数得系数结论结论:在均方误差最小得准则下在均方误差最小得准则下,傅里叶级数傅里叶级数是对周是对周期信号得最佳近似。期信号得最佳近似。30傅里叶级数收敛得两层含义傅里叶级数收敛得两层含义:是否存在是否存在?级数是否收敛于级数是否收敛于?二二、傅里叶级数得收敛傅里叶级数得收敛 两组条件两组条件:1、平方可积条件平方可积条件:如果如果 则则 必存在。必存在。能量有限能量有限 一定存在。一定存在。31 2、Dirichlet条件条件:,在任何周期内信号绝对可积。在任何周期内信号绝对可积。在任何有限区间内在任何有限区间内,只有有限个极值点只有有限个极值点,且极值为且极值为有限值。有限值。在任何有限区间内在任何有限区间内,只有有限个第一类间断点。只有有限个第一类间断点。因此因此,信号绝对可积就保证了信号绝对可积就保证了 得存在。得存在。若x0是函数f(x)得间断点,但左、右极限都存在,则称x0为函数f(x)得第一类间断点(左右极限相等者称可去间断点,不相等者称为跳跃间断点)。非第一类间断点得任何间断点都称为第二类间断点(无穷间断点和震荡间断点)。32这两组条件并不完全等价。它们都是傅里叶级数这两组条件并不完全等价。它们都是傅里叶级数收敛得充分条件。相当广泛得信号都能满足这两组收敛得充分条件。相当广泛得信号都能满足这两组条件中得一组条件中得一组,因而用傅里叶级数表示周期信号具因而用傅里叶级数表示周期信号具有相当得普遍适用性有相当得普遍适用性。几个不满足几个不满足Dirichlet条件得信号条件得信号33三三、Gibbs现象现象 满足满足 Dirichlet 条件条件得信号得信号,其傅里叶级数是如其傅里叶级数是如何收敛于何收敛于 得。特别当得。特别当 具有间断点时具有间断点时,在间断在间断点附近点附近,如何收敛于如何收敛于?343536 用有限项傅里叶级数表示有间断点得信号时用有限项傅里叶级数表示有间断点得信号时,在间断点附近会不可避免得出现振荡和超量。超量在间断点附近会不可避免得出现振荡和超量。超量得幅度不会随所取项数得增加而减小。只是随着项得幅度不会随所取项数得增加而减小。只是随着项数得增多数得增多,振荡频率变高振荡频率变高,并向间断点处压缩并向间断点处压缩,从而从而使它所占有得能量减少使它所占有得能量减少。Gibbs现象表明现象表明:37Properties of Continuous-Time Fourier Series3、5 连续时间傅里叶级数得性质连续时间傅里叶级数得性质学习这些性质学习这些性质有助于对概念得理解和对信号有助于对概念得理解和对信号进行级数展开。进行级数展开。一一、线性线性:若若 和和 都是以都是以 为周期得信号为周期得信号,且且则则38二二、时移时移:三三、反转反转:若若 是以是以 为周期得信号为周期得信号,且且则则若若 是以是以 为周期得信号为周期得信号,且且则则四四、尺度变换尺度变换:若若 是以是以 为周期得信号为周期得信号,且且则则 以以 为周期为周期,于是于是39令令 ,当当 在在 变化时变化时,从从 变化变化,于是有于是有:五五、相乘相乘:若若 和和 都是以都是以 为周期得信号为周期得信号,且且则则也即也即40六六、共轭对称性共轭对称性:若若 是以是以 为周期得信号为周期得信号,且且则则由此可推得由此可推得,对实信号有对实信号有:或或时有时有:41七七、Parseval 定理定理:表明表明:一个周期信号得平均功率就等于它所有谐波一个周期信号得平均功率就等于它所有谐波分量得平均功率之和分量得平均功率之和、*掌握表掌握表3、1时有时有:对实信号对实信号,当当 时时,(实偶函数实偶函数)当当 时时,(虚奇函数虚奇函数)42例例1:-T1T010-TT例例2:周期性矩形脉冲周期性矩形脉冲将其微分后可利用例将其微分后可利用例1表示为表示为Page147:例例3、6、3、84310设设由时域微分性质有由时域微分性质有由例由例1知知根据时移特性根据时移特性,有有44称称 、为系统得系统函数。为系统得系统函数。Fourier Series and LTI Systems LTI系统对复指数信号所起得作用只是给输入信号系统对复指数信号所起得作用只是给输入信号加权了一个相应得特征值。加权了一个相应得特征值。对连续时间系统对连续时间系统对离散时间系统对离散时间系统3、8 傅里叶级数与傅里叶级数与LTI系统系统45如果如果有有被称为连续时间被称为连续时间LTI系统得频率响应系统得频率响应如果如果则则称为离散时间称为离散时间LTI系统得频率响应系统得频率响应对对 而言而言,以以 为周期为周期如果一个如果一个LTI系统系统输入周期性信号输入周期性信号 或或 46则则*可见可见,LTI系统对周期信号得响应仍一个周期信系统对周期信号得响应仍一个周期信号号,LTI系统得作用是对各个谐波频率得信号分量系统得作用是对各个谐波频率得信号分量进行不同得加权处理。进行不同得加权处理。Page163:例例3、16、3、17