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第二十讲三角函数的图象第二十讲三角函数的图象回归课本回归课本 腰医绅气压牵引带 1.作作y=Asin(x+)的图象主要有以下两种方法的图象主要有以下两种方法:(1)用用“五点法五点法”作图作图.用用“五点法五点法”作作y=Asin(x+)的简图的简图,主要是通过变量代换主要是通过变量代换,设设z=x+,由由z取取0,2来求出来求出相应的相应的x,通过列表通过列表,计算得出五点坐标计算得出五点坐标,描点后得出图象描点后得出图象.(2)由函数由函数y=sinx的图象通过变换得到的图象通过变换得到y=Asin(x+)的图象的图象,有两种主要途径有两种主要途径:“先平移后伸缩先平移后伸缩”与与“先伸缩后平移先伸缩后平移”.方法一方法一:先平移后伸缩先平移后伸缩y=sinx y=sin(x+)y=sin(x+)y=Asin(x+).方法二方法二:先伸缩后平移先伸缩后平移y=sinx y=sinx y=sin(x+)y=Asin(x+).2.y=Asin(x+)(A0,0),x 0,+)表示一个振动量时表示一个振动量时,A叫做叫做振幅振幅,T=叫做叫做周期周期,叫做叫做频率频率,x+叫做叫做相位相位,x=0时的相位时的相位称为称为初相初相.3.对称问题对称问题y=sinx图象的对称中心是图象的对称中心是(k,0),(k Z).对称轴方程是对称轴方程是x=+k,(k Z).y=cosx图象的对称中心是图象的对称中心是 (k Z).对称轴方程是对称轴方程是x=k,(k Z).考点陪练考点陪练答案答案:A2.若若f(x)=sin(x+)的图象的图象(部分部分)如图所示如图所示,则则和和的取值是的取值是()答案答案:C答案答案:C4.(2010四川四川)将函数将函数y=sinx的图象上所有的点向右平行移动的图象上所有的点向右平行移动 个单位长度个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍倍(纵坐纵坐标不变标不变),所得图象的函数解析式是所得图象的函数解析式是()答案答案:C答案答案:C类型一类型一“五点法五点法”作图作图解题准备解题准备:根据三角函数的图象在一个周期内的最高点根据三角函数的图象在一个周期内的最高点 最低最低点及与点及与x轴的三个交点来作图轴的三个交点来作图,即先确定这五个点来作这个即先确定这五个点来作这个函数的图象函数的图象.其一般步骤是其一般步骤是:(1)令令x+分别等于分别等于0,2,求出对应的求出对应的x值和值和y值值,即求出对应的五点即求出对应的五点;(2)在坐标系中描出这五个关键点在坐标系中描出这五个关键点,用平滑的曲线顺次连接用平滑的曲线顺次连接,得得函数函数y=Asin(x+)在一个周期内的函数图象在一个周期内的函数图象;(3)将所得图象向两边扩展将所得图象向两边扩展,得得y=Asin(x+)在在R上的图象上的图象.【典例典例1】作出函数作出函数 的一个周期的一个周期内的图象内的图象.分析分析考查考查:“五点法五点法”作图作图.反思感悟反思感悟用用“五点法五点法”作正作正 余弦函数的图象要注意以下余弦函数的图象要注意以下几点几点:先将解析式化为先将解析式化为y=Asin(x+)或或y=Acos(x+)的形式的形式;周期周期 ;振幅振幅A(A0);列出一个周期列出一个周期的五个特殊点的五个特殊点;描点描点 用平滑曲线连线用平滑曲线连线.类型二类型二三角函数的图象变换三角函数的图象变换解题准备解题准备:三角函数的图象变换包括平移和伸缩两类变换三角函数的图象变换包括平移和伸缩两类变换,具具体有以下三种变换体有以下三种变换:(1)相位变换相位变换:y=sinx的图象向左的图象向左(0)或向右或向右(0)平移平移|个个单位得到单位得到y=sin(x+)的图象的图象.(2)周期变换周期变换:y=sinx的图象上所有点的横坐标伸长的图象上所有点的横坐标伸长(01)到原来的到原来的 倍倍(纵坐标不变纵坐标不变),得到得到y=sinx的图象的图象.(3)振幅变换振幅变换:y=sinx图象上所有点的纵坐标伸长图象上所有点的纵坐标伸长(A1)或缩或缩短短(0A0)个单位个单位,当当向左平移则把向左平移则把x换成换成x+a,当向右平移则把当向右平移则把x换成换成x-a,其他任其他任何数值和符号不变何数值和符号不变,若将图上各点的横坐标伸长到原来的若将图上各点的横坐标伸长到原来的倍倍(1),则只需将则只需将x换成换成 ,若将图象上各点的横坐标缩若将图象上各点的横坐标缩短到原来的短到原来的 (1),则只需将则只需将x换成换成x即可即可.类型三类型三三角函数三角函数y=Asin(x+)的解析式的解析式解题准备解题准备:给出图象求解析式给出图象求解析式y=Asin(x+)+B的难点在于的难点在于的确定的确定,本质为待定系数法本质为待定系数法.基本方法是基本方法是:“五点法五点法”,运用运用“五点五点”中的一点确定中的一点确定.图象变换法图象变换法,即已知图象是由哪即已知图象是由哪个函数的图象经过变换得到的个函数的图象经过变换得到的,通常可由零值点或最值点确通常可由零值点或最值点确定定,有时从找有时从找“五点法五点法”中的第一零值点中的第一零值点 作为突破口作为突破口,要从图象的升降情况找准第一零值点的位置要从图象的升降情况找准第一零值点的位置.【典例典例3】下图为下图为y=Asin(x+)的图象的一段的图象的一段,求其解析式求其解析式.分析分析确定确定A.若以若以N为五点法作图中的第一零点为五点法作图中的第一零点,由于此时曲由于此时曲线是先下降后上升线是先下降后上升(类似于类似于y=-sinx的图象的图象)所以所以A0.而而=,可由相位来确定可由相位来确定.(2)由此题两种解法可见由此题两种解法可见,在由图象求解析式时在由图象求解析式时,“第一零点第一零点”的确定是很重要的的确定是很重要的,尽量使尽量使A取正值取正值,由由f(x)=Asin(x+)(A0,0)的一段图象的一段图象,求其解析式时求其解析式时,A比较容易看图得出比较容易看图得出,困难的是求待定系数困难的是求待定系数和和,常用如下两常用如下两种方法种方法:如果图象明确指出了周期如果图象明确指出了周期T的大小和的大小和“零点零点”坐标坐标,那么由那么由=即可求出即可求出;确定确定时时,若能求出离原点最近的右侧若能求出离原点最近的右侧图象上升图象上升(或下降或下降)的零点横坐标的零点横坐标x0,则令则令x0+=0(或或x0+=)即可求出即可求出.代入点的坐标代入点的坐标.利用一些已知点利用一些已知点(最高点最高点 最低点或零点最低点或零点)坐坐标代入解析式标代入解析式,再结合图形解出再结合图形解出和和,若对若对A,的符号或对的符号或对的范围有要求的范围有要求,则可用诱导公式变换使其符合要求则可用诱导公式变换使其符合要求.(3)利用图象特征确定函数解析式利用图象特征确定函数解析式y=Asin(+)+k或根据代或根据代数条件确定解析式时数条件确定解析式时,要注意以下几种常用方法要注意以下几种常用方法:振幅振幅A=(ymax-ymin).相邻两个最值对应的横坐标之差相邻两个最值对应的横坐标之差,或者一个单调区间的长或者一个单调区间的长度为度为 由此推出由此推出的值的值.确定确定值值,一般用给定特殊点坐标代入解析式确定一般用给定特殊点坐标代入解析式确定.类型四类型四三角函数图象的对称性三角函数图象的对称性解题准备解题准备:函数函数y=Asin(x+)的图象的对称问题的图象的对称问题(1)函数函数y=Asin(x+)的图象关于直线的图象关于直线x=xk(其中其中xk+=k+,k Z)成轴对称图形成轴对称图形,也就是说波峰或波谷也就是说波峰或波谷处且与处且与x轴垂直的直线为其对称轴轴垂直的直线为其对称轴.(2)函数函数y=Asin(x+)的图象关于点的图象关于点(xj,0)(其中其中xj+=k,k Z)成中心对称图形成中心对称图形,也就是说函数图象与也就是说函数图象与x轴轴的交点的交点(平衡位置点平衡位置点)是其对称中心是其对称中心.类型五类型五三角函数模型的常见应用三角函数模型的常见应用解题准备解题准备:三角函数能够模拟许多周期现象三角函数能够模拟许多周期现象,因此在解决实际因此在解决实际问题时有着广泛的应用问题时有着广泛的应用.如果某种变化着的现象具有周期性如果某种变化着的现象具有周期性,那么它就可以借助三角函数来描述那么它就可以借助三角函数来描述,三角函数模型的常见三角函数模型的常见类型有类型有:(1)航海类问题航海类问题.涉及方位角概念涉及方位角概念,方位角指的是从指正北方向方位角指的是从指正北方向线顺时针旋转到目标方向线所成的角度线顺时针旋转到目标方向线所成的角度.还涉及正还涉及正 余弦定余弦定理理.(2)与三角函数图象有关的应用题与三角函数图象有关的应用题.近年全国高考有一解答题近年全国高考有一解答题正是此类应用题正是此类应用题.(3)引进角为参数引进角为参数,利用三角函数的有关公式进行推理利用三角函数的有关公式进行推理,解决最解决最优化问题优化问题,即求最值即求最值.(4)三角函数在物理学中的应用三角函数在物理学中的应用.【典例典例5】已知某海滨浴场的海浪高度已知某海滨浴场的海浪高度y(米米)是时间是时间t(0t24,单位单位:小时小时)的函数的函数,记作记作:y=f(t).下表是某日各时的浪高数据下表是某日各时的浪高数据:t(时时)03691215182124y(米米)1.51.00.51.01.510.50.991.5经长期观测经长期观测,y=f(t)的曲线可近似地看成是函数的曲线可近似地看成是函数y=Acost+b的图象的图象.(1)根据以上数据根据以上数据,求出函数求出函数y=Acost+b的最小正周期的最小正周期T 振振幅幅A及函数表达式及函数表达式;(2)依据规定依据规定,当海浪高度高于当海浪高度高于1米时才可对冲浪爱好者开放米时才可对冲浪爱好者开放.请请依据依据(1)的结论的结论,判断一天内的判断一天内的8：00到到20：00之间之间,有多少有多少时间可供冲浪者进行运动时间可供冲浪者进行运动?解解(1)由表中数据由表中数据,知周期知周期T=12.=由由t=0,y=1.5,得得A+b=1.5.由由t=3,y=1.0,得得b=1.由由得得A=0.5,b=1,振幅为振幅为 (2)由题知由题知,当当y1时才可对冲浪者开放时才可对冲浪者开放,2k-(k Z),即即12k-3t12k+3(k Z).0t24,故可令故可令中中k分别为分别为0 1 2,得得0t3或或9t15或或21t24.在规定时间在规定时间8：00至至20：00之间之间,有有6个小时的时间可供冲浪个小时的时间可供冲浪者运动者运动,即即9:00至至15：00.错源一错源一未抓住平移对象而致误未抓住平移对象而致误【典例典例1】将函数将函数 的图象沿的图象沿x轴向左平移轴向左平移 个单位个单位,求所得图象的解析式求所得图象的解析式.剖析剖析此题出错率极高此题出错率极高,主要原因是未抓住函数图象平移是针主要原因是未抓住函数图象平移是针对自变量对自变量x而言的而言的.错源二错源二伸缩变换中记忆不准而致错伸缩变换中记忆不准而致错 剖析剖析“错解一错解一”错在变换公式记忆错误错在变换公式记忆错误;“错解二错解二”错误较多错误较多,不仅变换公式记忆错误不仅变换公式记忆错误,还不清楚变换是针对自变量还不清楚变换是针对自变量x的的.错源三错源三抓不住对称变换中针对对象而致错抓不住对称变换中针对对象而致错 剖析剖析错在错在 前也加了负号前也加了负号,将函数图象关于将函数图象关于y轴对称轴对称,只是只是在自变量在自变量x前加负号前加负号,其他处都不变其他处都不变.评析评析若将函数若将函数y=sin(x+)的图象关于的图象关于y轴对称轴对称,所得图所得图象的解析式为象的解析式为y=sin(-x+);若将函数若将函数y=sin(x+)的图的图象关于象关于x轴对称轴对称,所得图象的解析式为所得图象的解析式为y=-sin(x+).技法技法“四看四看”解决图象平移问题解决图象平移问题一看一看:平移要求平移要求拿到这类问题拿到这类问题,首先要看题目要求由哪个函数图象平移到哪个首先要看题目要求由哪个函数图象平移到哪个函数图象函数图象,这是判断移动方向的关键点这是判断移动方向的关键点.一般题目会有下面一般题目会有下面两种常见的叙述两种常见的叙述.解析解析上面两题是平移问题两种典型的叙述方法上面两题是平移问题两种典型的叙述方法,粗看两题好粗看两题好像差不多像差不多,其实两题的要求是不同的其实两题的要求是不同的.第第(1)题是要把函数题是要把函数y=sin2x移到移到 而第而第(2)题是要把函数题是要把函数 移到移到y=sin2x,两题平移的要求不同两题平移的要求不同.第第(1)题是基本形式题是基本形式,应该选应该选D,而第而第(2)题是它的反形式题是它的反形式,故选故选C.答案答案(1)D(2)C 二看二看:函数形式函数形式我们在解决这类问题时我们在解决这类问题时,一定要依赖一定要依赖y=Asin(x+)的形式的形式,如如果题目给定的函数不是这样的形式果题目给定的函数不是这样的形式,就要化为就要化为y=Asin(x+)的形式的形式,再考虑平移再考虑平移.解析解析此题主要是函数形式的变化此题主要是函数形式的变化,我们所研究的两个函数必我们所研究的两个函数必须都是形如须都是形如y=Asin(x+)的形式的形式.当实际题目中的两个函当实际题目中的两个函数不都是这样的形式时数不都是这样的形式时,要先利用函数公式进行转化要先利用函数公式进行转化.所以所以我们可以改变我们可以改变 答案答案B三看三看:移动方向移动方向在学习中在学习中,移动的方向一般我们会简记为移动的方向一般我们会简记为“左加右减左加右减”,其实其实,这样不理解的记忆是很危险的这样不理解的记忆是很危险的.上述规则不是简单地看上述规则不是简单地看y=Asin(x+)中中的正负的正负,而是和它的平移要求有关而是和它的平移要求有关.正确正确的理解应该是的理解应该是:平移变换中平移变换中,将将x变换为变换为x+,这时才是这时才是“左左加右减加右减”.答案答案D 答案答案C