概率论与数理统计：连续型随机变量及其概率密度-PPT.ppt

概率论与数理统计：连续型随机变量及其概率密度定义定义 设设 X X 是一随机变量，若存在一个非负是一随机变量，若存在一个非负 可积函数可积函数 f f(x x),),使得使得其中其中F F(x x)是它的分布函数是它的分布函数则称则称 X X 是连续型随机变量，是连续型随机变量，f f(x x)是它的是它的概率密度函数概率密度函数(p.d.f.)(p.d.f.)，简称为密度函数，简称为密度函数或概率密度或概率密度一、连续型随机变量的概念一、连续型随机变量的概念x xf f(x x)x xF F(x x)分布函数分布函数F F(x x)与密度函数与密度函数 f f(x x)的几何意义的几何意义p.d.f.p.d.f.f f(x x)的性质的性质1 1、2 2、常利用这两个性质检验一个函数能否作为连常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续性随机变量的密度函数，或求其续性随机变量的密度函数，或求其中的未知参数中的未知参数3 3、在在 f f(x x)的连续点处，的连续点处，f f(x x)描述了描述了X X 在在 x x 附近单位长度的区间内附近单位长度的区间内取值的概率取值的概率4 4 对于任意可能值对于任意可能值 a,连续型随机变量取连续型随机变量取 a 的概率等于零的概率等于零.即即事实上事实上由此可得：由此可得：b bx xf f(x x)a a连续型随机变量取值落在某一连续型随机变量取值落在某一区间的概率与区间的开闭无关区间的概率与区间的开闭无关xf(x)a若若X是连续型随机变量，是连续型随机变量，X=a 是不是不可能事件，则有可能事件，则有若若 X 为离散型随机变量为离散型随机变量,（3 3）连连续续型型离离散散型型大家应该也有点累了，稍作休息大家有疑问的，可以询问和交流大家有疑问的，可以询问和交流大家有疑问的，可以询问和交流大家有疑问的，可以询问和交流解解例例1二、常见连续型随机变量的分布二、常见连续型随机变量的分布1.均匀分布均匀分布概率密度概率密度函数图形函数图形均匀分布概率密度函数均匀分布概率密度函数演示演示均匀分布的意义均匀分布的意义即即 X X 的取值在的取值在(a a,b b)内任何长为内任何长为 d c d c 的小区间的小区间的概率与小区间的位置无关的概率与小区间的位置无关,只与其长度成正只与其长度成正比比.这正是几何概型的情形这正是几何概型的情形.分布函数分布函数均匀分布分布函数图形均匀分布分布函数图形演示演示例例3 3设随机变量设随机变量X X服从服从(1,6)(1,6)上的均匀分布，求上的均匀分布，求一元两次方程一元两次方程t t2 2+Xt+Xt+1 1=0 0有实根的概率有实根的概率.解解:故所求概率为故所求概率为:而而X X的密度函数为的密度函数为 :因此所求概率因此所求概率 解解由题意由题意,R 的概率密度为的概率密度为故有故有例例3 设电阻值设电阻值 R 是一个随机变量，均匀分布在是一个随机变量，均匀分布在900 1100 求求 R 的概率密度及的概率密度及 R 落在落在950 1050 的概率的概率2.正态分布正态分布(或高斯分布或高斯分布)高斯资料高斯资料正态概率密度函数的几何特征正态概率密度函数的几何特征正态分布密度函数图形正态分布密度函数图形演示演示正态分布的分布函数正态分布的分布函数正态分布分布函数图形正态分布分布函数图形演示演示（1）正态分布是最常见最重要的一种分布正态分布是最常见最重要的一种分布,例如例如测量误差测量误差,人的生理特征尺寸如身高、体重等人的生理特征尺寸如身高、体重等;正常情况下生产的产品尺寸正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量直径、长度、重量高度等都近似服从正态分布高度等都近似服从正态分布.正态分布的应用与背景正态分布的应用与背景 可以说可以说,正态分布是自然界和社会现象中最为常见正态分布是自然界和社会现象中最为常见的一种分布的一种分布,一个变量如果受到大量微小的、独立一个变量如果受到大量微小的、独立的随机因素的影响的随机因素的影响,那么这个变量一般是一个正态那么这个变量一般是一个正态随机变量随机变量.（2）正态分布还可以导出一些有用的分布。）正态分布还可以导出一些有用的分布。（3）另一方面）另一方面,有些分布有些分布(如二项分布、泊松分布如二项分布、泊松分布)的极限分布是正态分布的极限分布是正态分布.所以所以,无论在实践中无论在实践中,还是在还是在理论上理论上,正态分布是概率论中最重要的一种分布正态分布是概率论中最重要的一种分布.二项分布向正态分布的转换二项分布向正态分布的转换标准正态分布的概率密度表示为标准正态分布的概率密度表示为标准正态分布标准正态分布标准正态分布的分布函数表示为标准正态分布的分布函数表示为标准正态分布的图形标准正态分布的图形标准正态分布的计算：-xx对一般的正态分布对一般的正态分布 ：X N X N(,2 2)其分布函数其分布函数作变量代换作变量代换例例6 6 已知且 P(2 X 4)=0.3,求 P(X 3 3所以至少要进行所以至少要进行 4 4 次独立测量才能满足要求次独立测量才能满足要求.3 3 指数分布指数分布若若 X X 的密度函数为的密度函数为则称则称 X X 服从服从 参数为参数为 的指数分布的指数分布记作记作X X 的分布函数为的分布函数为 0 0 为常数为常数对于任意的对于任意的 0 0 a a b b,应用场合应用场合用指数分布描述的实例有：用指数分布描述的实例有：随机服务系统中的服务时间随机服务系统中的服务时间电话问题中的通话时间电话问题中的通话时间无线电元件的寿命无线电元件的寿命动物的寿命动物的寿命指数分布常作为各种指数分布常作为各种“寿命寿命”分布的近似分布的近似例例4 4令：令：B B=等待时间为等待时间为10201020分钟分钟 (4)(4)伽玛分布伽玛分布 设随机变量设随机变量X X，若，若X X的密度函数为的密度函数为 则称则称X X服从参数为服从参数为 的伽玛（的伽玛（GammaGamma）分布）分布,简称为简称为 分布，分布，注注:伽玛函数具有性质：伽玛函数具有性质：(5)(5)威布尔分布威布尔分布 (自学自学)(6)(6)截尾分布截尾分布(自学自学)分布函数分布函数三、小结三、小结2.常见连续型随机变量的分布常见连续型随机变量的分布均匀分布均匀分布正态分布正态分布(或高斯分布或高斯分布)指数分布指数分布Born:30 Apr.1777 in Brunswick,Duchy of Brunswick(now Germany)Died:23 Feb.1855 in Gttingen,Hanover(now Germany)Carl Friedrich Gauss高斯资料高斯资料一、离散型随机变量函数的分布一、离散型随机变量函数的分布二、连续型随机变量函数的分布二、连续型随机变量函数的分布三、小结三、小结第五节第五节 随机变量的分布随机变量的分布问题问题一、离散型随机变量的函数的分布一、离散型随机变量的函数的分布 Y 的可能值为的可能值为 即即 0,1,4.解解例例1 故故 Y 的分布律为的分布律为由此归纳出离散型随机变量函数的分布的求法由此归纳出离散型随机变量函数的分布的求法.离散型随机变量的函数的分布离散型随机变量的函数的分布Y 的分布律为的分布律为例例2 设设解解 第一步第一步 先求先求Y=2X+8 的分布函数的分布函数解解二、连续型随机变量函数的分布二、连续型随机变量函数的分布例例3第二步第二步 由分布函数求概率密度由分布函数求概率密度.本例用到变本例用到变限的定积分限的定积分的求导公式的求导公式解解例例4再由分布函数求概率密度再由分布函数求概率密度.当当 Y=2X+3 时时,有有证明证明X 的概率密度为的概率密度为例例5三、小结三、小结1.离散型随机变量的函数的分布离散型随机变量的函数的分布