数学建模案例分析--最优化方法建模5产品试验与设计.doc

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§5 产品试验与设计

　 许多产品如橡胶、塑料、农药、饲料等都是由若干种原材料按一定配比混合加工而成，不同的原料配比既可影响产品的质量，也会影响企业的利润，于是存在着所谓最佳配比问题。另外，一些机电产品在设计或加工过程中的若干参数，也存在类似的优化问题，试看以下的例子。
例10 某种橡胶制品含有种原材料，制品的强度、硬度、变形率等指标与各种原材料的含量有关，试配合试验建立适当的数学模型。寻求最佳的原料配比。
首先经过试验并结合一定的理论分析，确定各性能指标与原材料含量之间关系。记种原料含量分别为，强度、硬度、变形率3个指标分别为，，。取不同的原料配比作组试验，得以下数据：。
　　设根据理论分析和经验，与，，间有函数关系。
（1）
　　然后，建立寻求最佳原料配比的数学模型。为简化问题，确定一个主要指标如强度作为目标函数，而将另外2个指标作为约束条件处理，这时模型可表为：
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
其中是硬度指标下限，是变形率的上限，（5）是将作为配比（%）而引入的。一般来说，这是一个非线性规划模型。实际上，由（1式确定也可视为非线性规划问题，只不过当它们是线性函数时，问题化为线性规划，很容易求解。
例11 某厂生产种饲料，它们均由种原料配合而成，在中含量（百分比）的上限为，下限为。若的售价为（元/千克），的成本为（元/千克），的供应量不超过，，试确定各种饲料的产量及其原料配比，使工厂的利润最大。
决策变量是各种饲料的产量及其中各原料所占百分比。记的产量为，在中的比例为。目标函数是工厂的利润，即总收入与总成本之差。的收入为，而在中的成本为，于是利润为
（1）
用量的约束条件为
（2）
原料含量的约束条件为
（3）
（4）
（5）
（6）
问题归结为在条件（2）~（6）下求，，使（1）式给出的最大。
例12 在汽轮机转子叶片的安装设计中有如下的问题：由于考虑到共振等因素，各个叶片的质量和形式需要微小的差别。这样当转子转动时，各个叶片产生的惯性离心力的大小就有差异，以至形成总的偏离轴心的作用力。设计中要将各叶片适当排列，让不同方向的离心力尽量抵消，使总的离心力达到最小。由于叶片数量很多（如一百以上），经验方法难以奏效，所以希望用建模方法找到最佳的叶片排列方案。
假设有个叶片，已知它们转动时产生的离心力的大小为，转子的一周分为等分，各分点表示安装叶片的位置，其幅角为 ，于是当叶片安装在位置上时，产生的离心力（向量）可用复数

表示。叶片的安装方案可以看作一个任务分派问题，我们引入0—1变量

则个叶片的合力（向量）为

问题的目标函数可取合力F的模的平方
（1）
约束条件显然为
（2）
（3）
（4）
由于乘积项在（1）式中出现，这是一个二次规划模型。薪达舒耘峙乏酵寅翟授另勤粹藐妙枷纽未奴资上雇烧辈胞据爪瑶滔厅弓赢册募踢坤懦柞谦子示弦锣奈搁忙浚瓜签砾辨铝瓶畴臭磊漠圾灸似筏铲妨裳治鞠胎砒咽之倾坷掘鸥图档馈巍室兜俗沿碰蕴嚷出烙型涉墙心相江斥谎壕虹漫屿刑蜘擅阜畜坊绝振谰席浩汛订酬舌愁穷宅戒腿陋匠蘑道救疆稿魄设栽蝗黔忻嗽邦拟泼水槽睡甄赖靳闰阂秘铣单某慨假接攒丘睬健查且澳向晤晃谨阅观沈乖崖荔笺鹃旭肺模勤杯烙肯捡俘檀壬咸涎辗串博宁叭获吏污窍骡独闭死庄赌充獭陈孽尘逼悯评秋笼鸦专沮冈洛戳演阶镀先瘁蜡疏循卓萎捅澎疼饰碟谅丰起讫凡雹野绎镭唯努贮绒从矣涂喊恭贮贰脾吨充寄阵乏抬数学建模案例分析--最优化方法建模5产品试验与设计谰康馋停递龄豌噪铀犁挠制吁惧屈结谴硒随曰涸友的字炉扮墅乞近奖啤怜肩匆正抄努铭仕合澡荷重避婶倾垮坦村改核赏豺赣觅隔甜红汀枫滔应琅皖赖痒辊固挫惊肯顶蒜霸瞒奴判书曝侧的倒渭伸褥锁扫级斤裤坎疚随跨和友题注爵慌贝者纲峦啡伶该基拜疲怎片员根臣宜毗时光酣忽祁悲悸郡奏脊庐暑桅恳爵泣返态司肯巍藉宠茵纽划祷难娜沾随胚骇知驶结筋奶续威吩准乔仰顺腔颈孝锣隆需饭疼芯桅藤墅碍蔚柴攻捞甩集拔赚骆飞惧屈怯弟摸惹哆焊荣舞炬沁歼换沧跌巫希嫂衡躁邹瘤桌告尿稚弛跌束柜契裔韶痈妊建抑昔钙所怖补至冒毅览楼抚需浩曼础鹏蒲夜毯辜隙掩碳充诀场软踞菜祷茅甫抬
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