坐标系与参数方程-题型总结学生版-文.doc

坐标系与参数方程
题型一三类方程之间的互相转化
例1〔15年陕西〕在直角坐标系中，直线的参数方程为〔为参数〕．以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为．
〔I〕写出的直角坐标方程；
〔II〕为直线上一动点，当到圆心的距离最小时，求的直角坐标．

例2〔15年福建〕在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为.在极坐标系〔与平面直角坐标系取相同的长度单位，且以原点O为极点，以轴非负半轴为极轴〕中，直线l的方程为
(Ⅰ)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；
(Ⅱ)设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值．

例3(2021新课标I)〔本小题总分值10分〕选修4—4：坐标系与参数方程
曲线：，直线：〔为参数〕.
(Ⅰ)写出曲线的参数方程，直线的普通方程；
〔Ⅱ〕过曲线上任一点作与夹角为的直线，交于点，求的最大值与最小值.

例4(2021新课标II)〔本小题总分值10〕选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为，.
〔Ⅰ〕求C的参数方程；
〔Ⅱ〕设点D在C上，C在D处的切线与直线垂直，根据〔Ⅰ〕中你得到的参数方程，确定D的坐标.

练习1〔2021年高考新课标1〕选修4—4:坐标系与参数方程曲线C1的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为.
(Ⅰ)把C1的参数方程化为极坐标方程;
(Ⅱ)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).

练习2〔2021福建〕〔本小题总分值7分〕选修4—4：极坐标与参数方程
直线的参数方程为，〔为参数〕，圆的参数方程为，〔为常数〕.
〔I〕求直线和圆的普通方程；
〔II〕假设直线与圆有公共点，求实数的取值范围.

题型二求轨迹方程
例1〔2021·福建高考·Ｔ21〕在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线上两点M，N的极坐标分别为,，圆C的参数方程(为参数)．
(Ⅰ) 设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；
(Ⅱ) 判断直线与圆C的位置关系．

例2〔2021辽宁〕〔本小题总分值10分〕选修4-4：坐标系与参数方程
将圆上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.
〔1〕写出C的参数方程；
〔2〕设直线与C的交点为，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段的中点且与垂直的直线的极坐标方程.

例3〔2021年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学〕选修4—4;坐标系与参数方程
动点都在曲线为参数上,对应参数分别为与,为的中点.
(Ⅰ)求的轨迹的参数方程;
(Ⅱ)将到坐标原点的距离表示为的函数,并判断的轨迹是否过坐标原点.

练习1〔2021·江苏高考·Ｔ21〕在极坐标系中，圆C经过点，圆心为直线与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．

练习2〔2021·新课标全国高考·Ｔ23〕在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为〔为参数〕M是C1上的动点，P点满足,P点的轨迹为曲线C2
(Ⅰ)求C2的方程
(Ⅱ)在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求.

题型三求交点坐标
例1〔15年新课标2〕在直角坐标系xOy中，曲线C1：〔t为参数，t ≠ 0〕，其中0 ≤ α<π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：，C3：。
〔1〕求C2与C3交点的直角坐标；
〔2〕假设C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求的最大值。

例2〔2021年高考新课标1〕选修4—4:坐标系与参数方程曲线C1的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为.
(Ⅰ)把C1的参数方程化为极坐标方程;
(Ⅱ)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).

练习1〔2021·辽宁高考文科·T23〕与〔2021·辽宁高考理科·T23〕相同
在直角坐标中，圆，圆.
(Ⅰ)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆的极坐标方程，并求出圆的交点坐标(用极坐标表示)；
(Ⅱ)求出的公共弦的参数方程.

题型四直线与圆的位置关系问题
例1〔2021年普通高等学校招生统一考试福建数学〕坐标系与参数方程:在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立坐标系.点的极坐标为,直线的极坐标方程为,且点在直线上.
(1)求的值及直线的直角坐标方程;
(2)圆C的参数方程为,(为参数),试判断直线与圆的位置关系.

例2〔河南商丘2021高三第三次模拟〕在极坐标系中，圆C的圆心，半径r=．
〔 I〕求圆C的极坐标方程；
〔Ⅱ〕假设，直线的参数方程为〔t为参数〕，直线交圆C于A、B两点，求弦长|AB|的取值范围．

例3〔15年福建〕在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为.在极坐标系〔与平面直角坐标系取相同的长度单位，且以原点O为极点，以轴非负半轴为极轴〕中，直线l的方程为
(Ⅰ)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；
(Ⅱ)设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值．

例4例2〔15年陕西〕在直角坐标系中，直线的参数方程为〔为参数〕．以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为．
〔I〕写出的直角坐标方程；
〔II〕为直线上一动点，当到圆心的距离最小时，求的直角坐标．

练习1〔2021福建〕〔本小题总分值7分〕选修4—4：极坐标与参数方程
直线的参数方程为，〔为参数〕，圆的参数方程为，〔为常数〕.
〔I〕求直线和圆的普通方程；
〔II〕假设直线与圆有公共点，求实数的取值范围.

练习2(2021河南郑州高中毕业班第一次质量预测, 23)曲线 (t为参数) ， (为参数)
〔Ⅰ〕化，的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线;
〔Ⅱ〕过曲线的左顶点且倾斜角为的直线交曲绒于A，B两点，求.

练习3(2021河南豫东豫北十所名校高中毕业班阶段性测试)   曲线C的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是(t是参数) ．
 (I) 将曲线C的极坐标方程和直线的参数方程分别化为直角坐标方程和普通方程；
(Ⅱ) 假设直线与曲线C相交于A，B两点，且，试求实数m的值．

练习4(2021贵州贵阳高三适应性监测考试, 23)以直角坐标系的原点为极点，轴非负半轴为极轴，在两种坐标系中取相同单位的长度. 直线的方程为，曲线的参数方程为，点是曲线上的一动点.
〔Ⅰ〕求线段的中点的轨迹方程； (Ⅱ) 求曲线上的点到直线的距离的最小值.

题型五直线与曲线相交--------两点之间、点线之间的距离问题
例1(2021福州高中毕业班质量检测)在平面直角坐标系中, 以为极点, 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为, 直线l的参数方程为: (为参数) ，两曲线相交于, 两点.
〔Ⅰ〕写曲线直角坐标方程和直线普通方程;〔Ⅱ〕假设, 求的值．

例2(2021河北衡水中学高三上学期第五次调研考试, 23) 在直角坐标系中，曲线C的参数方程为〔为参数〕. 以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点，直线的极坐标方程为.〔Ⅰ〕判断点与直线的位置关系，说明理由；
(Ⅱ) 设直线与曲线的两个交点为、，求的值.

练习1〔2021·新课标全国高考·Ｔ23〕在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为〔为参数〕M是C1上的动点，P点满足,P点的轨迹为曲线C2
(Ⅰ)求C2的方程
(Ⅱ)在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求.

练习2〔15年新课标2〕在直角坐标系xOy中，曲线C1：〔t为参数，t ≠ 0〕，其中0 ≤ α<π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：，C3：。
〔1〕求C2与C3交点的直角坐标；
〔2〕假设C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求的最大值。

练习3〔2021·福建高考·Ｔ21〕在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)。在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为ρ=2sinθ。
Ⅰ)求圆C的直角坐标方程；
(Ⅱ)设圆C与直线交于点．假设点的坐标为(3，)，求．

题型六 曲线上一动点到一定点或定直线的距离问题
例1 (2021新课标I)〔本小题总分值10分〕选修4—4：坐标系与参数方程
曲线：，直线：〔为参数〕.
(Ⅰ)写出曲线的参数方程，直线的普通方程；
〔Ⅱ〕过曲线上任一点作与夹角为的直线，交于点，求的最大值与最小值.

例2〔2021·福建高考·Ｔ21〕〔2〕在直角坐标系xOy中，直线的方程为x-y+4=0，曲线C的参数方程为.
〔I〕在极坐标系〔与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴〕中，点P的极坐标为〔4，〕，判断点P与直线l位置关系；
〔II〕设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值.

练习1〔2021·新课标全国高考文科·Ｔ23〕与〔2021·新课标全国高考理科·Ｔ23〕相同
曲线的参数方程是，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的坐标方程是，正方形的顶点都在上，且依逆时针次序排列，点的极坐标为.
〔1〕求点的直角坐标；
〔2〕设为上任意一点，求的取值范围.

练习2〔2021年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学〕选修4—4;坐标系与参数方程
动点都在曲线为参数上,对应参数分别为与,为的中点.
(Ⅰ)求的轨迹的参数方程;
(Ⅱ)将到坐标原点的距离表示为的函数,并判断的轨迹是否过坐标原点.

练习3(2021江苏苏北四市高三期末统考, 21C) 在平面直角坐标系中，直线的参数方程是〔为参数〕；以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆的极坐标方程为. 由直线上的点向圆引切线，求切线长的最小值.
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