12.2.1--认识一次函数.ppt

第第12章章 一次函数一次函数第第2节节 一次函数一次函数第第1课时课时 正比例函数的图象和性质正比例函数的图象和性质课堂讲解课堂讲解课时流程课时流程12u一次函数与正比例函数的定义一次函数与正比例函数的定义u正比例函数正比例函数的图象的图象u正比例函数的性质正比例函数的性质逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结课后课后作业作业在上节，遇到过这样一些函数：在上节，遇到过这样一些函数：h=30t+1800;Q=-25t+300;y=2x;y=-2x;s=80t.这些函数有什么共同特点？这些函数有什么共同特点？1知识点一次函数与正比例函数的定义知知1 1讲讲1.定定义义：一般地，形如一般地，形如ykxb(k，b为为常数，且常数，且k0)的函数，叫做一次函数当的函数，叫做一次函数当b0时时，ykx(k 为为常数，且常数，且k0)，所以，所以说说正比例函数是一种正比例函数是一种 特殊的一次函数特殊的一次函数知知1 1讲讲2.要点精析：要点精析：一次函数一次函数y kxb(k0)的的结结构特征：构特征：k0；自自变变量量x的次数是的次数是1；常数常数项项b可以是可以是任意任意实实数数知知1 1讲讲例例1 下列函数中，哪些是一次函数，哪些又是正比下列函数中，哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？例函数？(1)y2x2；(2)y ；(3)y3x2x(3x2)；(4)x2y1；(5)y .导导引：引：先看函数式是否先看函数式是否为为整式，再整式，再经过经过恒等恒等变变形，根形，根据一次函数和正比例函数的定据一次函数和正比例函数的定义进义进行判断行判断解：解：(1)因因为为x的指数是的指数是2，所以，所以y2x2不是一次函数不是一次函数 (2)因因为为 所以所以 是一次函数是一次函数 (3)因因为为y3x2x(3x2)2x，k2，b0，所以它是一次函数，也是正比例函数所以它是一次函数，也是正比例函数知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）知知1 1讲讲 (4)x2y1，即，即y1x2.因因为为x的指数是的指数是2，所以所以x2y1不是一次函数不是一次函数 (5)因因为为y 不是整式，不符合不是整式，不符合ykxb的形式，的形式，所以它不是一次函数所以它不是一次函数总 结判断函数式是否判断函数式是否为为一次函数的方法：先看一次函数的方法：先看函数式是否是整式的形式，函数式是否是整式的形式，再再将函数式将函数式进进行恒行恒等等变变形，看它是否符合一次函数表达式形，看它是否符合一次函数表达式ykxb的的结结构特征：构特征：(1)k0；(2)自自变变量量x的次数的次数为为1；(3)常数常数项项b可以可以为为任意任意实实数数（来自（来自点拨点拨）知知1 1讲讲知知1 1讲讲例例2 原原创创易易错题错题已知函数已知函数y(n24)x2(2n4)xm2(mn8)；(1)当当m、n为为何何值时值时，函数是一次函数？，函数是一次函数？(2)如果函数是一次函数，如果函数是一次函数，计计算当算当x1时时的函数的函数值值知知1 1讲讲导导引：引：(1)由一次函数的定由一次函数的定义义，结结合原函数式的特征知：合原函数式的特征知：二次二次项项的系数必的系数必为为0，即，即n240；(2n4)xm2必必为为一次一次项项，即，即m21，2n40；(2)写出表达式，运用代入法求函数写出表达式，运用代入法求函数值值知知1 1讲讲解：解：(1)由由题题意，得意，得 解得解得m3，n2.所以当所以当m3，n2时时函数是一次函数函数是一次函数(2)由由(1)得此一次函数的表达式得此一次函数的表达式为为y8x7.当当x1时时，y8171.（来自（来自点拨点拨）知知1 1讲讲总 结根据一次函数的定根据一次函数的定义义求待定字母的求待定字母的值时值时，要注意：，要注意：(1)函数的表达式是自函数的表达式是自变变量的一次式，若含有一次量的一次式，若含有一次以上的以上的项项，则则其系数必其系数必为为0；(2)隐隐含条件含条件：自：自变变量量(一次一次项项)的系数不的系数不为为0.（来自（来自点拨点拨）1.定定义义：一般地，形如一般地，形如ykx(k为为常数，且常数，且k0)的函数，的函数，叫做正比例函数；其中叫做正比例函数；其中k叫做比例系数叫做比例系数 要点精析：要点精析：(1)判断一个函数是否判断一个函数是否为为正比例函数的方法：正比例函数的方法：看看这这个函数是否个函数是否满满足以下足以下两个条件两个条件：所所给给等式是形如等式是形如ykx的等式；的等式；比例系数比例系数k是常数，且是常数，且k不等于不等于0.同同时满时满足足这这两个条件两个条件，它就是正比例函数，它就是正比例函数知知1 1讲讲 (2)正比例函数反映的是两个正比例函数反映的是两个变变量之量之间间的关系，是的关系，是正比例函数关系正比例函数关系2易易错错警示：警示：(1)正比例函数正比例函数ykx中，中，k0，x的指数的指数为为1；(2)自自变变量的取量的取值值范范围围：一般情况下，正比例函数：一般情况下，正比例函数 中自中自变变量的取量的取值值范范围围是全体是全体实实数，但在数，但在实际问实际问 题题中，注意自中，注意自变变量的取量的取值值要有要有实际实际意意义义.知知1 1讲讲例例3 写出下列写出下列问题问题的函数表达式，并判断哪些是正比的函数表达式，并判断哪些是正比例函数例函数(1)已知已知圆圆的周的周长长C是半径是半径r的函数；的函数；(2)油箱中有油油箱中有油30 L，若油均匀流出，若油均匀流出，150 min流尽，流尽，则则油箱中余油量油箱中余油量Q(L)是流出是流出时间时间t(min)的函数；的函数；(3)小明以小明以4 km/h的速度匀速前的速度匀速前进进，则则他所走的路程他所走的路程s(km)是是时间时间t(h)的函数；的函数；知知1 1讲讲(4)某种商品每件某种商品每件进进价价100元，售出元，售出时时每件每件获获得得20%的的 利利润润，销销售售额额y(元元)是售出商品数量是售出商品数量x(件件)的函数的函数 解：解：(1)C2r，是正比例函数，是正比例函数 (2)Q30 t，不是正比例函数，不是正比例函数 (3)s4t，是正比例函数，是正比例函数 (4)y(10010020%)x120 x，是正比例函数，是正比例函数（来自（来自点拨点拨）总 结（来自（来自点拨点拨）(1)根据根据题题意可先得到数量意可先得到数量间间的关系式，然后写成函的关系式，然后写成函数表达式的形式数表达式的形式(2)判断是否判断是否为为正比例函数的正比例函数的依据依据：即看两个：即看两个变变量的量的比是不是常数，即是不是形如比是不是常数，即是不是形如ykx(k为为常数，常数，且且k0)的函数的函数知知1 1讲讲例例4 已知函数已知函数y(k2)x|k|1(k为为常数常数)是正比例函数，是正比例函数，则则k_ 导导引：引：根据正比例函数的定根据正比例函数的定义义，此函数表达式，此函数表达式应满应满足：足：(1)变变量量x的指数的指数为为1，即，即|k|11，所以，所以k2；(2)比例系数比例系数k20，即，即k2.综综上，上，k2.2（来自（来自点拨点拨）知知1 1讲讲总 结 由正比例函数的定由正比例函数的定义义知正比例函数的自知正比例函数的自变变量的指数量的指数为为1；应应用定用定义义求求值时值时，不要忽，不要忽视视比比例系数不例系数不为为0这这一条件一条件.（来自（来自点拨点拨）知知1 1讲讲1 下列函数中，下列函数中，y是是x的一次函数的是的一次函数的是()Ayx22x By Cyx Dy 1（来自（来自典中点典中点）知知1 1练练C2下列函数：下列函数：y2x1，yx，y ，yx2中，一次函数的个数是中，一次函数的个数是()A1 B2 C3 D4（来自（来自典中点典中点）知知1 1练练B3已知已知y(m3)x|m|21是是y关于关于x的一次函数，的一次函数，则则m的的值值是是()A3 B3 C3 D2（来自（来自典中点典中点）知知1 1练练A4 下列下列问题问题中，中，变变量之量之间间的关系是正比例函数关系的关系是正比例函数关系 的是的是()A长长方形的面方形的面积积固定，固定，长长和和宽宽之之间间的关系的关系 B正方形的面正方形的面积积和和边长边长之之间间的关系的关系 C三角形的面三角形的面积积一定，底一定，底边边和底和底边边上的高之上的高之间间 的关系的关系 D匀速运匀速运动动中，路程和中，路程和时间时间之之间间的关系的关系（来自（来自典中点典中点）知知1 1练练D (中考中考凉山州凉山州)已知函数已知函数y2x2aba2b是正是正 比例函数，比例函数，则则a_，b_.5（来自（来自典中点典中点）知知1 1练练2知识点正比例函数的图象知知2 2讲讲例例1 在同一平面直角坐在同一平面直角坐标标系中，画下列函数的系中，画下列函数的 图图象：象：y=x,y=x,y=3x.解：解：列表列表(为为便于比便于比较较，三个函数，三个函数值计值计算表排在一起算表排在一起)x 0 1 y=x 0 y=x 0 1 y=3x 0 3 知知2 2讲讲如如图图，过过两点（两点（0,0），（），（1，）画直）画直线线，得得y=x的的图图象；象；过过两点（两点（0,0），（），（1,1）画直画直线线，得，得y=x的的图图象；象；过过两点（两点（0,0），（），（1,3）画直画直线线得，得y=3x的的图图象象.（来自教材）（来自教材）知知2 2讲讲例例2 在同一直角坐在同一直角坐标标系中，画出函数系中，画出函数y5x，yx的的图图象象 解：解：列表：列表：x 0 1y5x 0 5yx 0 1描点、连线，如图所示描点、连线，如图所示（来自（来自点拨点拨）知知2 2讲讲总 结 正比例函数正比例函数ykx(k是常数，且是常数，且k0)的的图图象是象是一条一条经过经过原点及原点及(1，k)的直的直线线，通常通常作正比例函数作正比例函数的的图图象是象是过过(0，0)和和(1，k)两点画直两点画直线线，但也可以，但也可以变变通，通，选选点点应应以便于以便于计计算和描点算和描点为为原原则则（来自（来自点拨点拨）知知2 2讲讲(中考中考北海北海)正比例函数正比例函数ykx的的图图象如象如图图所示，所示，则则k的取的取值值范范围围是是()Ak0 Bk1 Dk11（来自（来自典中点典中点）知知2 2练练A正比例函数正比例函数yx的大致的大致图图象是象是()2（来自（来自典中点典中点）知知2 2练练C已知正比例函数已知正比例函数ykx(k0)，当，当x1时时，y2，则则它的它的图图象大致是象大致是()3（来自（来自典中点典中点）知知2 2练练C3知识点正比例函数的性质 学学过过了上面例了上面例1及及练习练习后可以看出，当后可以看出，当k取取不同的数不同的数值时值时，就确定正比例函数，就确定正比例函数y=kx(k为为常数，常数，且且k0)在坐在坐标标系中有不同的位置系中有不同的位置.你能从中你能从中归纳归纳出怎出怎样样的的规规律？律？知知3 3讲讲 图图象：象：正比例函数正比例函数ykx(k为为常数，且常数，且k0)的的图图象是象是 一条一条经过经过原点原点的直的直线线，我，我们们称它称它为为直直线线ykx.性性质质：当当k0时时，直，直线线ykx经过经过第第一、三一、三象限，从象限，从 左向右上升左向右上升，y随着随着x的增大而增大，的增大而增大，当当k0时时，直，直线线ykx经过经过第第二、四二、四象限，象限，从左向右下降，从左向右下降，y随着随着x的增大而减小的增大而减小知知3 3讲讲例例3 广广东东珠海珠海已知函数已知函数y3x的的图图象象经过经过点点A (1，y1)，点，点B(2，y2)，则则y1_y2(填填“”“”或或“”)导导引：引：方法一：把点方法一：把点A，点，点B的坐的坐标标分分别别代入函数代入函数y3x，求出求出y1，y2的的值值比比较较大小即可大小即可 方法二：画出正比例函数方法二：画出正比例函数y3x的的图图象，在函数象，在函数图图象上象上标标出点出点A，点，点B，利用数形，利用数形结结合思想来比合思想来比较较y1，y2的大小的大小知知3 3讲讲如如图图，观观察察图图象，象，显显然可得然可得y1y2.方法三：根据正比例函数的方法三：根据正比例函数的增减性来比增减性来比较较函数函数值值的大小的大小根据正比例函数的性根据正比例函数的性质质，当当k0时时，y随随x的增大而增大，即可得的增大而增大，即可得y1y2.（来自（来自点拨点拨）知知3 3讲讲总 结 正比例函数的正比例函数的图图象上两点的象上两点的纵纵坐坐标标的大小与比的大小与比例系数以及横坐例系数以及横坐标标的大小有关；比例系数是正数的大小有关；比例系数是正数时时，函数函数值值随自随自变变量的增大而增大；比例系数是量的增大而增大；比例系数是负负数数时时，函数函数值值随自随自变变量的增大而减小量的增大而减小知知3 3讲讲总 结本例的解法中，本例的解法中，方法一方法一是用求是用求值值比比较较法；法；方法二方法二是利用是利用数形数形结结合思想合思想，用，用“形形”上的点的上的点的纵纵坐坐标标位置来比位置来比较较“数数”的大小；的大小；方法三方法三是利用函数的增减性来比是利用函数的增减性来比较较大小大小（来自（来自点拨点拨）知知3 3讲讲 例例4 已知正比例函数已知正比例函数yk1x与与yk2x的的图图象如象如图图，比比较较k1与与k2的大小的大小导导引：引：两个函数的自两个函数的自变变量取量取 相同的数相同的数值值，当所取，当所取 的数是的数是正数正数时时，比，比较较两两 个函数个函数值值的大小即可得的大小即可得k1、k2的大小的大小知知3 3讲讲解：解：在正比例函数在正比例函数yk1x图图象位于第一象限的射象位于第一象限的射线线上上 取一点取一点A，设设点点A的坐的坐标标是是(a，k1a)，过过点点A引引x轴轴的垂的垂线线交正比例函数交正比例函数yk2x的的图图象于象于 一点一点B，x轴轴上的垂足是上的垂足是H，所以点所以点B的坐的坐标标是是(a，k2a)，由于由于k1ak2a，且，且a0，因此，因此k1k2.（来自（来自点拨点拨）知知3 3讲讲总 结 利用正比例函数的利用正比例函数的图图象比象比较较比例系数的大小，比例系数的大小，可以在一条直可以在一条直线线上取一点上取一点A，通常通常使得使得这这点的横坐点的横坐标标是是1，过这过这点引点引x轴轴的垂的垂线线，交另一直，交另一直线线于一点于一点B，比，比较较两点两点纵纵坐坐标标的大小即可的大小即可（来自（来自点拨点拨）知知3 3讲讲例例5 若正比例函数若正比例函数y(3k5)x及及y(5k3)x的的图图象如象如图图所示，所示，则则k的取的取值值范范围围是是_ 导导引：引：由正比例函数的由正比例函数的图图象及性象及性质质知：知：3k50，即，即k ；5k30，即，即k .综综合两个不合两个不 等式的解集，得等式的解集，得 k .（来自（来自点拨点拨）总 结(1)由正比例函数的性由正比例函数的性质质y随随x的增大而增大或减小，可以的增大而增大或减小，可以 判断比例系数的符号，当判断比例系数的符号，当y随随x的增大而增大的增大而增大时时，比例，比例 系数系数k大于大于0，反之比例系数，反之比例系数k小于小于0；(2)由正比例函数的由正比例函数的图图象象过过一、三象限一、三象限还还是是过过二、四象限二、四象限 可以判断比例系数的符号，当直可以判断比例系数的符号，当直线过线过一、三象限一、三象限时时，k0，当直，当直线过线过二、四象限二、四象限时时，k0.知知3 3讲讲（来自（来自典中点典中点）关于函数关于函数y2x，下列判断正确的是，下列判断正确的是()A图图象象经过经过第一、三象限第一、三象限By随随x的增大而增大的增大而增大C若若(x1，y1)，(x2，y2)是是该该函数函数图图象上的两点，象上的两点，则则当当x1y2D不不论论x为为何何值值，总总有有y01知知3 3练练C一次函数和正比例函数：一次函数和正比例函数：一般地，形如一般地，形如ykxb(k，b为为常数，常数，k0)的函数叫做的函数叫做一次函数，其中一次函数，其中x是自是自变变量量，y是是x的函数的函数特特别别地，当地，当b0时时，ykx(k为为常数，常数，k0)，y叫做叫做x的的正比例函数正比例函数说说明：明：(1)正比例函数是特殊的一次函数，一次函数包正比例函数是特殊的一次函数，一次函数包括正比例函数；括正比例函数；(2)判断一个函数是否是一次函数，必判断一个函数是否是一次函数，必须须将其化成最将其化成最简简形式形式画正比例函数画正比例函数图图象的技巧：象的技巧：(1)由于两点确定一条直由于两点确定一条直线线，因此画正比例函数，因此画正比例函数ykx(k0)的的图图象象时时，我，我们们一般一般选选(0，0)和和(1，k)这这两点两点(2)列表列表时时，点，点(x，y)可任意可任意选选取适合取适合ykx的点，但的点，但为为方便方便描点，坐描点，坐标标通常取整数通常取整数注意：注意：有些有些图图象根据自象根据自变变量取量取值值范范围围的不同而有所的不同而有所变变化，或是一条射化，或是一条射线线，或是一条，或是一条线线段，或是直段，或是直线线上的一些点例如正比例函数上的一些点例如正比例函数y2x(x0)的的图图象是一条射象是一条射线线请请完成完成点点拨训练拨训练P20-P21对应习题对应习题。