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第一讲 一次函数和反比例函数
知识点、重点、难点
函数称为一次函数，其函数图像是一条直线。若时，则称函数为正比例函数，故正比例函数是一次函数的特殊情况。
当时，函数是单调递增函数，即函数值随增大（减小）而增大（减小）；当，是递减函数，即函数值随增大（减小）而减小（增大）。
函数称为反比例函数，其函数图像是双曲线。
当且时，函数值随增大（减小）而减小（增大）；当且，函数值随增大（减小）而减小（增大），也就是说：当时，反比例函数分别在第一或第三象限内是单调递减函数；当时，函数分别在第二或第四象限内是单调递增函数。
若
当时，时，两面直线平行。
当时，时，两面直线重合。
当时，两直线相交。
当时，两直线互相垂直。
求一次函数、反比例函数解析式，关键是要待定解析式中的未知数的系数；其次，在解题过程中要重视数形相结合。

例题精讲

例1：在直角坐标平面上有点、、，求为何值时取最小值。
解 显然，当点在线段内时，最短。
设直线方程为，代入、

得解得
所以线段为
代入，得
例2：求证：一次函数的图像对一切有意义的恒过一定点，并求这个定点。
解 由一次函数得整理得
。因为等式对一切有意义的成立，所以得
解得当，时，一次函数解析式变为恒等式，所以函数图像过定点.
例3：已知、、为常数并且求。
解 用代换原方程中的，得 用代换原方程中的，得
得因为，所以，所以.

例4:如图，设因为当时，为递增函数，在上的最小值为
所以

因此在上为递减函数；在上为递增函数，故的最大值为

例5：画函数的图像。
解 ，，，将整个数轴分为四段讨论（见图）并定义域为的一切实数。

例6：一次函数图像交轴于A点，将此直线沿直线翻折交轴于B点，这两条直线相交于P点，且四边形OAP B的面积为3，
求k的值。

解 设点P坐标为又与是翻折而成，所以面积是四边形OAPB的一半等于。设代入得点为由得即点因点在上，代入得
A卷

一、填空题
1.设是反比例函数，则 ；其图像经过第
象限时；当时，随增大而 。
2.两个一次函数的图像与轴所围成的三角形面积是 。
3.等腰三角形一个底角的度数记作，顶角的度数记作，将表示成的函数是 ，其中的取值范围是 。
4.如果函数的图像与直线平行，则 。
5.已知四条直线、、、所围成的车边形的面积是12，则 。
6.一次函数的图像经过点且与轴交于点，与轴交于点。若则线段的长为 。
7.已知一次函数中，若的值每增加4，的值也相应增加8，则 。
8.如果把函数的图像向下平移两个单位，再向左平移一个单位，那么得到的是 的图像。
9.已知一次函数则的值为 。
10.若直线不经过第二象限，则的取值范围是 。

二、解答题

11.求证：不论为何值，一次函数的图像恒过一定点。

12.某商人将进货单价为8元的商品按每件10元售出时，每天可以销售100件，现在他想采用提高售出价的办法来增加利润．已知这种商品每提高价1元（每件），日销售量就要减少10件，那么他要使每天获利最大．应把售出价定为多少元？

B卷

一、填空题
1.函数的最小值为 。
2.如图，正比例函数和的图像与反比例函数的图像分别交于点和点。若直角三角形和直角三角形的面积分别为和，则与的大小关系是 。
3.点、是平面直角坐标系中的两定点，是图像上的动点，则满足上述条件的直角三角形或画出 个。
4.直线经过 象限。
5.一个三角形以、及为三个顶点，一条与轴相垂直的直线将该三角形划分成面积相等的两部分，则此直线的解析式为
。
6.已知函数及则以这两个函数图像的交点和坐标原点为顶点的三角形的面积为 。
7.双曲线与一次函数的图像有两个不同的交点，则的取值范围是 。
8.已知反比例函数，当时随的增大而增大，则一次函数的图像经过 象限。
9.已知实数、满足则的取值范围是 。
10.一次函数与的图像在第四象限内交于一点，则整数 。

二、解答题

11.设直线与直线相交于点A，它们与x轴的交点为，求中BC边上的中线所在的直线方程。
12.已知函数，(1) 求证：无论取何实数，此函数图像恒过某一定点；(2)当在内变化时，在内，求实数的值。
13.若对于满足的一切实数，函数的值恒大于0，求实数的取值范围。
14．A、B两厂生产某商品的产量分别为60吨与100吨，供应三个商店。甲店需45吨，乙店需75吨，丙店需40吨。从A厂到三商店每吨运费分别为10元、5元、6元，从B厂到三商店每吨运费分别为4元、8元、15元，如何分配使总运费最省？

C卷

一、填空题
1．函数与的图像关于直线对称则 ，
。
2．三个一次函数、、在同一直角坐标系中的图像如图所示，分别为直线、、，则、、的大小关系是 。
3.已知函数当自变量的取值范围为时，有既能取到大于5的值，又能取到小于3的值则实数的取值范围是 。
4．已知，则函数的最小值是 。
5．一次函数满足，则 。
6．已知并且则一次函数的图像一定通过 象限。
7.已知一次函数 (为整数）的图像经过点(98，19)，它与轴的交点为(p，0)，与y轴的交点为(0，q).若P为质数，q为正整数，则适合上述条件的一次函数的个数是 个。
8.把函数的图像沿轴向 平移 个单位，再沿y轴向
平移个单位，得到的图像。
9.方程表示成两个一次函数是 。
10.一次函数的图像经过点(10，13），它在轴上的截距是一个质数，在y轴上的截距是一个正整数，则这样的函数有 个。

二、解答题
11.如图，设直线与坐标轴所构成的直角三角形的面积是，求

12.在直角坐标系中有一个矩形，点与坐标原点重合，在轴的正半轴上，在轴的正半轴上，点在边上，直线经过点，且与轴交于点。若，的面积是的5倍，求直线的解析式。

13.在相距为L的两个车库里，分别有、辆汽车，拟在A、B两个车库之间设修理站以检修车辆。若每辆车的运费与距离成正比例，要使全部汽车都检修一次所需要的总运费最小，修理站应设在何处？

14.已知直线和点，在直线上求一点Q，使过PQ的直线与直线以及轴在第一象限内围成的三角形的面积最小。

第二讲 一元二次方程的解法
知识点、重点、难点

例题精讲

例1：解方程

例2：解方程

例3：解关于的方程

例4：已知首项系数不相等的两个关于的二次方程

及（是正整数）有一个公共根，求的值。

例5：若二次方程有实根，其中、为奇数。
证明：此方程的根是无理数。

例6：解关于的方程：

习题

A卷

一、填空题
1. 设方程，当 时，是一元一次方程当 时，是一元二次方程。
2. 方程，用 方法较简捷，其根是 。
3. 用公式法解，其根是 。
4. 将方程化成的形式，可得 。
5. 若是方程的一个根，则 。
6. 若方程有一个根为0，则 。
7. 关于的方程，则 。
8. 若是方程的根，则 。
9.已知，则的值是 。
10.如果对于任意两个实数、，定义，解方程：
，可得 。

二、解答题
11.用公式法解

12.若方程与方程至少有一个相同的实数根，求实数的值。

B卷

一、填空题

1. 解方程，则 。
2. 解方程，则 。
3. 当 时，方程有一个根是1。
4. 已知，则 。
5. 已知、为方程的两个根，且，则 ， 。
6. 若 是方程的一个根，其中、为有理数，则 。
7. 若1、是一元二次方程的两个根，则 。
8. 若是方程的一个根，则这个方程的另一个根是 。
9. 已知二次方程有根0与1，则 。
10. 已知关于的方程恰有一个实根，则应取值为 。

二、解答题
11.已知方程的一个正根为，求+
的值。

12.若，在一元二次方程的两个实数根中，求较大的实数根。

13.证明：若是方程的一个根，则
也是它的一个根。

C卷

一、填空题

1. 已知是正整数，且表示两个相邻正整数之和，则
的值有 个。
2. 方程的实根个数是 个。
3. 方程的解是 。
4. 已知，则 。
5. 已知关于的方程无实根，甲因看错了二次项系数解的根为2、4；乙因看错了某项的符号解的根为－1、4，则的 值是 。

6.设则的结果是 。
7. 方程，各根的和是 。
8. 已知、是方程的两个实数根，则的值为 。
9. 设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程的两根，当这样的三解形只有一个时，的范围是 。
10. 已知是正整数，方程，当时，两根为、
；当时，两根为、…；当时，两根为、，则代数式的值等于 。

二、解答题

11. 若三个整数、、 使得方程的两个根为、，求的值。

12.已知、、、是非零实数，、是方程的两根；、是方程的两根，求的值。

13. 已知，且
求的值。

14. 已知是方程的根，求的值。

第三讲 一元二次方程根的判别式
知识点、重点、难点

例题精讲

例1：如、为实数，证明：方程有两相异实数根。

例2：如果x的一元二次方程有两个相等的实数根，证明：

例3：设a、b、c为正数，证明：方程和，至少有一个方程有实根。

例4：已知二次方程有两个异号的实数根和，且，试判断二次方程根的情况。

例5：解方程组
①
②

例6：如图，△ABC中，AB>AC，AD为角平分线，AD的垂直平分线交BC延长线于E，设CE=a，DE=b，BE=c.
求证：二次方程有两个相等的实数根。

习题

A卷
一、填空题

1. 方程的判别式是 。
2. 关于的方程有两个实数根，那么的取值范围是 。
3. 当不小于时，方程的根的情况是 。

4. 方程一定 实数根。
5. 已知，当 ，方程有两个不相等的实数根。
6. 方程有两个相等的实数根，则= 。
7. 关于的方程没有实数根，则的最小值为 。
8. 关于的方程有两个不相等的实数根且、、是的三条边，则是 三角形。
9. 方程的根的判别式的值是4，则这个方程的根是
。
10. 已知为实数且使关于的二次方程有实根，则该方程根所能取得的最小值是 。

二、解答题

11. 证明：当取任何值时，一元二次方程有两个不相等的实数根。

12. 已知、为整数，有两个不相等的实数根；
有两个相等的实数根；没有实数根，求、的值。

B卷

一、填空题

1. 已知方程有两个不相等的实数根，则可以是 。
2. 如果关于的方程没有实数根，那么关于的方程的实数根的个数为 。
3. 是 时，方程有两个不相等的实数根。
4. 是 时，方程有两个相等的实数根。
5. 已知方程无实数根，则的取值范围是 。
6. 是有理数，当 时，方程的根为有理数。
7.关于的一元二次方程的两根相等，则
、、的关系式是 （填“<” “=” 或“>”）。
8. 已知方程有实数根，则方程的根为 。
9. 对于方程，如果方程实根的个数恰为三个，则 。
10. 已知关于的方程有两个实数根，且这两个根的平方和等于1，那么的值为 。

二、解答题

11.判别方程的实根个数，这里、是实数。

12. 若正整数系数二次方程有两个不相等的有理根、，且；又方程与方程有一个公共根，试求的另一个根。

C卷

一、填空题

1. 方程的实数解是 。

2. 已知实数、、满足，则的取值范围是
。
3. 设为整数，且，方程有有理根，则的值为 。
4. 已知关于的方程有实数根，其中为实数，则的值为 。
5. 已知、是实数，满足，则的最大值是 。
6. 设且，那么二次方程的实数根有 个。
7. 已知对任何实数，二次方程都有两个不相等的实数根，则、、之间的关系是 。
8. 已知恰好有一个实数满足方程，则的值为 。

9. 已知关于的一元二次方程有实数根，则 ， 。
10. 已知，则 （填“<” “=” 或“>”）。

二、解答题

11. 已知实数、、满足求证：、、都不大于

12. 当在什么范围内取值时，方程有且只有相异的两实数根？

13. 已知三个关于的方程和，若其中至少有两个方程有实数根，求实数的范围。

14. 设是实数，使得关于的方程有两个不同的实数根
（1） 证明：；
（2） 求的最小值。

第四讲 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
知识点、重点、难点

例题精讲

例1：二次方程的根是正整数，证明：是合数。

例2：设关于的一元二次方程的一根为另一根的倍，试求系数间的关系。

例3：方程的两根是
（1）求的值；
（2） 求作一个新的一元二次方程，使其两根分别等于的倒数的立方。

例4：二次方程的两根为；的两根为，证明：

例5：均是实数，且
证明：中必有一个数大于

例6：为正质数，方程有整数根吗？

习题

A卷

一、填空题

1. 如果方程的两个根是，则 ， 。
2. 若方程有两个正的实数根，则其中系数应满足的条件是 。
3. 关于的一元二次方程的一个根是6，另一根是 。
4. 已知方程的两根的绝对值相等，则这个方程的根是 。
5.已知是关于的方程的两个根，且，则的值是 。
6. 关于的方程的两实数根之积是两实数根之和的2倍， 。
7. 已知是关于的二次方程的两个根，则的值是 。
8. 设方程的一个根的3倍少7为另一个根，则
。
9. 已知方程的一个根是另一个根的4倍，则所满足的关系式是 。
10. 设方程的两根差为1，则的值为 。

二、解答题

11. 已知：关于的方程的两个实数根满足，求的值。

12. 设是方程的两个根，利用韦达定理求下列各式的值：
（1）；（2）；（3）

B卷
一、填空题

1. 已知是方程的两个根，那么 ，
。
2. 已知是方程的两个不相等的实数根，且有，则的取值范围是 。
3. 设方程的两根为，则代数式的值是 。
4. 已知方程的根是正整数，则是 数。
5. 已知，则 。
6. 关于的方程有两个正根，则的取值范围是
。
7. 方程有两个实数根，且每根都大于5，则的取值范围是 。

8. 已知方程的两根分别比方程的两根多2，则为 ，= 。
9. 若方程的两个实数根互为相反数，则 。
10. 已知是正整数，关于的方程有两个小于1的正根，则的值是 ，的值是 。

二、解答题

11. 当为何值时，方程的两根满足：
（1） 都为正根；（2）两根异号，且负根的绝对值大于正根的绝对值；
（3） 两根都大于－1；（4）两根中一个大于－1，另一个小于－1。

12. 已知实数满足，比较的大小关系。

C卷

一、填空题

1.已知方程的两根为，那么方程的两个根的平方和为 。

2. 如果是方程的两实数根，则的最小值是 。
3. 已知方程的两根之差为8，两根的算术平均数是5，则方程的根是 。
4. 已知为方程的两个不相等的实数根，且是负整数，则的值是 。
5. 已知方程的两根之和为，两根平方和为，两根立方和为，则 。
6. 已知方程的根是方程的根，则为 ，为 。
7. 已知实系数方程有两实根，设，且，则的取值范围是 。
8. 已知且，则 。
9. 关于的整系数一元二次方程，两根异号且正根的绝对值小于负根的绝对值，则 。
10. 设是实数且，则的范围是 。

二、解答题

11.关于的一元二次方程一个根为另一根的平方，求证：

12. 已知方程的两个实数根的倒数之和为，求的取值范围。

13. 已知实数满足求证：中有且只有一个不小于

14. 已知方程的两根之比为3：4判别式为，解此方程。

第五讲 一元二次方程的整数根
知识点、重点、难点

例题精讲

例1：当整数为值时，关于的一元二次方程的两个根均为整数。

例2：已知关于的方程的根是整数，求实数的值。

例3：已知关于的一元二次方程有两个整数根，且，求整数的值，并求此两个整数根。

例4：求出所有这样的正整数，使得关于的一元二次方程至少有一个整数根。

例5：证明：不论取什么整数，二次方程没有整数根。

例6：已知整数是某直角三角形的两条直角边长，且满足二次方程求的值及此直角三角形的三边长。

习题

A卷

1. （填：“有”或“没有”）有理根。
2. 关于的方程至少有一个整数根，则整数可取值的个数是 个。
3. 已知为正整数，方程有一个整数根，则 。
4. 满足的整数对共有 对。
5. 关于的方程有两个整数根，则整数的值是
。
6. 关于的方程有两个整数根，则实数的值是
。
7. 若关于的一元二次方程有两个正整数根，则的值是 ，方程的解是 。
8. 设为质数，且方程两个根都是整数，则的值为
。
9. 方程的正整数解的组数是 。
10. 求使关于的二次方程的两根都是整数的所有正数的和是 。

二、解答题

11. 已知方程有两个整数根，求证：（1）两个根中，一个是奇数而另一个是偶数；（2）是负的偶数。
12. 若关于的二次方程有实根，且都是奇数，求证：此方程必有两个无理根。

B卷

一、填空题
1. 关于的方程至少有一个整数根，则整数的值为 。
2. 要使方程的根都是整数，的值应等于 。
3. 关于的方程有两个不相等的整数根，则整数的值为 。
4. 关于的方程至少有一个正整数根，正整数的值为 。
5. 若都是正整数，方程的两根都为质数，则 。
6. 设为正整数，且，若方程的两根均为整数，则 。
7. 关于的方程
①
与 ②
若方程①的两个实数根的平方和等于方程②的一个整数根，则 。
8. 是正整数，且满足，则的最大值是 。
9. 如设，其中为正整数，在0、1之间，则的值是 。

10. 关于的一元二次方程与方程的根都是整数，则的值为 。

二、解答题

11. 已知为整数，求证：关于的方程无整数根。

12. 已知关于的方程的两个根都是正整数，求证：是合数。

13. 一直角三角形的两直角边长均为整数，且满足方程，，试求的值及此直角三角形的三边长。

14. 是否存在这样的二位质数，它的十位数码为，个位数码为，而、使方程有整数根？若不存在，给出证明；若存在，请求出所有这样的质数。

C卷

一、填空题

1. 关于的方程的两根都是整数，则实数可以等于 。
2. 关于的方程对于任意有理数，均有有理根，则实数的值为 。
3. 关于的方程至少有一个整数根，则整数可以是 。
4. 若为整数，且关于的二次方程有两个整数根，则的值为 。
5. 设为整数，且方程的两个不同的正整数根都小于1，则的最小值为 。
6. 当有理数为 时，代数式的值恰为两个连续正偶数的乘积。
7. 已知一元二次方程有两个正整数根，且为整数，则的值为 。
8. 已知为正整数，关于的一元二次方程的两根为质数，则此方程的根为 。
9. 若都是整数，则方程 （填“有”或“没有”）整数根。
10. 如图，正方形内接于，设（是一个两位数），三角形高已知是从小到大的四个连续正整数，则此的面积为 。

二、解答题

11. 是否存在这样的质数，使 方程有有理根？若不存在，给出证明；若存在，请求出所有这样的的值。

12. 关于的二次方程的两根都是整数，求实数的值。

13. 求所有的正整数，使得关于的方程的所有根均为正整数。

14.已知关于的方程有两个正整数根（是整数），的三边满足
求：（1） 的值；（2） 的面积。

第六讲 可化为一元二次方程的分式方程和根式方程
知识点、重点、难点

例题精讲
例1：解方程

例2：解方程

例3：解方程

例4：解方程

例5：解方程

例6：解方程

A卷
1. 如果那么 。

2. 方程的解是 。

3. 方程的解是 。

4. 方程的解是 。

5. 方程的解是 。

6. 方程的解是 。

7. 方程的解是 。

8. 方程的解是 。

9. 方程的解是 。

10. 如果关于的方程的解是正数，则的取值范围是 。

二、解答题
11. 解方程

12. 解方程

B卷
一、填空题

1. 方程 的解是 。

2. 方程的解是 。

3. 方程的解是 。

4. 方程的解是 。

5. 方程的解是 。

6. 方程的所有解的乘积等于 。

7. 方程的一个根是5，则另一个根是 。

8. 方程的解是 。

9. 方程的解是 。

10. 方程只有一个根，则的值为 。

二、解答题
11. 解方程

12. 解方程

C卷
一、填空题
1. 方程的所有根之积是 。

2. 方程的解是 。

3. 若是实数，则方程的解为 。

4. 若方程有两个不等的实数根，则实数的取值范围是 。

5. 方程的解是 。

6. 方程的解是 。

7. 已知关于的方程有一个增根，则该方程的根 ， 。

8. 方程的解是 。

9. 设实数满足，则 ， ， 。

10. 方程的解是 。

二、解答题
11. 解方程

12. 解方程

13. 若代数式的值是1，求的值。

14.若关于的方程只有一个实数根，求的值和相对应的原方程的根。

第七讲 可化为一元二次方程的方程组

知识点、重点、难点

例题精讲

例1：解方程组

例2：解方程组 ①
②

例3：解方程组 ①
②

例4：解方程组

例5：解方程组 ①
②
③

例6：解方程组

习题

A卷

一、填空题

1. 方程组的解得则与的关系是 。

，
2. 方程组的解是 的解是
。
，
3. 方程组 的解是
。

，
4. 方程组 的解是 ，
。

，
5. 方程组 的解是
。

，
6. 方程组 的解是
。

7．某人用一架不等臂天平称一块铁块的质量，当把铁块放在天平左盘时，称得它的质量为0.4千克；当把铁块放在天平右盘时，称得它的质量为0.9千克，那么这一铁块的实际质量是 千克。

8．若方程组的解是正数，则正整数 。

，
9. 方程组 的解是
。

，
4. 方程组 的解是 ，
。

二、解答题

11. 解方程组

12. 已知实数满足
①
②

那么的取值范围是什么？

B卷

一、填空题
，
1. 方程组 的解是
。

，
2. 方程组 的解是
。

，
3. 方程组 的解是
。

4. 已知关于的方程组则代数式 。

5. 已知，且，则 。

6. 已知，则 。

，
7. 方程组 的解是 ，
。

，
8. 方程组 的解是
。

，
9. 方程组 的解是
。
，
10. 方程组 的解是 ，
。

二、解答题

11. 已知方程组当为何值时，方程组只有一组解？

12. 解方程组

C卷

一、填空题

1. 关于的方程组的解为则关于的方程组

，
的解是
。

2.当 时，方程组有两个相同的实数解。

，
3. 方程组 的解是 ，
。

，
4. 方程组 的解是 ，
。
5. 若，则 。

6. 已知是正整数，，则 。
7. 若，则 。

，
8. 方程组 的解是 ，
。

9. 某工程可由若干台机器在规定的时间内完成，如果增加2台机器，则用规定时间的就可以完成；如果减少2台机器，那么就要推迟小时完成．如果用一台机器完成这件工程需 小时。

①
10. 实数满足
②

则 的值是 。

二、解答题

11. 解方程组

①
12. 解方程组 ②
③

13. 某校参加初一“迎春杯”竞赛的甲、乙两班学生共a人，其中甲班平均分为70分，乙班平均分为60分该校总分为740分，问甲、乙两班参赛各多少人？

①
②
14. 实数满足 ③
④
⑤

其中是常数，且，则
的大小顺序是如何排列的？

第九讲 二次函数
知识点、重点、难点
函数 (a、b、c为常数并且a≠0)称为二次函数，其图像称为抛物线，抛物线是轴对称图形。
1.二次函数的形式
（1）一般式a≠0）；
（2）顶点式：（a≠0）；
（3）交点式：，（a≠0，、是方程
的两根）。
2.二次函数的性质
（a≠0）的对称轴为，顶点坐标为
当时，在范围内，单调递减，在
范围内单调递增。当，有最小值，
当时，在范围内，单调递减，在范围内单调递减，当，有最大值，
3.二次函数与二次方程关系
（a≠0） （a≠0） △＝
图像与x轴有二个交点； 方程有两个不同根； △＞0；
图像与x轴有一个交点； 方程有两个相同根； △＝0；
图像与x轴没有交点． 方程没有实数根． △＜0.

例题精讲

例1：已知抛