1、高数有理分式积分法有理函数 rational function 真分式 proper fraction假分式 improper fraction一、一、有理函数的积分有理函数的积分有理函数:时,为假分式;时,为真分式.机动 目录 上页 下页 返回 结束 简单分式:形如的分式.(其中A、a、M、N、p、q为常数)3定理定理.任何一个真分式机动 目录 上页 下页 返回 结束(无公因子)都可分解成若干个简单分式之和,并且(1)若Q(x)=0有k重实根a(即把Q(x)在实数范围内因式分解,含有 因子),则分解时必含有以下的分式:其中为待定系数.(2)若Q(x)=0有一对k重共轭复根 和(即把Q(x)在
2、实数范围内因式分解,含有 因子),则分解时必含有其中为待定系数.4机动 目录 上页 下页 返回 结束 根据上述的结论,一个真分式都可分解成若干个简单分式之和,而这些简单分式不外乎为以下四种类型:于是,求任何一个真分式的不定积分问题,也就转化为求以上四种类型的不定积分.5机动 目录 上页 下页 返回 结束 求四种类型的不定积分：6大家有疑问的，可以询问和交流大家有疑问的，可以询问和交流可以互相讨论下，但要小声点可以互相讨论下，但要小声点可以互相讨论下，但要小声点可以互相讨论下，但要小声点机动 目录 上页 下页 返回 结束 求四种类型的不定积分：上一节例9四种类型的不定积分都为初等函数8机动 目录
3、 上页 下页 返回 结束 有理函数的不定积分：有理函数的不定积分：有理函数相除多项式+真分 式分解其中部分分式的形式为若干部分分式之和结论结论:有理函数的不定积分为初等函数.9例例1.将下列真分式分解为部分分式:解解:(1)用拼凑法机动 目录 上页 下页 返回 结束 10(2)用赋值法故机动 目录 上页 下页 返回 结束 11(3)混合法机动 目录 上页 下页 返回 结束 原式=12例例2.求解解:已知例1(3)目录 上页 下页 返回 结束 13例例3.求解解:原式思考思考:如何求机动 目录 上页 下页 返回 结束 提示提示:变形方法同例3,并利用上一节课件例9.14例例4.求机动 目录 上页
4、 下页 返回 结束 解解:令得 原式15例例5.求求解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便,因此要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法.16例例6.求求解解:原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 17例例7.求求常规 目录 上页 下页 返回 结束 解解:原式(见P348公式21)注意本题技巧注意本题技巧按常规方法较繁按常规方法较繁18例例.求解解:令比较同类项系数,故 原式说明说明:此技巧适用于形为的积分.二二、可化为有理函数的积分举例、可化为有理函数的积分举例设表示三角函数有理式,令万能代换t 的有理函数的积分机动 目录 上
5、页 下页 返回 结束 1.三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分则21例例8.求求解解:令则机动 目录 上页 下页 返回 结束 22机动 目录 上页 下页 返回 结束 23例例9.求求解解:说明说明:通常求含的积分时,往往更方便.的有理式用代换机动 目录 上页 下页 返回 结束 24例例10.求解法解法 1 令原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 25例例10.求求解法解法 2 令原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 26例例11.求求解解:因被积函数关于 cos x 为奇函数,可令原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 272.简单无理函数的积分简单无理函数的积分令令被积函数为简单根式
6、的有理式,可通过根式代换 化为有理函数的积分.例如:机动 目录 上页 下页 返回 结束 令28例例12.求解解:令则原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 29例例13.求解解:为去掉被积函数分母中的根式,取根指数 2,3 的最小公倍数 6,则有原式令机动 目录 上页 下页 返回 结束 30例例14.求解解:令则原式原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 31内容小结内容小结1.可积函数的特殊类型有理函数分解多项式及部分分式之和三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换2.特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定 要注意综合使用基本积分法,简便计算.机动 目录 上页 下页 返回 结束 简便,32思考与练习思考与练习如何求下列积分更简便?解解:1.2.原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 33作业作业P218 1-24第五节 目录 上页 下页 返回 结束 34备用题备用题 1.求不定积分解：解：令则,故机动 目录 上页 下页 返回 结束 分母次数较高,宜使用倒代换.35
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