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人教版中学七年级下册数学期末解答题试题
一、解答题
1．（1）如图1，分别把两个边长为的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形拼成一个大正方形，则大正方形的边长为______；
（2）若一个圆的面积与一个正方形的面积都是，设圆的周长为．正方形的周长为，则______（填“”，或“”，或“”）
（3）如图2，若正方形的面积为，李明同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长和宽之比为，他能裁出吗？请说明理由？

2．如图是一块正方形纸片．
（1）如图1，若正方形纸片的面积为1dm2，则此正方形的对角线AC的长为　 　dm．
（2）若一圆的面积与这个正方形的面积都是2πcm2，设圆的周长为C圆，正方形的周长为C正，则C圆　 　C正(填“＝”或“＜”或“＞”号)
（3）如图2，若正方形的面积为16cm2，李明同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面积为12cm2的长方形纸片，使它的长和宽之比为3：2，他能裁出吗？请说明理由？

3．如图，纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形．

（1）拼成的正方形的面积与边长分别是多少？
（2）如图所示，以数轴的单位长度的线段为边作一个直角三角形，以数轴的-1点为圆心，直角三角形的最大边为半径画弧，交数轴正半轴于点A，那么点A表示的数是多少？点A表示的数的相反数是多少？

（3）你能把十个小正方形组成的图形纸，剪开并拼成正方形吗？若能，请画出示意图，并求它的边长

4．数学活动课上，小新和小葵各自拿着不同的长方形纸片在做数学问题探究．
（1）小新经过测量和计算得到长方形纸片的长宽之比为3：2，面积为30，请求出该长方形纸片的长和宽；
（2）小葵在长方形内画出边长为a，b的两个正方形（如图所示），其中小正方形的一条边在大正方形的一条边上，她经过测量和计算得到长方形纸片的周长为50，阴影部分两个长方形的周长之和为30，由此她判断大正方形的面积为100，间小葵的判断正确吗？请说明理由．

5．求下图的方格中阴影部分正方形面积与边长．

二、解答题
6．已知，，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，作的平分线交于点，点为上一点，连接，若的平分线交线段于点，连接，若，过点作交的延长线于点，且，求的度数．

7．如图1，点在直线上，点在直线上，点在，之间，且满足．
（1）证明：；
（2）如图2，若，，点在线段上，连接，且，试判断与的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，若（为大于等于的整数），点在线段上，连接，若，则______．

8．已知，AB∥CD，点E在CD上，点G，F在AB上，点H在AB，CD之间，连接FE，EH，HG，∠AGH＝∠FED，FE⊥HE，垂足为E．
（1）如图1，求证：HG⊥HE；
（2）如图2，GM平分∠HGB，EM平分∠HED，GM，EM交于点M，求证：∠GHE＝2∠GME；

（3）如图3，在（2）的条件下，FK平分∠AFE交CD于点K，若∠KFE：∠MGH＝13：5，求∠HED的度数．

9．已知：如图（1）直线AB、CD被直线MN所截，∠1＝∠2．

（1）求证：AB//CD；
（2）如图（2），点E在AB，CD之间的直线MN上，P、Q分别在直线AB、CD上，连接PE、EQ，PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，则∠PEQ和∠PFQ之间有什么数量关系，请直接写出你的结论；
（3）如图（3），在（2）的条件下，过P点作PH//EQ交CD于点H，连接PQ，若PQ平分∠EPH，∠QPF：∠EQF＝1：5，求∠PHQ的度数．
10．已知，如图1，射线PE分别与直线AB，CD相交于E、F两点，∠PFD的平分线与直线AB相交于点M，射线PM交CD于点N，设∠PFM＝α°，∠EMF＝β°，且（40﹣2α）2＋|β﹣20|＝0

（1）α＝　　，β＝　　；直线AB与CD的位置关系是　 　；
（2）如图2，若点G、H分别在射线MA和线段MF上，且∠MGH＝∠PNF，试找出∠FMN与∠GHF之间存在的数量关系，并证明你的结论；
（3）若将图中的射线PM绕着端点P逆时针方向旋转（如图3），分别与AB、CD相交于点M1和点N1时，作∠PM1B的角平分线M1Q与射线FM相交于点Q，问在旋转的过程中的值是否改变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．
三、解答题
11．如图，以直角三角形的直角顶点为原点，以、所在直线为轴和轴建立平面直角坐标系，点，满足．

（1）点的坐标为______；点的坐标为______．
（2）如图1，已知坐标轴上有两动点、同时出发，点从点出发沿轴负方向以1个单位长度每秒的速度匀速移动，点从点出发以2个单位长度每秒的速度沿轴正方向移动，点到达点整个运动随之结束．的中点的坐标是，设运动时间为．问：是否存在这样的，使？若存在，请求出的值：若不存在，请说明理由．
（3）如图2，过作，作交于点，点是线段上一动点，连交于点，当点在线段上运动的过程中，的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值：若变化，请说明理由．
12．已知：三角形ABC和三角形DEF位于直线MN的两侧中，直线MN经过点C，且，其中，，，点E、F均落在直线MN上．

（1）如图1，当点C与点E重合时，求证：；聪明的小丽过点C作，并利用这条辅助线解决了问题．请你根据小丽的思考，写出解决这一问题的过程．
（2）将三角形DEF沿着NM的方向平移，如图2，求证：；
（3）将三角形DEF沿着NM的方向平移，使得点E移动到点，画出平移后的三角形DEF，并回答问题，若，则________．（用含的代数式表示）
13．如图，已知是直线间的一点，于点交于点．

（1）求的度数；
（2）如图2，射线从出发，以每秒的速度绕P点按逆时针方向旋转，当垂直时，立刻按原速返回至后停止运动：射线从出发，以每秒的速度绕E点按逆时针方向旋转至后停止运动，若射线，射线同时开始运动，设运动间为t秒．
①当时，求的度数；
②当时，求t的值．
14．如图1，E点在BC上，∠A＝∠D，AB∥CD．
（1）直接写出∠ACB和∠BED的数量关系　 　；
（2）如图2，BG平分∠ABE，与∠CDE的邻补角∠EDF的平分线交于H点．若∠E比∠H大60°，求∠E；
（3）保持（2）中所求的∠E不变，如图3，BM平分∠ABE的邻补角∠EBK，DN平分∠CDE，作BP∥DN，则∠PBM的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说理由．

15．如图所示，已知，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分和，分别交射线AM于点C、D，且
（1）求的度数．
（2）当点P运动时，与之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．
（3）当点P运动到使时，求的度数．

四、解答题
16．如图，直线，、是、上的两点，直线与、分别交于点、，点是直线上的一个动点（不与点、重合），连接、．

（1）当点与点、在一直线上时，，，则_____．
（2）若点与点、不在一直线上，试探索、之间的关系，并证明你的结论．
17．如图，直线m与直线n互相垂直，垂足为O、A、B两点同时从点O出发，点A沿直线m向左运动，点B沿直线n向上运动．
(1)若∠BAO和∠ABO的平分线相交于点Q，在点A，B的运动过程中，∠AQB的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值，若发生变化，请说明理由．
(2)若AP是∠BAO的邻补角的平分线，BP是∠ABO的邻补角的平分线，AP、BP相交于点P，AQ的延长线交PB的延长线于点C，在点A，B的运动过程中，∠P和∠C的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出∠P和∠C的度数；若发生变化，请说明理由．

18．己知:如图①，直线直线，垂足为，点在射线上，点在射线上(、不与点重合)，点在射线上且，过点作直线.点在点的左边且

(1)直接写出的面积 ;
(2)如图②，若，作的平分线交于，交于，试说明;

(3)如图③，若，点在射线上运动，的平分线交的延长线于点,在点运动过程中的值是否变化?若不变，求出其值;若变化，求出变化范围.
19．操作示例：如图1，在△ABC中，AD为BC边上的中线，△ABD的面积记为S1，△ADC的面积记为S2．则S1=S2．

解决问题：在图2中，点D、E分别是边AB、BC的中点，若△BDE的面积为2，则四边形ADEC的面积为 .
拓展延伸：
（1）如图3，在△ABC中，点D在边BC上，且BD=2CD，△ABD的面积记为S1，△ADC的面积记为S2．则S1与S2之间的数量关系为 ．
（2）如图4，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，连接BE、CD交于点O，且BO=2EO，CO=DO，若△BOC的面积为3，则四边形ADOE的面积为 .
20．如图①所示，在三角形纸片中，，，将纸片的一角折叠，使点落在内的点处.
（1）若，________.
（2）如图①，若各个角度不确定，试猜想，，之间的数量关系，直接写出结论.
②当点落在四边形外部时（如图②），（1）中的猜想是否仍然成立？若成立，请说明理由，若不成立，，，之间又存在什么关系？请说明．

（3）应用：如图③：把一个三角形的三个角向内折叠之后，且三个顶点不重合，那么图中的和是________.
【参考答案】
一、解答题
1．（1）；（2）＜；（3）不能，理由见解析
【分析】
（1）根据所拼成的大正方形的面积为2即可求得大正方形的边长；
（2）由圆和正方形的面积公式可分别求的圆的半径及正方形的边长，进而可求得圆和正方形的
解析：（1）；（2）＜；（3）不能，理由见解析
【分析】
（1）根据所拼成的大正方形的面积为2即可求得大正方形的边长；
（2）由圆和正方形的面积公式可分别求的圆的半径及正方形的边长，进而可求得圆和正方形的周长，利用作商法比较这两数大小即可；
（3）利用方程思想求出长方形的长边，与正方形边长比较大小即可；
【详解】
解：（1）∵小正方形的边长为1cm，
∴小正方形的面积为1cm2，
∴两个小正方形的面积之和为2cm2，
即所拼成的大正方形的面积为2 cm2，
设大正方形的边长为xcm，
∴ ，
∴
∴大正方形的边长为cm；
（2）设圆的半径为r，
∴由题意得，
∴，
∴，
设正方形的边长为a
∵，
∴，
∴，
∴
故答案为：＜；
（3）解：不能裁剪出，理由如下：
∵正方形的面积为900cm2，
∴正方形的边长为30cm
∵长方形纸片的长和宽之比为，
∴设长方形纸片的长为，宽为，
则，
整理得：，
∴，
∴，
∴，
∴长方形纸片的长大于正方形的边长，
∴不能裁出这样的长方形纸片．
【点睛】
本题通过圆和正方形的面积考查了对算术平方根的应用，主要是对学生无理数运算及比较大小进行了考查．
2．（1）；（2）＜；（3）不能；理由见解析．
【分析】
（1）由正方形面积，易求得正方形边长，再由勾股定理求对角线长；
（2）由圆面积公式，和正方形面积可求周长，比较两数大小可以采用比商法；
（3）采
解析：（1）；（2）＜；（3）不能；理由见解析．
【分析】
（1）由正方形面积，易求得正方形边长，再由勾股定理求对角线长；
（2）由圆面积公式，和正方形面积可求周长，比较两数大小可以采用比商法；
（3）采用方程思想求出长方形的长边，与正方形边长比较大小即可.
【详解】
解：（1）由已知AB2＝1，则AB＝1，
由勾股定理，AC＝；
故答案为：.
（2）由圆面积公式，可得圆半径为，周长为，正方形周长为4．
；即C圆的进行算术平方根的计算与无理数大小比较是解题的关键.
3．（1）5；；（2）；；（3）能，．
【分析】
（1）易得5个小正方形的面积的和，那么就得到了大正方形的面积，求得面积的算术平方根即可为大正方形的边长．
（2）求出斜边长即可．
（3）一共有10个小正
解析：（1）5；；（2）；；（3）能，．
【分析】
（1）易得5个小正方形的面积的和，那么就得到了大正方形的面积，求得面积的算术平方根即可为大正方形的边长．
（2）求出斜边长即可．
（3）一共有10个小正方形，那么组成的大正方形的面积为10，边长为10的算术平方根，画图．
【详解】
试题分析：
解：（1）拼成的正方形的面积与原面积相等1×1×5=5，
边长为，
如图（1）

（2）斜边长=，
故点A表示的数为：；点A表示的相反数为：
（3）能，如图

拼成的正方形的面积与原面积相等1×1×10=10，边长为．
考点：1．作图—应用与设计作图；2．图形的剪拼．
4．（1）长为，宽为；（2）正确，理由见解析
【分析】
（1）设长为3x，宽为2x，根据长方形的面积为30列方程，解方程即可；
（2）根据长方形纸片的周长为50，阴影部分两个长方形的周长之和为30列方程
解析：（1）长为，宽为；（2）正确，理由见解析
【分析】
（1）设长为3x，宽为2x，根据长方形的面积为30列方程解方程即可；
（2）根据长方形纸片的周长为50，阴影部分两个长方形的周长之和为30列方程组，解方程组求出a即可得到大正方形的面积．
【详解】
解：（1）设长为3x，宽为2x，
则：3x•2x=30，
∴x=（负值舍去），
∴3x=，2x=，
答：这个长方形纸片的长为，宽为；
（2）正确．理由如下：
根据题意得：，
解得：，
∴大正方形的面积为102=100．
【点睛】
本题考查了算术平方根，二元一次方程组，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元方程是解题的关键．
5．8；
【分析】
用大正方形的面积减去4个小直角三角形的面积可得到所求的正方形的面积为8，然后利用正方形面积公式求8的算术平方根即可．
【详解】
解：正方形面积=4×4-4××2×2=8；
正方形的边
解析：8；
【分析】
用大正方形的面积减去4个小直角三角形的面积可得到所求的正方形的面积为8，然后利用正方形面积公式求8的算术平方根即可．
【详解】
解：正方形面积=4×4-4××2×2=8；
正方形的边长==．
【点睛】
本题考查了算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．
二、解答题
6．（1）见解析；（2）
【分析】
（1）根据平行线的性质得出，再根据等量代换可得，最后根据平行线的判定即可得证；
（2）过点E作，延长DC至Q，过点M作，根据平行线的性质及等量代换可得出，再根据平角的
解析：（1）见解析；（2）
【分析】
（1）根据平行线的性质得出，再根据等量代换可得，最后根据平行线的判定即可得证；
（2）过点E作，延长DC至Q，过点M作，根据平行线的性质及等量代换可得出，再根据平角的含义得出，然后根据平行线的性质及角平分线的定义可推出；设，根据角的和差可得出，结合已知条件可求得，最后根据垂线的含义及平行线的性质，即可得出答案．
【详解】
（1）证明：

；
（2）过点E作，延长DC至Q，过点M作

，，，

AF平分

FH平分

设

，

．
【点睛】
本题考查了平行线的判定及性质，角平分线的定义，能灵活根据平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键．
7．（1）见解析；（2）见解析；（3）n-1
【分析】
（1）连接AB，根据已知证明∠MAB+∠SBA=180°，即可得证；
（2）作CF∥ST，设∠CBT=α，表示出∠CAN，∠ACF，∠BCF，根据
解析：（1）见解析；（2）见解析；（3）n-1
【分析】
（1）连接AB，根据已知证明∠MAB+∠SBA=180°，即可得证；
（2）作CF∥ST，设∠CBT=α，表示出∠CAN，∠ACF，∠BCF，根据AD∥BC，得到∠DAC=120°，求出∠CAE即可得到结论；
（3）作CF∥ST，设∠CBT=β，得到∠CBT=∠BCF=β，分别表示出∠CAN和∠CAE，即可得到比值．
【详解】
解：（1）如图，连接，
，
，
，
，

（2），
理由：作，则 如图，

设，则．
，，
，，
．
即．
（3）作，则 如图，设，则．

，
，
，
，
，
故答案为．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质和判定，解题关键是角度的灵活转换，构建数量关系式．
8．（1）见解析；（2）见解析；（340°
【分析】
（1）根据平行线的性质和判定解答即可；
（2）过点H作HP∥AB，根据平行线的性质解答即可；
（3）过点H作HP∥AB，根据平行线的性质解答即可．
解析：（1）见解析；（2）见解析；（3）40°
【分析】
（1）根据平行线的性质和判定解答即可；
（2）过点H作HP∥AB，根据平行线的性质解答即可；
（3）过点H作HP∥AB，根据平行线的性质解答即可．
【详解】
证明：（1）∵AB∥CD，
∴∠AFE＝∠FED，
∵∠AGH＝∠FED，
∴∠AFE＝∠AGH，
∴EF∥GH，
∴∠FEH+∠H＝180°，
∵FE⊥HE，
∴∠FEH＝90°
∴∠H＝180°﹣∠FEH＝90°，
∴HG⊥HE；
（2）过点M作MQ∥AB，

∵AB∥CD，
∴MQ∥CD，
过点H作HP∥AB，
∵AB∥CD，
∴HP∥CD，
∵GM平分∠HGB，
∴∠BGM＝∠HGM＝∠BGH，
∵EM平分∠HED，
∴∠HEM＝∠DEM＝∠HED，
∵MQ∥AB，
∴∠BGM＝∠GMQ，
∵MQ∥CD，
∴∠QME＝∠MED，
∴∠GME＝∠GMQ+∠QME＝∠BGM+∠MED，
∵HP∥AB，
∴∠BGH＝∠GHP＝2∠BGM，
∵HP∥CD，
∴∠PHE＝∠HED＝2∠MED，
∴∠GHE＝∠GHP+∠PHE＝2∠BGM+2∠MED＝2（∠BGM+∠MED），
∴∠GHE＝∠2GME；
（3）过点M作MQ∥AB，过点H作HP∥AB，

由∠KFE：∠MGH＝13：5，设∠KFE＝13x，∠MGH＝5x，
由（2）可知：∠BGH＝2∠MGH＝10x，
∵∠AFE+∠BFE＝180°，
∴∠AFE＝180°﹣10x，
∵FK平分∠AFE，
∴∠AFK＝∠KFE＝ ∠AFE，
即，
解得：x＝5°，
∴∠BGH＝10x＝50°，
∵HP∥AB，HP∥CD，
∴∠BGH＝∠GHP＝50°，∠PHE＝∠HED，
∵∠GHE＝90°，
∴∠PHE＝∠GHE﹣∠GHP＝90°﹣50°＝40°，
∴∠HED＝40°．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质定理以及灵活构造平行线是解题的关键．
9．（1）见解析；（2）∠PEQ+2∠PFQ＝360°；（3）30°
【分析】
（1）首先证明∠1＝∠3，易证得AB//CD；
（2）如图2中，∠PEQ+2∠PFQ＝360°．作EH//AB．理由平行线
解析：（1）见解析；（2）∠PEQ+2∠PFQ＝360°；（3）30°
【分析】
（1）首先证明∠1＝∠3，易证得AB//CD；
（2）如图2中，∠PEQ+2∠PFQ＝360°．作EH//AB．理由平行线的性质即可证明；
（3）如图3中，设∠QPF＝y，∠PHQ＝x．∠EPQ＝z，则∠EQF＝∠FQH＝5y，想办法构建方程即可解决问题；
【详解】
（1）如图1中，

∵∠2＝∠3，∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴AB//CD．
（2）结论：如图2中，∠PEQ+2∠PFQ＝360°．
理由：作EH//AB．

∵AB//CD，EH//AB，
∴EH//CD，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠2+∠3＝∠1+∠4，
∴∠PEQ＝∠1+∠4，
同法可证：∠PFQ＝∠BPF+∠FQD，
∵∠BPE＝2∠BPF，∠EQD＝2∠FQD，∠1+∠BPE＝180°，∠4+∠EQD＝180°，
∴∠1+∠4+∠EQD+∠BPE＝2×180°，
即∠PEQ+2(∠FQD+∠BPF)=360°，
∴∠PEQ+2∠PFQ＝360°．
（3）如图3中，设∠QPF＝y，∠PHQ＝x．∠EPQ＝z，则∠EQF＝∠FQH＝5y，

∵EQ//PH，
∴∠EQC＝∠PHQ＝x，
∴x+10y＝180°，
∵AB//CD，
∴∠BPH＝∠PHQ＝x，
∵PF平分∠BPE，
∴∠EPQ+∠FPQ＝∠FPH+∠BPH，
∴∠FPH＝y+z﹣x，
∵PQ平分∠EPH，
∴Z＝y+y+z﹣x，
∴x＝2y，
∴12y＝180°，
∴y＝15°，
∴x＝30°，
∴∠PHQ＝30°．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义等知识．（2）中能正确作出辅助线是解题的关键；（3）中能熟练掌握相关性质，找到角度之间的关系是解题的关键．
10．（1）20，20，；（2）；（3）的值不变，
【分析】
（1）根据，即可计算和的值，再根据内错角相等可证；
（2）先根据内错角相等证，再根据同旁内角互补和等量代换得出；
（3）作的平分线交的延长线于
解析：（1）20，20，；（2）；（3）的值不变，
【分析】
（1）根据，即可计算和的值，再根据内错角相等可证；
（2）先根据内错角相等证，再根据同旁内角互补和等量代换得出；
（3）作的平分线交的延长线于先根据同位角相等证，得，设，，得出，即可得．
【详解】
解：（1），
，，
，
，，
，
；
故答案为：20、20，；
（2）；
理由：由（1）得，
，
，
，
，
，
，
；
（3）的值不变，；
理由：如图3中，作的平分线交的延长线于，
，
，
，，
，
，

，
设，，
则有：，
可得，
，
．
【点睛】
本题主要考查平行线的判定与性质，熟练掌握内错角相等证平行，平行线同旁内角互补等知识是解题的关键．
三、解答题
11．（1），；（2）1；（3）不变，值为2
【分析】
（1）根据绝对值和算术平方根的非负性，求得a，b的值，再利用中点坐标公式即可得出答案；
（2）先得出CP=t，OP=2-t，OQ=2t，AQ=4-
解析：（1），；（2）1；（3）不变，值为2
【分析】
（1）根据绝对值和算术平方根的非负性，求得a，b的值，再利用中点坐标公式即可得出答案；
（2）先得出CP=t，OP=2-t，OQ=2t，AQ=4-2t，再根据S△ODP=S△ODQ，列出关于t的方程，求得t的值即可；
（3）过H点作AC的平行线，交x轴于P，先判定OG∥AC，再根据角的和差关系以及平行线的性质，得出∠PHO=∠GOF=∠1+∠2，∠OHC=∠OHP+∠PHC=∠GOF+∠4=∠1+∠2+∠4，最后代入进行计算即可．
【详解】
解：（1）∵+|b-2|=0，
∴a-2b=0，b-2=0， 解得a=4，b=2，
∴A（0，4），C（2，0）．
（2）存在， 理由：如图1中，D（1，2），

由条件可知：P点从C点运动到O点时间为2秒，Q点从O点运动到A点时间为2秒，
∴0＜t≤2时，点Q在线段AO上， 即 CP=t，OP=2-t，OQ=2t，AQ=4-2t，
∴S△DOP=•OP•yD=（2-t）×2=2-t，S△DOQ=•OQ•xD=×2t×1=t，
∵S△ODP=S△ODQ，
∴2-t=t，
∴t=1．
（3）结论：的值不变，其值为2．理由如下：如图2中，

∵∠2+∠3=90°， 又∵∠1=∠2，∠3=∠FCO，
∴∠GOC+∠ACO=180°，
∴OG∥AC，
∴∠1=∠CAO，
∴∠OEC=∠CAO+∠4=∠1+∠4，
如图，过H点作AC的平行线，交x轴于P，则∠4=∠PHC，PH∥OG，
∴∠PHO=∠GOF=∠1+∠2，
∴∠OHC=∠OHP+∠PHC=∠GOF+∠4=∠1+∠2+∠4，
∴=2．
【点睛】
本题主要考查三角形综合题、非负数的性质、三角形的面积、平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题．
12．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；．
【分析】
（1）过点C作，得到，再根据，，得到，进而得到，最后证明；
（2）先证明，再证明，得到，问题得证；
（3）根据题意得到，根据（２）结论得到∠D
解析：（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；．
【分析】
（1）过点C作，得到，再根据，，得到，进而得到，最后证明；
（2）先证明，再证明，得到，问题得证；
（3）根据题意得到，根据（２）结论得到∠DEF=∠ECA=，进而得到，根据三角形内角和即可求解．
【详解】
解：（1）过点C作，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，，
又，
，
，
，
，
，
；
（3）如图三角形DEF即为所求作三角形．

∵，
∴，
由（2）得，DE∥AC，
∴∠DEF=∠ECA=，
∵，
∴∠ACB=，
∴ ，
∴∠A=180°-=．
故答案为为：．
【点睛】
本题考查了平行线的判定，三角形的内角和等知识，综合性较强，熟练掌握相关知识，根据题意画出图形是解题关键．
13．（1）；（2）①或；②秒或或秒
【分析】
（1）通过延长作辅助线，根据平行线的性质，得到，再根据外角的性质可计算得到结果；
（2）①当时，分两种情况，Ⅰ当在和之间，Ⅱ当在和之间，由，计算出的运动时间
解析：（1）；（2）①或；②秒或或秒
【分析】
（1）通过延长作辅助线，根据平行线的性质，得到，再根据外角的性质可计算得到结果；
（2）①当时，分两种情况，Ⅰ当在和之间，Ⅱ当在和之间，由，计算出的运动时间，根据运动时间可计算出，由已知可计算出的度数；
②根据题意可知，当时，分三种情况，
Ⅰ射线由逆时针转动，，根据题意可知，，再平行线的性质可得，再根据三角形外角和定理可列等量关系，求解即可得出结论；
Ⅱ射线垂直时，再顺时针向运动时，，根据题意可知，，，，可计算射线的转动度数，再根据转动可列等量关系，即可求出答案；
Ⅲ射线垂直时，再顺时针向运动时，，根据题意可知，，，根据（1）中结论，，，可计算出与代数式，再根据平行线的性质，可列等量关系，求解可得出结论．
【详解】
解：（1）延长与相交于点，
如图1，
，
，
，
；

（2）①Ⅰ如图2，
，，
，
射线运动的时间（秒，
射线旋转的角度，
又，
；

Ⅱ如图3所示，
，，
，
射线运动的时间（秒，
射线旋转的角度，
又，
；
的度数为或；

②Ⅰ当由运动如图4时，
与相交于点，
根据题意可知，经过秒，
，，
，
，
又，
，
解得（秒；

Ⅱ当运动到，再由运动到如图5时，
与相交于点，
根据题意可知，经过秒，
，
，
，，
运动的度数可得，，
解得；

Ⅲ当由运动如图6时，，
根据题意可知，经过秒，
，，
，，
，，
又，
，
，
解得（秒），
当的值为秒或或秒时，．

【点睛】
本题主要考查平行线性质，合理添加辅助线和根据题意画出相应的图形时解决本题的关键．
14．（1）∠ACB+∠BED=180°；（2）100°；（3）40°
【分析】
（1）如图1，延长DE交AB于点F，根据ABCD可得∠DFB=∠D，则∠DFB=∠A，可得ACDF，根据平行线的性质得∠A
解析：（1）∠ACB+∠BED=180°；（2）100°；（3）40°
【分析】
（1）如图1，延长DE交AB于点F，根据ABCD可得∠DFB=∠D，则∠DFB=∠A，可得ACDF，根据平行线的性质得∠ACB+∠CEF=180°，由对顶角相等可得结论；
（2）如图2，作EMCD，HNCD，根据ABCD，可得ABEMHNCD，根据平行线的性质得角之间的关系，再根据∠DEB比∠DHB大60°，列出等式即可求∠DEB的度数；
（3）如图3，过点E作ESCD，设直线DF和直线BP相交于点G，根据平行线的性质和角平分线定义可求∠PBM的度数．
【详解】
解：（1）如图1，延长交于点，

，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）如图2，作，，

，
，
，，
平分，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
设，
，
比大，
，
，
解得．
的度数为；
（3）的度数不变，理由如下：
如图3，过点作，设直线和直线相交于点，

平分，平分，
，
，
，，
，
，
，
，
由（2）可知：，
，
，
，
，
，

．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质．
15．（1）；（2）不变化，，理由见解析；（3）
【分析】
（1）结合题意，根据角平分线的性质，得；再根据平行线的性质计算，即可得到答案；
（2）根据平行线的性质，得，；结合角平分线性质，得，即可完成求解
解析1）；（2）不变化，，理由见解析；（3）
【分析】
（1）结合题意，根据角平分线的性质，得；再根据平行线的性质计算，即可得到答案；
（2）根据平行线的性质，得，；结合角平分线性质，得，即可完成求解；
（3）根据平行线的性质，得；结合，推导得；再结合（1）的结论计算，即可得到答案．
【详解】
（1）∵BC，BD分别评分和，
∴，
∴
又∵，
∴
∵，
∴
∴；
（2）∵，
∴，
又∵BD平分
∴，
∴；
∴与之间的数量关系保持不变；
（3）∵，
∴
又∵，
∴，
∵
∴
由（1）可得，
∴．
【点睛】
本题考查了角平分线、平行线的知识解题的关键是熟练掌握角平分线、平行线的性质，从而完成求解．
四、解答题
16．（1）120°；（2）∠EPF =∠AEP+∠CFP或∠AEP=∠EPF+∠CFP，证明见详解．
【分析】
（1）根据题意，当点与点、在一直线上时，作出图形，由AB∥CD，∠FHP=60°，可以推出
解析：（1）120°；（2）∠EPF =∠AEP+∠CFP或∠AEP=∠EPF+∠CFP，证明见详解．
【分析】
（1）根据题意，当点与点、在一直线上时，作出图形，由AB∥CD，∠FHP=60°，可以推出=60°，计算∠PFD即可；
（2）根据点P是动点，分三种情况讨论：①当点P在AB与CD之间时；②当点P在AB上方时；③当点P在CD下方时，分别求出∠AEP、∠EPF、∠CFP之间的关系即可．
【详解】
（1）当点与点、在一直线上时，作图如下，
∵AB∥CD，∠FHP=60°，，
∴=∠FHP=60°，
∴∠EFD=180°-∠GEP=180°-60°=120°，
∴∠PFD=120°，
故答案为：120°；

（2）满足关系式为∠EPF =∠AEP+∠CFP或∠AEP=∠EPF+∠CFP．
证明：根据点P是动点，分三种情况讨论：
①当点P在AB与CD之间时，
过点P作PQ∥AB，如下图，
∵AB∥CD，
∴PQ∥AB∥CD，
∴∠AEP=∠EPQ，∠CFP=∠FPQ，
∴∠EPF=∠EPQ+∠FPQ=∠AEP+∠CFP，
即∠EPF =∠AEP+∠CFP；

②当点P在AB上方时，如下图所示，
∵∠AEP=∠EPF+∠EQP，
∵AB∥CD，
∴∠CFP=∠EQP，
∴∠AEP=∠EPF+∠CFP；

③当点P在CD下方时，
∵AB∥CD，
∴∠AEP=∠EQF，
∴∠EQF=∠EPF+∠CFP，
∴∠AEP=∠EPF+∠CFP，

综上所述，∠AEP、∠EPF、∠CFP之间满足的关系式为：∠EPF =∠AEP+∠CFP或∠AEP=∠EPF+∠CFP，
故答案为：∠EPF =∠AEP+∠CFP或∠AEP=∠EPF+∠CFP．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，外角的性质，掌握平行线的性质是解题的关键，注意分情况讨论问题．
17．(1)∠AQB的大小不发生变化，∠AQB＝135°；(2)∠P和∠C的大小不变，∠P=45°，∠C=45°.
【分析】
第(1)题因垂直可求出∠ABO与∠BAO的和，由角平分线和角的和差可求出∠BA
解析：(1)∠AQB的大小不发生变化，∠AQB＝135°；(2)∠P和∠C的大小不变，∠P=45°，∠C=45°.
【分析】
第(1)题因垂直可求出∠ABO与∠BAO的和，由角平分线和角的和差可求出∠BAQ与∠ABQ的和，最后在△ABQ中，根据三角形的内角各定理可求∠AQB的大小．
第(2)题求∠P的大小，用邻补角、角平分线、平角、直角和三角形内角和定理等知识求解．
【详解】
解：(1)∠AQB的大小不发生变化，如图1所示，其原因如下：

∵m⊥n，
∴∠AOB＝90°，
∵在△ABO中，∠AOB+∠ABO+∠BAO＝180°，
∴∠ABO+∠BAO＝90°，
又∵AQ、BQ分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，
∴∠BAQ＝∠BAC，∠ABQ＝∠ABO,
∴∠BAQ+∠ABQ＝ (∠ABO+∠BAO)＝
又∵在△ABQ中，∠BAQ+∠ABQ+∠AQB＝180°，
∴∠AQB＝180°﹣45°＝135°．
(2)如图2所示：

①∠P的大小不发生变化，其原因如下：
∵∠ABF+∠ABO＝180°，∠EAB+∠BAO＝180°
∠BAQ+∠ABQ＝90°，
∴∠ABF+∠EAB＝360°﹣90°＝270°，
又∵AP、BP分别是∠BAE和∠ABP的角平分线，
∴∠PAB＝∠EAB，∠PBA＝∠ABF，
∴∠PAB+∠PBA＝ (∠EAB+∠ABF)＝×270°＝135°，
又∵在△PAB中，∠P+∠PAB+∠PBA＝180°，
∴∠P＝180°﹣135°＝45°．
②∠C的大小不变，其原因如下：
∵∠AQB＝135°，∠AQB+∠BQC＝180°，
∴∠BQC＝180°﹣135°，
又∵∠FBO＝∠OBQ+∠QBA+∠ABP+∠PBF＝180°
∠ABQ＝∠QBO＝∠ABO，∠PBA＝∠PBF＝∠ABF，
∴∠PBQ＝∠ABQ+∠PBA＝90°，
又∵∠PBC＝∠PBQ+∠CBQ＝180°，
∴∠QBC＝180°﹣90°＝90°．
又∵∠QBC+∠C+∠BQC＝180°，
∴∠C＝180°﹣90°﹣45°＝45°
【点睛】
本题考查三角形内角和定理，垂直，角平分线，平角，直角和角的和差等知识点，同时，也是一个以静求动的一个点型题目，有益于培养学生的思维几何综合题．
18．(1)3; (2)见解析; (3)见解析
【详解】
分析：（1）因为△BCD的高为OC，所