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×××大学线性代数期末考试题

一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分）
1. 若，则__________。
2．若齐次线性方程组只有零解，则应满足 。
3．已知矩阵，满足，则与分别是 阶矩阵。
4．矩阵的行向量组线性 。
5．阶方阵满足，则 。
二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分）
1. 若行列式中每个元素都大于零，则。（ ）
2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ）
3. 向量组中，如果与对应的分量成比例，则向量组线性相关。（ ）
4. ，则。（ ）
5. 若为可逆矩阵的特征值，则的特征值为。 ( )
三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分)
1. 设为阶矩阵，且，则（ ）。
① ② ③ ④ 4
2. 维向量组 （3 £ s £ n）线性无关的充要条件是（ ）。
① 中任意两个向量都线性无关
② 中存在一个向量不能用其余向量线性表示
③ 中任一个向量都不能用其余向量线性表示
④ 中不含零向量
3. 下列命题中正确的是( )。
① 任意个维向量线性相关
② 任意个维向量线性无关
③ 任意个 维向量线性相关
④ 任意个 维向量线性无关
4. 设，均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。
① 若，均可逆，则可逆 ② 若，均可逆，则 可逆
③ 若可逆，则 可逆 ④ 若可逆，则 ，均可逆
5. 若是线性方程组的基础解系，则是的（ ）
① 解向量 ② 基础解系 ③ 通解 ④ A的行向量
四、计算题 ( 每小题9分，共63分)
1. 计算行列式。
解·

2. 设，且 求。
解. ，

3. 设 且矩阵满足关系式 求。

4. 问取何值时，下列向量组线性相关？。

5. 为何值时，线性方程组有唯一解，无解和有无穷多解？当方程组有无穷多解时求其通解。
① 当且时，方程组有唯一解；
②当时方程组无解
③当时，有无穷多组解，通解为

6. 设 求此向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。

7. 设，求的特征值及对应的特征向量。
五、证明题 (7分)
若是阶方阵，且 证明 。其中为单位矩阵。

×××大学线性代数期末考试题答案

一、填空题
1. 5 2. 3. 4. 相关
5.
二、判断正误
1. × 2. √ 3. √ 4. √ 5. ×
三、单项选择题
1. ③ 2. ③ 3. ③ 4. ② 5. ①
四、计算题
1.

2.
，

3.

4.
当或时，向量组线性相关。

5.
① 当且时，方程组有唯一解；
②当时方程组无解
③当时，有无穷多组解，通解为
6.

则 ，其中构成极大无关组，
7.

特征值，对于λ1＝1，，特征向量为
五、证明题

∴， ∵

一、选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分。每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1、设，为n阶方阵，满足等式，则必有（ ）
(A)或; (B)； （C）或; (D)。
2、和均为阶矩阵，且，则必有（ ）
(A) ； (B)； （C） . (D) 。
3、设为矩阵，齐次方程组仅有零解的充要条件是（ ）
(A) 的列向量线性无关； (B) 的列向量线性相关；
（C） 的行向量线性无关； (D) 的行向量线性相关.
4、 阶矩阵为奇异矩阵的充要条件是（ ）
(A) 的秩小于； (B) ；
(C) 的特征值都等于零； (D) 的特征值都不等于零；
二、填空题（本题共4小题，每题4分，满分16分）
5、若4阶矩阵的行列式，是A的伴随矩阵，则= 。
6、为阶矩阵，且，则 。
7、已知方程组无解，则 。
8、二次型是正定的，则的取值范围是 。
三、计算题（本题共2小题，每题8分，满分16分）
9、计算行列式

10、计算阶行列式

四、证明题（本题共2小题，每小题8分，满分16分。写出证明过程）
11、若向量组线性相关，向量组线性无关。证明：
(1) 能有线性表出；
(2) 不能由线性表出。

12、设是阶矩方阵，是阶单位矩阵，可逆，且。
证明
（1） ；
（2） 。

五、解答题（本题共3小题，每小题12分，满分32分。解答应写出文字说明或演算步骤）
13、设，求一个正交矩阵使得为对角矩阵。

14、已知方程组与方程组有公共解。
求的值。

15、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知，，是它的三个解向量，且
，
求该方程组的通解。
解答和评分标准
一、选择题
1、C； 2、D； 3、A； 4、A。
二、填空题
5、-125; 6、； 7、-1； 8、。
三、计算题
9、解：第一行减第二行，第三行减第四行得：

第二列减第一列，第四列减第三列得： （4分）
按第一行展开得

按第三列展开得
。 （4分）

10、解：把各列加到第一列，然后提取第一列的公因子，再通过行列式的变换化为上三角形行列式
（4分）

（4分）
四、证明题
11、证明：
(1)、 因为线性无关，所以线性无关。，
又线性相关，故能由线性表出。 (4分)
，
（2）、（反正法）若不，则能由线性表出，
不妨设。
由（1）知，能由线性表出，
不妨设。
所以，
这表明线性相关，矛盾。
12、证明
（1）
（4分）
（2）
由（1）得：，代入上式得

（4分）

五、解答题
13、解：
（1）由得的特征值为，，。 （4分）
（2）的特征向量为，
的特征向量为，
的特征向量为。 （3分）
（3）因为特征值不相等，则正交。 （2分）
4）将单位化得，， （2分）
（5）取
（6） （1分）
14、解：该非齐次线性方程组对应的齐次方程组为

因，则齐次线性方程组的基础解系有1个非零解构成，即任何一个非零解都是它的基础解系。 （5分）
另一方面，记向量，则

直接计算得，就是它的一个基础解系。根据非齐次线性方程组解的结构知，原方程组的通解为
，。 （7分）
15、解：将①与②联立得非齐次线性方程组:

若此非齐次线性方程组有解, 则①与②有公共解, 且③的解即为所求全部公共解.
对③的增广矩阵作初等行变换得:
. （4分）
1°当时，有，方程组③有解, 即①与②有公共解, 其全部公共解即为③的通解，此时
，
则方程组③为齐次线性方程组，其基础解系为: ,
所以①与②的全部公共解为，k为任意常数. （4分）
2° 当时，有，方程组③有唯一解, 此时
，
故方程组③的解为:, 即①与②有唯一公共解. （4分）

线性代数习题和答案
第一部分 选择题 (共28分)
一、 单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。
1.设行列式=m，=n，则行列式等于（ ）
A. m+n B. -(m+n)
C. n-m D. m-n
2.设矩阵A=，则A-1等于（ ）
A. B.
C. D.
3.设矩阵A=，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（ ）
A. –6 B. 6
C. 2 D. –2
4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（ ）
A. A =0 B. BC时A=0
C. A0时B=C D. |A|0时B=C
5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（AT）等于（ ）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（ ）
A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0
B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0
C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0
D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0
7.设矩阵A的秩为r，则A中（ ）
A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0
C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0
8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（ ）
A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.η1+η2是Ax=b的一个解
C.η1-η2是Ax=0的一个解 D.2η1-η2是Ax=b的一个解
9.设n阶方阵A不可逆，则必有（ ）
A.秩(A)3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关
11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（ ）
A. k≤3 B. k<3
C. k=3 D. k>3
12.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（ ）
A.|A|2必为1 B.|A|必为1
C.A-1=AT D.A的行（列）向量组是正交单位向量组
13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=CTAC.则（ ）
A.A与B相似

B. A与B不等价
C. A与B有相同的特征值
D. A与B合同
14.下列矩阵中是正定矩阵的为（ ）
A. B.
C. D.
第二部分 非选择题（共72分）
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分。
15. .
16.设A=，B=.则A+2B= .
17.设A=(aij)3×3，|A|=2，Aij表示|A|中元素aij的代数余子式（i,j=1,2,3）,则(a11A21+a12A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2= .
18.设向量（2，-3，5）与向量（-4，6，a）线性相关，则a= .
19.设A是3×4矩阵，其秩为3，若η1，η2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解，则它的通解为 .
20.设A是m×n矩阵，A的秩为r(和4，则另一特征值为 .
23.设矩阵A=，已知α=是它的一个特征向量，则α所对应的特征值为 .
24.设实二次型f(x1,x2,x3,x4,x5)的秩为4，正惯性指数为3，则其规范形为 .
三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）
25.设A=，B=.求（1）ABT；（2）|4A|.
26.试计算行列式.
27.设矩阵A=，求矩阵B使其满足矩阵方程AB=A+2B.
28.给定向量组α1=，α2=，α3=，α4=.
试判断α4是否为α1，α2，α3的线性组合；若是，则求出组合系数。
29.设矩阵A=.
求：（1）秩（A）；

（2）A的列向量组的一个最大线性无关组。
30.设矩阵A=的全部特征值为1，1和-8.求正交矩阵T和对角矩阵D，使T-1AT=D.
31.试用配方法化下列二次型为标准形
f(x1,x2,x3)=，
并写出所用的满秩线性变换。
四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）
32.设方阵A满足A3=0，试证明E-A可逆，且（E-A）-1=E+A+A2.
33.设η0是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解，ξ1，ξ2是其导出组Ax=0的一个基础解系.试证明
（1）η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ2均是Ax=b的解；
（2）η0，η1，η2线性无关。
答案：
一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）
1.D 2.B 3.B 4.D 5.C
6.D 7.C 8.A 9.A 10.B
11.A 12.B 13.D 14.C
二、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分）
15. 6 16. 17. 4 18. –10 19. η1+c(η2-η1)（或η2+c(η2-η1)），c为任意常数
20. n-r 21. –5 22. –2 23. 1 24.
三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）
25.解（1）ABT=
（2）|4A|=43|A|=64|A|，而
|A|=. 所以|4A|=64·（-2）=-128
26.解 ==
27.解 AB=A+2B即（A-2E）B=A，而
（A-2E）-1=
所以 B=(A-2E)-1A==
28.解一
所以α4=2α1+α2+α3，组合系数为（2，1，1）.
解二 考虑α4=x1α1+x2α2+x3α3，
即
方程组有唯一解（2，1，1）T，组合系数为（2，1，1）.
29.解 对矩阵A施行初等行变换
A=B.
（1）秩（B）=3，所以秩（A）=秩（B）=3.
（2）由于A与B的列向量组有相同的线性关系，而B是阶梯形，B的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组，故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组。
（A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）
30.解 A的属于特征值λ=1的2个线性无关的特征向量为
ξ1=（2，-1，0）T， ξ2=（2，0，1）T. 经正交标准化，得η1=，η2=.
λ=-8的一个特征向量为 ξ3=，经单位化得η3=
所求正交矩阵为 T=. 对角矩阵 D=
（也可取T=.）
31.解 f(x1，x2，x3)=（x1+2x2-2x3）2-2x22+4x2x3-7x32=（x1+2x2-2x3）2-2x2-x3）2-5x32.
设，即，因其系数矩阵C=可逆，故此线性变换满秩。
经此变换即得f(x1，x2，x3)的标准形 y12-2y22-5y32 .
四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）
32.证 由于（E-A）（E+A+A2）=E-A3=E，
所以E-A可逆，且（E-A）-1= E+A+A2 .
33.证 由假设Aη0=b，Aξ1=0，Aξ2=0.
（1）Aη1=A（η0+ξ1）=Aη0+Aξ1=b，同理Aη2= b， 所以η1，η2是Ax=b的2个解。
（2）考虑l0η0+l1η1+l2η2=0， 即 （l0+l1+l2）η0+l1ξ1+l2ξ2=0.
则l0+l1+l2=0，否则η0将是Ax=0的解，矛盾。所以
l1ξ1+l2ξ2=0. 又由假设，ξ1，ξ2线性无关，所以l1=0，l2=0，从而 l0=0 .
所以η0，η1，η2线性无关。