3-二重积分的计算(极坐标).ppt

*三、二重积分的换元法三、二重积分的换元法 第二节二、利用极坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二重积分的计算2021/5/241为什么为什么引用极坐标计算二重积分引用极坐标计算二重积分引用极坐标计算二重积分引用极坐标计算二重积分21D0y xD1D2D3D4D:.怎么计算？怎么计算？需使用需使用极坐标系！极坐标系！极坐标系！极坐标系！此题用直角系算麻烦此题用直角系算麻烦必须把必须把D分块儿分块儿!二、利用极坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/5/242又如又如计算计算其中其中的原函数的原函数不是初等函数不是初等函数,故本题故本题无法用直角坐标计算无法用直角坐标计算.由于由于机动 目录 上页 下页 返回 结束 本题解法见后面本题解法见后面例题例题8还可举例还可举例2021/5/243极坐标系下的面积元素极坐标系下的面积元素将将变换到极坐标系变换到极坐标系0D iriri+1.利用极坐标计算二重积分利用极坐标计算二重积分利用极坐标计算二重积分利用极坐标计算二重积分 i i i+iI=rir.机动 目录 上页 下页 返回 结束 用用坐标线坐标线坐标线坐标线:=常数常数；r r r r=常数常数常数常数 分割区域分割区域 D2021/5/244怎样利用极坐标计算二重积分怎样利用极坐标计算二重积分怎样利用极坐标计算二重积分怎样利用极坐标计算二重积分(1)(1)1.极点不在区域极点不在区域 D 的内部的内部 0ABFE DD:rr2021/5/2450ABFE DD:.1.极点不在区域极点不在区域 D 的内部的内部 r2021/5/2460ABFE DD:.步骤：步骤：1 从从D的图形找出的图形找出 r,上、下限上、下限；2 化被积函数为极坐标形式；化被积函数为极坐标形式；3 面积元素面积元素dxdy化为化为rdrd.1.极点不在区域极点不在区域 D 的内部的内部 r2021/5/2472.极点位于区域极点位于区域 D 的内部的内部 0 DrD:怎样利用极坐标计算二重积分怎样利用极坐标计算二重积分怎样利用极坐标计算二重积分怎样利用极坐标计算二重积分(2)(2)r机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/5/248 D:D0.2.极点位于区域极点位于区域 D 的内部的内部 r机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/5/249 D:.D0 步骤：步骤：1 从从D的图形找出的图形找出 r,上、下限上、下限；2 化被积函数为极坐标形式；化被积函数为极坐标形式；3 面积元素面积元素dxdy化为化为rdrd.2.极点位于区域极点位于区域 D 的内部的内部 r机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/5/24100y x2a.解解例例1.机动 目录 上页 下页 返回 结束（第一象限部分）（第一象限部分）(极点极点不在不在区域区域 D 的内部的内部)2021/5/2411此题用直角系算此题用直角系算麻烦，需使用麻烦，需使用极极极极坐标系！坐标系！坐标系！坐标系！21D0y xD:变换到变换到极坐标系极坐标系极坐标系极坐标系.例例2.计算计算D:=1和和 =2 围成围成机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/5/24122R区域区域边界：边界：x=0.0y x 即即 r=2Rsin r=2Rsin 例例3.机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/5/24130y x12 y=xD.例例4.机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/5/24140y x4r=4 cos r=8 cos 8D 1 2例例5.计算计算y=2xx=y机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/5/24150y xr=8 cos D48.r=4 cos 2 1例例5.计算计算I=机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/5/2416例例6 计算计算其中其中D 为由圆为由圆所围成的所围成的及直线及直线解：解：平面闭区域平面闭区域.机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/5/2417例例7.将积分化为将积分化为极坐标形式极坐标形式y=R xD1D2.R0y xD.arctanR.I=I=机动 目录 上页 下页 返回 结束 r=R2021/5/2418若若 f 1 则可求得则可求得D 的面积的面积思考思考:下列各图中域下列各图中域 D 分别与分别与 x,y 轴相切于原点轴相切于原点,试试答答:问问 的变化范围是什么的变化范围是什么?(1)(2)机动 目录 上页 下页 返回 结束(极点位于区域极点位于区域 D 的内部的内部)2021/5/2419例例8.计算计算其中其中解解:在极坐标系下在极坐标系下原式原式的原函数不是初等函数的原函数不是初等函数,故本题无法用直角坐标计算故本题无法用直角坐标计算.由于由于故故机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/5/2420注注:利用利用例例8可得到一个在概率论与数理统计及工程上可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的非常有用的反常反常积分公式积分公式事实上事实上,当当D 为为 R2 时时,利用利用例例8的结果的结果,得得故故式成立式成立.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2021/5/2421例例9.求球体求球体被圆柱面被圆柱面所截得的所截得的(含在柱面内的含在柱面内的)立体的立体的体积体积.解解:设设由由对称性对称性可知可知机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/5/2422常常用用D到到D的的转转换换机动 目录 上页 下页 返回 结束 极坐标下的二次积分注释极坐标下的二次积分注释2021/5/2423作业作业P138-139 2;3;4(2),(4);5(2),(4);6 第三节 目录 上页 下页 返回 结束 2021/5/2424定积分换元法定积分换元法三三*、二重积分换元法、二重积分换元法 满足满足一阶导数连续一阶导数连续;雅可比行列式雅可比行列式(3)变换变换则则定理定理:变换变换:是一一对应的是一一对应的,机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/5/2425证证:根据定理条件可知变换根据定理条件可知变换 T 可逆可逆.用平行于坐标轴的用平行于坐标轴的 直线分割区域直线分割区域 任取其中一个小矩任取其中一个小矩形形,其顶点为其顶点为通过变换通过变换T,在在 xoy 面上得到一个四边面上得到一个四边形形,其对应顶点为其对应顶点为则则机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/5/2426同理得同理得当当h,k 充分小时充分小时,曲边四边形曲边四边形 M1M2M3M4 近似于平行四近似于平行四 边形边形,故其面积近似为故其面积近似为机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/5/2427因此面积元素的关系为因此面积元素的关系为从而得二重积分的换元公式从而得二重积分的换元公式:例如例如,直角坐标转化为极坐标时直角坐标转化为极坐标时,机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/5/2428例例21.计算计算其中其中D 是是 x 轴轴 y 轴和直线轴和直线所围成的闭域所围成的闭域.解解:令令则则机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/5/2429例例22.计算由计算由所围成的闭区域所围成的闭区域 D 的面积的面积 S.解解:令令则则机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/5/2430例例23.试计算椭球体试计算椭球体解解:由对称性由对称性令令则则D 的原象为的原象为的体积的体积V.机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/5/2431内容小结内容小结(1)二重积分化为累次积分的方二重积分化为累次积分的方法法直角坐标系情形直角坐标系情形:若积分区域为若积分区域为则则 若积分区域为若积分区域为则则机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/5/2432则则(2)一般换元公式一般换元公式且且则则极坐标系情形极坐标系情形:若积分区域为若积分区域为在变换在变换下下机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/5/2433(3)计算步骤及注意事项计算步骤及注意事项 画出积分域画出积分域 选择坐标系选择坐标系 确定积分序确定积分序 写出积分限写出积分限 计算要简便计算要简便域边界应尽量多为坐标线域边界应尽量多为坐标线被积函数关于坐标变量易分离被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少积分域分块要少累次积好算为妙累次积好算为妙图示法图示法不等式不等式(先积一条线先积一条线,后扫积分域后扫积分域)充分利用对称性充分利用对称性应用换元公式应用换元公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/5/2434思考与练习思考与练习1.设设且且求求提示提示:交换积分顺序后交换积分顺序后,x,y互换互换机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/5/24352-1-11 1D D机动 目录 上页 下页 返回 结束 D D1 1D D2 22021/5/2436思考：思考：-1-1-1-11 11 1机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/5/2437