随机变量的数字特征53848.ppt

第四章 随机变量的数字特征我们知道随机变量的分布函数能够完整地描述随机变量的统计特性，但有时不需要去全面考察随机变量的变化情况，而只需知道随机变量的某些特征。与随机变量有关的某些数值，虽然不能完整地描述随机变量，但能描述随机变量在某些方面的重要特征。例如:一个袋中放有5个黑球,3个红球,每次试验有放回地 摸球10次,求平均每次试验摸到黑球的个数是多少?1.1 1 数学期望一、数学期望的定义定义1：设离散型随机变量 的分布律为 若级数 收敛，则称级数 为 随机变量 的数学期望，记为 。2.注：对某一随机变量来说，其数学期望不一定存在，例如习题4 4。数学期望简称为期望，又称为均值。定义2：设连续型随机变量 的概率密度为 ，若积分 绝对收敛，则称该积分 为随机变量 的数学期望，记为 。3.例1：某运动员进行定点投篮，投中为止，但若10次 都不中也停止；设其命中率为 ，求其平均 投篮次数。例2：有2个相互独立工作的电子装置，它们的寿命 服从同一指数分布，其概率密度为（其中的 ）若将这2个电子装置串联连接组成整机，求整机寿命 的数学期望。4.二、数学期望的性质(1)(2)(3)其中性质（3）（4）可推广到有限个随机变量的情形。(4)若随机变量 和 相互独立，则有5.例3：一民航送客车载有20位旅客自机场开出，旅客 有10个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客 下车就不停车，以 表示停车的次数，求 。（设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各 旅客是否下车相互独立）6.三、六种常见的分布的数学期望1、（0-1）分布 2、二项分布3、泊松分布7.4、均匀分布5、指数分布若 ，则 6、正态分布8.四、随机变量函数的数学期望1、一个随机变量的函数的数学期望注：这个定理告诉我们，求 时，不需要算出 的 分布律或概率密度函数，只需利用 的分布律或概 率密度函数。定理1 1：(1)当 为离散型随机变量时，则 的数学 期望为 ；(2)当 为连续型随机变量时，则 的数学 期望为 。9.例4：设随机变量 服从参数为1的指数分布，求 。例5 5：游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光；电梯于每个整点的第5 5分钟、2525分钟和5555分钟从底层起行。假设一游客在早八点的第 分钟到达底层候梯处，且 在上均匀分布，求该游客等候时间的数学期望。10.例6：某公司计划开发一种新产品市场，并试图确定 该产品的产量。他们估计出售一件产品可获利 元，而积压一件产品导致 元的损失。他们 预测销售量 （件）服从参数为 的指数分布，问若要获得利润的数学期望最大，应生产多少件 产品（这里假设 是已知的）？11.2、二个随机变量的函数的数学期望定理2：(1)当 为离散型随机变量时，则 的数学期望为 ；(2)当 为连续型随机变量时，则 的数学期望为 。12.例7：设随机变量 的概率分布为 求数学期望 。13.例8：设随机变量 的概率密度为 求数学期望 。14.例9：一商店经销某种商品，每周进货的数量X与顾客 对该商品的需求量Y是相互独立的随机变量，且 都服从区间10，20上的均匀分布；商店每售出 一单位商品可得利润1000元，若需求量超出了进 货量，商店可从其它商店调剂供应，这时每单位商 品获得的利润是500元；试计算此商店经销该种商品 每周所得利润的期望值。与 的联合概率为 求 的数学期望。15.2 2 方 差一、方差的定义定义：设 是一个随机变量，若 存在，则称 为 的方差方差，记作 （或 ），同时称 为标准差标准差(或均方差均方差)，记作 。注：随机变量的方差反映了它的取值与其数学期望的偏 离程度它是衡量取值分散程度的一个尺度。16.对于离散型随机变量对于连续型随机变量17.二、方差的性质（1 1）（2 2）（3 3）若 独立，则（4 4）的充要条件是 以概率1 1取常数 ，即注：1 1、不一定成立。2 2、3、若 独立，则18.三、六种常见分布的方差1 1、（0-10-1）分布2 2、二项分布3 3、泊松分布19.4 4、均匀分布5 5、指数分布20.6 6、正态分布21.例1 1：设随机变量 的概率密度为求：和 。例2:设随机变量 相互独立,且 服从参数为 的指数分布,求 、和 。22.例4 4：设两个随机变量 相互独立，且都服从均值为0 0，方差为 的正态分布，求随机变量 的方差。思考题:1 1、设随机变量 服从参数为 的泊松分布，且已知 ，求参数 。2 2：若随机变量 有 求 和 。23.3 3 协方差与相关系数 一、协方差与相关系数的定义定义1 1：我们称 为随机变量 与 的协方差，记作 ，同时 称 为随机变量 与 的相关系数。24.协方差、数学期望与方差有以下关系：25.二、协方差的性质(1)(2)(3)(4)(5)26.三、相关系数的性质及其含义（1）（2）的充要条件是存在常数 使 ,并且当 时,当 时 。相关系数 是反映 之间线性关系紧密程度的量，当 较大时，说明 之间线性关系的程度较好，反之，说明它们之间线性关系的程度较差。27.若 ，则称 和 不相关，若 和 相互独立，则 和 不相关，反过来，若 与 不相关，和 却不一定相互独立。例如 设 的分布律为28.对于二维正态分布来说，,而 ，相互独立的充要条件是 ，所以对于二维正态分布不相关与独立是等价的。注：成立的充要条件是 不 相关，并不要求 相互独立。例1 1：若 ，且 ，求 、和 。29.例2 2：设二维随机变量 的分布律如下，求 。30.例3：设 和 是试验 的两个事件，且 ，并定义随机变量 如下：证明：若 ，则 和 必定相互独立。31.例4 4：设随机变量 ，求 和 。例5：设二维随机变量 在圆域 上服从 均匀分布，（1）求二维随机变量 的联合概率 密度；（2）求 和 的相关系数 ；（3）问 是否独立？说明理由。32.例6：设随机变量 的概率密度为 ，令 ，为二维随机变量 的分布函数；求 （1）的概率密度 ；（2）；（3）。33.定义1 1：设 和 是随机变量，若 存在，则称它为 的 阶原点矩，简称 阶矩；若 存在，则称它为 的 阶中心矩；若 存在，则称它为 和 的 阶混合中心矩。若 存在，则称它为 和 的 混合矩；四、矩和中心矩的定义34.4 4 大数定律与中心极限定理一、切比雪夫（Chebyshev）不等式定理1 1（切比雪夫（Chebyshev）不等式）：设随机变量 具有数学期望 和方差 ，则对于 任意正数 ，都有不等式 （或 ）成立。35.定义1 1：设 是一个随机变量序列，是一个 常数。如果对于任意正数 ，有 则称序列 依概率收敛于 ；记为 。定理2 2：设随机变量 相互独立，且具有相 同的数学期望和方差：，则序列 依概率收敛于 ,即二、大数定理这个定理被称为弱大数定理。36.或定理3（伯努利（Bernoulli）大数定理）设 是 次独立 重复试验中事件 发生的次数，是事件 在每次 试验中发生的概率，则对于任意正数 ，有这个定理告诉我们：在大量重复试验中频率 接近于概率 的真正含义，也就是所谓的频率稳定性。37.注：辛钦定理与定理2 2的区别在于辛钦定理要求随机变量 序列是同分布的，而定理2 2不要求是同分布的，但要 求它们的方差存在；另外，伯努利（Bernoulli）大数 定理是辛钦定理的一种特例。定理4（辛钦定理）设 为独立同分布随机变 量序列，且具有数学期望 ，则 对于任意正数 ，有 。38.例1：现有一大批商品，其中一等品占 ，现从中任取 6000件，试用切比雪夫不等式估计6000件中一等 品所占比例与 之差的绝对值不超过0.01的概率 不小于多少？思考题：已知随机变量 满足 则由切比雪夫不等 式 _。39.例2：设随机变量 相互独立，且 (1)对于 ,利用 Chebyshev 不等式,计算 的下界；(2)证明：40.三、中心极限定理则随机变量之和 的标准化变量 的分布函数 对于任意 ，都有 设 是独立同分布的随机变量序 列，具有有限的期望和方差，即 ，；41.注：的算术平均为 ，该定理告 诉我们当 充分大时，近似地服从标准正态 分布，即 ，或者说 近似服从于均 值为 ，方差为 的正态分布，即其中的 可以是服从任意的分布。这也就说明了为什么现实世界中，很多随机事件可近似看作为服从正态分布。42.定理2（棣莫弗-拉普拉斯定理）设随机变量 服从参数为 的二项分布，则对于任 意 ，有 43.例1：随机变量 相互独立，且均服从参数 的（0-1）分布，由 Chebyshev 不等式 _；根据中心极限 定理 _。44.例2：对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数 是一个随机变量，设一个学生无家长、1个家长、2个家长来参加会议的概率分别为0.05、0.8、0.15。若学校共有400名学生，设各学生参加会议的家长 数相互独立，且服从同一分布；（1）求参加会议的 家长数超过450的概率；（2）求有1名家长来参加 会议的学生数不多于340的概率。45.例3：某种短波无线电接收机中有一个关键性的组件，它的 寿命(以 h 计)服从均值为500的指数分布；现有一个组 件在工作，另有19个备用，当一个组件损坏时备用件 立即换上;（1）求20个组件至少能使用1年（8760 h ）的概率;（2）问至少需多少个组件才能保证接收机至少 能工作1年的概率不小于0.9。46.例4：一工厂生产的某种产品其次品率为0.005，产品按每 100只包装成一箱，一箱中如含有的次品数超过3只 就不能通过验收;今有10000箱产品，求多于25箱不能 通过验收的概率（设各只产品是否为次品相互独立，各箱是否能通过验收是相互独立的）。47.