《实变函数与泛函分析基础》第二版-程其襄--第十章答案-10§1-7-答案剖析.doc

第十章 巴拿赫(Banach)空间中的基本定理1. 设X是赋范线性空间，是X中个线性无关向量，是一组数，证明：在X上存在满足下列两条件：（1）, (2) 的线性连续泛函的充要条件为：对任何数， 都成立。证明 必要性。若线性连续泛函满足（1）和（2），则充分性。若对任意数，有。令为张成的线性子空间。对任意，定义上线性泛函：。因，故是有界的，且。由泛函延拓定理，存在X上的线性连续泛函，使限制在上就是。显然满足条件（1）和（2）。证毕。2设X是赋范线性空间，Z是X的线性子空间，又，证明存在，满足条件： 1）当时，； 2） ； 3） 。证明 记。在M上定义泛函：，则以下三条件成立： 1）当时，； 2）； 3）在M上有界，且。其中3）可以这样证明：若，则 ，所以。又对任意，。由的任意性，我们得到。又，这样我们就证明了。3 证明：无限维赋范线性空间的共轭空间也是无限维的。证明 设是X中一列线性无关向量。记。因是线性无关的。，因此由习题2，存在，使, 在为零, .以下我们来证明是中线性无关的向量.事实上,若有,使. ,则.这样由于,，必有,因,所以。类似可证, ，从而，。这样我们证明了中有无限多个线性无关的向量,因此是无限维的.证毕.4. 证明Bananch空间X自反的充要条件是自反.证明 若X是banach空间,则存在一个从X到的自然的等距同构映射, .若,则称X是自反的。其中是这样定义的, 若,.为方便起见,记X到的自然的等距同构映射为，到的自然的等距同构映射为。我们要证明的充要条件为.若.对任意,定义：若，。对任意，。因,因此。这就证明了。反之,若,而。则存在,使F在上恒为零，而。但。必有，使。对任意,这样。但,矛盾。因此必有。 证毕。5设是一列数，证明存在a ,b上有界变差数列，使，成立的充要条件为对一切多项式 成立着 其中M为常数。证明 充分性 。在Ca ,b的线性子空间上定义线性泛函f： 由条件，可知f在上是有界的。因为在Ca ,b上稠密，所以可将f连续的延拓到Ca ,b上（不妨仍记为f），这样f是Ca ,b上连续线性泛函，且，。由Riesz表示定理，存在有界变差函数g，使。特别的 必要性。若存在有界变差函数，使。定义Ca ,b上的有界线性泛函。则对每一多项式，有 取。证毕。6设T为中单向移位算子，即若，则，求。解 若，则，且，所以。7举例说明一致有界性定理中空间X完备的条件不能去掉。解 设X为的线性子空间，的充分且必要条件是除去有限多个外其余皆为零。（）。若，定义X到X的线性映射 则。对任一，当时，有，因此。以上例子说明一致有界性定理中X的完备性条件不能去掉。8证明 ：在完备度量空间X中成立闭球套定力，即若 且 ， 则存在唯一的；反之，若在度量空间X中成立闭球套定理，则X是完备度量空间。 证明 设X是完备的度量空间，为一列闭球套： 若，对任给，存在N，当时，因此当时，。所以是柯西列。设。因为当时，又是闭集，。因此。下面证明。若，则 这样必有。反之，若X满足闭球套定理，是柯西列。则存在，当时，记。存在，当时，记-。存在，当时，记这样得到一列闭球，对任意k和任意，有。所以，即 于是，由假设存在，且。因为为柯西列，则必有。因此X必为完备度量空间。证毕。9设是一列复数，若对任何，级数都收敛，证明：，其中的定义见第八章题9。证明 对每一个n，定义。若，。因为所以，且。设满足，则，则这就证明了。由题设条件，对任意，收敛，从而有界。由一致有界性定理，有界，设，即。令。所以。证毕。10设是a ,b上的L可测函数，若对一切，函数都在a, b上L可积，则，其中。证明 令 。则显然为上有界的可测函数。若，定义上泛函。则是上的有界线性泛函，且。又因为，由勒贝格控制收敛定理，。由一致有界性定理，存在，使，即，因为，由Levi定理。所以。证毕。11 证明引理：设X是Banach空间，p(x) 是X上泛函，满足条件：1）；2）时，；3）；4）当时，。证明必有M0，使对一切，成立。证明 先证对任意M0，是X中闭集。事实上，若，且，则，所以，因此是闭集。记，。则。由Baire纲定理，存在某，使在某一小球中稠密。因为是闭集，则。对X中任意一点，和在O中，所以。因此。这样取，则。证毕。12 设，其中X是Banach空间，Y是赋泛线性空间，若对每个，都收敛，令，证明T是X到Y中有界线性算子，并且。证明 因为对每个，收敛，从而有界。由一致有界性定理，存在M0，。若定义，则显然T是线性的，且，所以T是有界的，且，证毕。13设X是可分Bananch空间，M是中有界集，证明M中每个点列含有一个弱*收敛子列。证明 设，存在K0，设是X的可数稠密子集。考察有界数列。由Weierstrass定理，存在收敛子列。同理也有收敛子列。一般的，若已有子列收敛，考察。由于数列的有界性可找到收敛子列。我们用对角线法则，取泛函列，在稠密子集点点收敛。事实上，由定义，对任意i，是收敛的，而是的子列，因此也是收敛的，因此在上点点收敛。由本章5定理1，弱*收敛。证毕。14 证明：空间Ca, b中点列弱收敛于得充要条件是存在常数M，使得，并且对任何，成立。证明 充分性。若存在M0，使，且对任何成立。则设f是Ca, b上任一有界线性泛函。由本章2的Riesz表示定理，存在有界变差函数g，使。因为，由勒贝格控制收敛定理，即。因此弱收敛于。必要性。设弱收敛于。因为弱收敛点列必为有界列，因此存在M0，使，。对任一，定义Ca, b上泛函。因，所以是Ca, b上有界线性泛函。弱收敛于，即，可推得。即。证毕。15设X是赋范线性空间，M为X的闭子空间，若M中点列，当时弱收敛于，那么必有。证明 若，则，由第2题，存在，满足条件：1） f在M上恒为0；2） ；3） 。由于，所以，因此，此与矛盾。证毕。16证明：中点列，。弱收敛于的充要条件为，且对每个k，。证明 充分性。设，。对任一，设。对任意，确定，使 。然后确定 N，使nN时，有，这样， 因此弱收敛于x。必要性。若弱收敛于x，则由一致收敛定理，。对任一k，令，其中1在第k个位置，则，且，因，所以，。 证毕。17设X是线性空间，和是X上两个范数，若X按及都完备，并且由点列按收敛于0，必有按也收敛于0，证明存在正数a和b，使。证明 定义Banach空间到Banach空间的线性映射T：对任意，。由题设T在原点是连续的。对任一。若按收敛于，则，。则由题设条件，。即，。这说明T在任一非零点也连续，因此T是有界的。又T是到上的一对一的映射，由逆算子定理，也是有界的。故。令，则。 证毕。18 设T是Banach空间X到赋范线性空间F中的线性算子，令，证明：总有在X中稠密。证明 因为，X又是第二纲集，所以必有在某一球内稠密。对于任一，和都在中，所以存在，使，不妨设，其中。于是，即。而。选取，则。这样，我们证明了，对任意，可找到一列，使，即在X中稠密。 证毕。19 用闭图像定理证明逆算子定理。证明 设T 为Banach空间X到Banach空间Y上的一对一的有界线性算子。的图像，若，则。设，则，。因为T是连续的，所以，即。这样。于是我们证明了在YX中是闭集，故是闭算子。再由闭图像定理，是有界的，证毕。20 设A及B是定义在Hilbert空间X上的两个线性算子，满足，其中x,y为X中任意向量，证明A是有界算子。证明 设，则对任意，有因此对任何都成立，此说明。这样A是定义在全空间X上的闭算子，由闭图像定理，A有界。证毕。21设T是定义在Hilbert空间X上的有界线性算子，若存在常数使，则称T为正定的。证明：正定算子必有有界逆算子，并且。证明 对任意，为实数，由第九章5定理1得。又由于，因此若，则，从而。这样T又是一对一的。由第九章习题11，所以T的值域是稠密的。对任意，存在，使。这样是X中的柯西列。因此当时，。又，因此是X中柯西列。设。于是。因此，T是Hilbert空间X上的一一到上的有界线性算子，由逆算子定理，T有有界逆算子 。因为对任意，因此对任意，即。因此，从而。由x的任意性得。证毕。