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第六章第六章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换本章基本要求本章基本要求l理解和掌握导数和积分的拉普拉斯变换l掌握有理分式反演法l掌握延迟定理，位移定理和卷积定理l理解黎曼-梅林反演公式；运算微积方法求解微积分方程。6.1 6.1 拉普拉斯变换的概念拉普拉斯变换的概念一 Laplace 变换的定义1 傅里叶变换的限制：1）函数满足狄利克雷条件 2）在（-，+）上满足 绝对可积的条件 3）在整个数轴上有定义 实际应用中，绝对可积的条件比较强，许多函数都不满足该条件，如正弦，余弦，阶跃，线性函数等；另外，在无线电技术中，函数往往以t作为自变量，t0无意义。2 拉普拉斯变换研究的对象函数1）函数满足这样的条件:a)t0时，f(t)=0 b)t=0时，f(t)右侧连续，2）设单位阶跃函数，则原函数f(t)，研究函数为f(t)u(t)。3 从傅里叶变换推导拉普拉斯变换从上面推导可知，函数f(t)(t0)拉普拉斯变换，实际上就是函数f(t)u(t)e-t的傅里叶变换。4 Laplace变换的定义设f(t)为定义在0，）上的实变函数或复值函数，若含 复变量的积分在s的某个区域内存在，则由此积分定义的复函数称为函数f(t)的Laplace变换或像函数，记作F(s)=Lf(t)，而f(t)称为F(s)的拉氏逆变换或原函数，记作f(t)=L-F(s)，上式也称作黎曼-梅林反演公式。二 Laplace变换的存在条件1Laplace 变换存在的充分条件是：（1）在 0 t 0 和 0，使对于任何t(0 t 上有意义，而且是一个解析函数。三 例题例1 指数函数 eat (a为复常数)例2 Heaviside阶跃 函数:例3 线性函数f(t)=t(t 0):例4同理解：从而类推例56.2 6.2 基本函数的拉普拉斯变换基本函数的拉普拉斯变换一 单位阶跃函数二(t)函数三 函数tn（n-1)的拉氏变换6.3 Laplace 6.3 Laplace 变换的基本性质变换的基本性质Laplace 变换F(s)的特性：（1）F(s)在 Re(s)0 的半平面代表一个解析函数。（2）当|Arg s|/2-(0)时：且满足0+i0-is 平面o解析区域 一 线性定理：与 Fourier 变换一样。例注意：一、初始条件进入Lapace 变换公式中，这一点在实际 应用中非常重要。二、原函数对 t 的求导，变成像函数 与p 相乘。二 原函数导数定理:原函数对 t 的积分变成像函数与 s 相除三 原函数积分定理:四 相似性定理五 位移定理：六 延迟定理：七 卷积定理:八 像函数微分性质即：像函数求积分，相当于原函数除 t 的像函数。九 像函数积分定理十 关于参数的运算对于含参数的函数f(t,)的拉氏变换来说，由于关于t的积分（即拉氏变换）与关于的运算顺序可以交换，所以十一 初值定理十二 终值定理例1（P205例10.3.4）例2（P206例10.3.5）例3（补充例题）求解初始问题例4（补充例题）求解初始问题例5（补充题，利用原函数积分法求解积分方程）设C，R，E为正常数，求解积分方程（该方程来自电路理论）6.3 Laplace变换的反演变换的反演关于 t 的微分方程 关于 p的代数方程关于 p的代数方程 原微分方程的解Laplace 变换 Laplace 变换的反演一 有理分式的反演 把有理分式分解,然后利用一些基本公式和 Laplace 变换的性质求原函数。一般步骤：1）化简，使分子幂次低于分母；2）分母分解因式；3）利用待定系数法进行部分分式展开 4）利用拉氏变换表求解注：需要注意多阶极点和共轭极点的情况。例1 求 的原函数（p208例10.4.1）例2 求 的原函数（p208例10.4.2）例3 求 的原函数解因此原函数为通分后比较p的同次幂系数得：二 查表法反演例4：求 的原函数。由表查得解又由延迟定理例5 求 的原函数。解：由表查得由位移定理：因此原函数为例6 求 的原函数（p210例10.4.5）*三 一般反演方法：黎曼-梅林反演公式在 L 右边，像函数解析，无奇点。故作围道(L+CR)在 L 的左边。设 在 L 的左边只有有限个孤立奇点 pk，由留数定理因在 L 的右边无奇点，所以可以说：pk 是全平面上像函数的奇点。(如果像是多值函数，问题比较复杂)Fourier变换与Laplace变换的比较1 Fourier 变换 与 逆变换比较对称，但 Fourier 变换对函数要求较严；数值计算比较成熟（FFT）;2 尽管 Laplace 逆变换是复变积分，因像函数是一个解析函数，可以利用复变函数理论的公式;无现成的数值计算程序；每个问题的极点分布不一样。6.4 6.4 拉普拉斯变换应用举例拉普拉斯变换应用举例一 利用拉氏变换求积分（1）如求 的积分，先求 的积分，然后令t=1。例1（p215例10.5.2）（2）若 ，则例2（p216例10.5.3）（3）若 ，则利用基本公式11和初值定理，得到例2（p216例10.5.4）二 利用拉氏变换求解微分方程，积分方程例1（p217例10.5.6）解方程例2 L-R串联电路有交流源 E=E0sint,求电路中的电流。LRE(t)K解：电流方程：两边作 Laplace 变换：解得：应用卷积定理第一项：稳定振荡，第二项：衰减见下页其中第一项改写：例3（简明教程p61）求解积分方程解 方程两边进行拉普拉斯变换则例4（简明教程p60）求解方程组解 方程两边进行拉普拉斯变换