24章圆复习学案.pdf

第二十四章 圆复习【一、知识点一、知识点】（一）圆的有关概念和性质1圆是轴对称图形，经过 的直线都是对称轴；又是中心对称图形，对称中心是 2顶点在 的角叫做圆周角3顶点在 ，并且两边都和圆 的角叫做圆周角4经过圆的外一点作圆的切线，的长叫做这点到圆的切线长5三角形的三个顶点可以确定一个圆，这个圆叫做 ，外接圆的圆心叫做三角形的 ，它到三角形 都相等，是 的交点6和三角形三边都 的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的 ；它到三角形 都相等，是 的交点（二）位置关系7点与圆的位置关系点与圆的位置关系位置关系数量关系点在圆内dr8直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系公共点个数位置关系数量关系drdrd=rrd9圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系图形名称公共点个数数量关系图 1图 2图 3图 4图 5周 1rRd周 2rRd周 3rRd周 4rRd周 5rRd （三）重要定理10垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径 弦且平分弦所对的 。推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共 4 个定理，简称 2 推 3 定理：此定理中共 5 个结论中，2 个可推出其它 3 个结论，即：是直径 弧弧 弧弧ABABCDCEDEBCBDACAD推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧 。即：在中，弧弧OABCDACBDOEDCBA OCDABFEDCBAO11、圆心角定理、圆心角定理：在同圆或 圆中，相等的圆心角所对的 相等，所对的 相等，所对应的弦心距相等。此定理也称 1 推 3 定理，即上述四个结论中，只要知道其中的 1 个相等，则可以推出其它的 3 个结论，即：；弧弧AOBDOE ABDEOCOFBABD12、圆周角定理、圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的 角的一半。即：和是弧所对的圆心角和圆周角 。AOBACBAB2AOBACB CBAODCBAOCBAOCBAO圆周角定理的推论圆周角定理的推论：推论推论 1：同弧或等弧所对的圆周角 ；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在中，、都是所对的圆周角 OCDCD 推论推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在中，是直径 。（是 ）OAB90C90CAB推论推论 3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在中，是 三角形或 。ABCOCOAOBABC90C13、圆内接四边形、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角 。即：在中，四边形是内接四边形 =OABCD180BD。14、切线的性质与判定定理、切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：过半径 且 于半径的直线是圆的切线；即：且过半径外端 是的切线MNOAMNOAMNO（2）性质定理：切线垂直于过 点的半径（如右图）15、切线长定理、切线长定理：从圆外一点引圆的 条切线，它们的切线长 ，这点和圆心的连线 两条切线的夹角。即：、是的两条切线 PA=平分 .PAPBPOEDCBANMAOrddCBAOFEOCBABACDPBAO16、正多边形的计算（1）正三角形 计算在中进行：；Rt BOD:1:3:2OD BD OB（2）正四边形 计算在中进行，：Rt OAE:1:1:2OE AE OA（3）正六边形 计算在中进行，.Rt OAB:1:3:2AB OB OA DCBAOECBADOBAO17、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式（1）扇形：弧长公式：；扇形面积公式：,180n Rl213602n RSlR213602n RSlR（2）、圆柱：=2SSS侧表底222rhr（3）圆锥侧面展开图 =SSS侧表底2RrrSlBAO周 周 周周 周 周 周 周C1D1DCBAB1RrCBAO【二、圆易错点二、圆易错点】1注意考虑点的位置（注意考虑点的位置（在解决点与圆的问题时，应注意对点的位置进行分类，如点在圆内圆外、点在优弧劣弧等）例点到上的最近距离为，最远距离为，则的半径为POcm3cm5Ocm例是的一条弦，点 A 是上的一点（不与 B、C 重合），则BCO120BOCO的度数为 BAC2注意考虑弦的位置（注意考虑弦的位置（解决与弦有关的问题时，应对两条的位置进行分类，即注意位于圆心同侧和异侧的分类）周 1OACB 周 2OACB NMD 周 3OACB NMD 周 4OACB例 3在半径为的圆中，有两条平行的弦，分别长和，则这两条平行弦的距离是 cm5cm8cm6例 4是的直径，、是的两条弦，且，则ABOACADO30BAC45BAD的度数为 CAD3注意公共点的个数（注意公共点的个数（在涉及直线与圆的位置关系时，应注意有公共点和有唯一公共点的区别）例 5的半径为，点在直线 上，且，则和直线 的位置关系为 Ocm3PlcmOP3Ol4注意两圆相切中的分类（注意两圆相切中的分类（在解决两圆相切的问题时，应注意对内切、外切以及两圆大小进行分类）例 6已知O1和O2相切，两圆的圆心距为 9cm，O1的半径为 4cm，则O2的半径为（）A B C或 D 或cm5cm13cm9cm13cm5cm13例 7O1和O2相内切，圆心距为，其一个圆的半径为，则另一圆的半径为 cm2cm5cm【三、考点三、考点】考点考点 1：基本概念和性质：基本概念和性质考查形式：主要考查圆的对称性、直径与弦的关系、等弧等有关命题，常以选择题的形式出现例 1（2010 兰州）有下列四个命题：直径是弦；经过三个点一定可以作圆；三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；半径相等的两个半圆是等弧其中正确的有（）A4 个 B3 个 C 2 个 D 1 个考点考点 2：圆心角与圆周角的关系：圆心角与圆周角的关系例 2（2010 年连云港）如图，点 A、B、C 在O 上，ABCD，B22，则A_点点 3：垂径定理：垂径定理考查形式：主要考查借助垂径定理的解决半径、弧、弦、弦心距之间的计算和证明解决是应注意作出垂直于弦的半径或弦心距，构造直角三角形进行解决例 3（2010 芜湖）如图，在O 中，有折线，其中，OABC8OA12AB，则弦的长为（）。60BABC19161820考点考点 4：切线的判断和性质：切线的判断和性质考查形式：对切线的判定和性质的考查是圆中常见的题目类型，常以解答题的形式出现题目经常与翻折、旋转、平移等动态过程相结合，以探索的形式出现例 4已知：ABC 是边长为 4 的等边三角形，点 O 在边 AB 上，O 过点 B 且分别与边 AB，BC相交于点 D，E，EFAC，垂足为 F.（1）求证：直线 EF 是O 的切线；（2）当直线 DF 与O 相切时，求O 的半径.考点考点 5：圆与圆的位置关系：圆与圆的位置关系考查形式：考查两圆的位置关系与数量关系（圆心距与两圆的半径）的对(a,0)Oyx应，常以填空题或选择题的形式出现题目常与图案、方程、坐标等进行综合例 5（2010 山东聊城）如图，小圆的圆心在原点，半径为 3，大圆的圆心坐标为，半径为 5，)0,(a如果两圆内含，那么的取值范围是 a考点考点 6：弧长扇形面积的计算：弧长扇形面积的计算考查形式：考查运用弧长公式（）以及扇形面积公式（和）进行有关的180rnl3602rnSlrS21计算，常以填空题或选择题的形式进行考查例 6（2010 巴中）如图所示，以六边形的每个顶点为圆心，1 为半径画圆，则图中阴影部分的面积为考点考点 7：圆锥的侧面展开问题：圆锥的侧面展开问题考查形式：考查圆锥的侧面展开图的有关知识以及空间想象能力，常以选择题或填空题的形式出现例 7（2010 年眉山）已知圆锥的底面半径为 4cm，高为 3cm，则这个圆锥的侧面积为_cm2考点考点 8：正多边形的计算：正多边形的计算6、如图，正三角形的内切圆半径为 1，那么这个正三角形的边长为（）A2 B3 C3 D2 3