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《运筹学》习题集
第一章　线性规划

1．1 将下述线性规划问题化成标准形式
1) min z ＝ －3x1 ＋ 4x2 － 2x3 ＋ 5 x4
　4x1 － x2 ＋ 2x3 －　x4　＝ －2
st. x1 ＋ x2 － x3 ＋ 2 x4 ≤ 14
－2x1 ＋ 3x2 ＋ x3 － x4 ≥ 2
x1 ，x2 ，x3 ≥ 0，x4　无约束

2) min z ＝ 2x1 －2x2 ＋3x3
－ x1 ＋ x2 ＋ x3 ＝ 4
st. －2x1 ＋ x2 － x3 ≤ 6
x1≤0 ，x2 ≥ 0，x3无约束

1．2 用图解法求解LP问题，并指出问题具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。
1) minz＝2x1＋3x2
4x1＋6x2≥6
st　　　2x1＋2x2≥4
x1，x2≥0

2) maxz＝3x1＋2x2
2x1＋x2≤2
st　　　3x1＋4x2≥12
x1，x2≥0

3) maxz＝3x1＋5x2
6x1＋10x2≤120
st　　　5≤x1≤10
3≤x2≤8

4) maxz＝5x1＋6x2
2x1－x2≥2
st　　－2x1＋3x2≤2
x1，x2≥0

1．3 找出下述LP问题所有基解，指出哪些是基可行解，并确定最优解
（1）minz＝5x1－2x2＋3x3＋2x4
x1＋2x2＋3x3＋4x4＝7
st　　　2x1＋2x2＋x3 ＋2x4＝3
x1，x2，x3，x4≥0

1．4 分别用图解法与单纯形法求解下列LP问题，并对照指出最优解所对应的顶点。
1) maxz＝10x1＋5x2
3x1＋4x2≤9
st　　 5x1＋2x2≤8
x1，x2≥0

2) maxz＝2x1＋x2
3x1＋5x2≤15
st　　　6x1＋2x2≤24
x1，x2≥0

1．5 分别用大M法与两阶段法求解下列LP问题。
1) minz＝2x1＋3x2＋x3
x1＋4x2＋2x3≥8
st　　　 3x1＋2x2　 ≥6
x1，x2 ，x3≥0

2) max z ＝4x1＋5x2＋ x3
. 3x1＋2x2＋ x3≥18
St. 2x1＋ x2 ≤4
x1＋ x2－ x3＝5

3) maxz＝ 5x1＋3x2 +6x3
x1＋2x2　 －x3 ≤ 18
st　 2x1＋x2　－3 x3 ≤ 16
x1＋x2　 －x3＝10
x1，x2 ，x3≥0

1．6 求下表中a～l的值。
cj®
（a）
－1
2
0
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
0
x4
6
（b）
（c）
（d）
1
0
0
x5
1
-1
3
（e）
0
1
sj®
（a）
-1
2
0
0
（a）
x1
（f）
［（g）］
2
-1
1/2
0
0
x5
4
（h）
（I）
1
1/2
1
sj
0
-7
（j）
（k）
（l）
1.7某班有男生30人，女生20人，周日去植树。根据经验，一天男生平均每人挖坑20个，或栽树30棵，或给25棵树浇水；女生平均每人挖坑10个，或栽树20棵，或给15棵树浇水。问应怎样安排，才能使植树（包括挖坑、栽树、浇水）最多？请建立此问题的线性规划模型，不必求解。

1.8某糖果厂用原料A、B、C加工成三种不同牌号的糖果甲、乙、丙。已知各种牌号糖果中A、B、C含量，原料成本，各种原料的每月限制用量，三种牌号糖果的单位加工费及售价如下表所示。
问该厂每月应生产这三种牌号糖果各多少千克，使该厂获利最大？试建立此问题的线性规划的数学模型。
甲 乙 丙 原料成本(元/千克) 每月限量（千克）
A ≥60％ ≥15％ 2.00 2000
B 1.50 2500
C ≤20％ ≤60％ ≤50％ 1.00 1200
加工费（元/千克） 0.50 0.40 0.30
售 价 3.40 2.85 2.25

1.9某商店制定7－12月进货售货计划，已知商店仓库容量不得超过500件，6月底已存货200件，以后每月初进货一次，假设各月份此商品买进售出单价如下表所示，问各月进货售货各多少，才能使总收入最多？请建立此问题的线性规划模型。
月 份 7 8 9 10 11 12
买进单价 28 24 25 27 23 23
售出单价 29 24 26 28 22 25

1.10某厂接到生产A、B两种产品的合同，产品A需200件，产品B需300件。这两种产品的生产都经过毛坯制造与机械加工两个工艺阶段。在毛坯制造阶段，产品A每件需要2小时，产品B每件需要4小时。机械加工阶段又分粗加工和精加工两道工序，每件产品A需粗加工4小时，精加工10小时；每件产品B需粗加工7小时，精加工12小时。若毛坯生产阶段能力为1700小时，粗加工设备拥有能力为1000小时，精加工设备拥有能力为3000小时。又加工费用在毛坯、粗加工、精加工时分别为每小时3元、3元、2元。此外在粗加工阶段允许设备可进行500小时的加班生产，但加班生产时间内每小时增加额外成本4.,5元。试根据以上资料，为该厂制订一个成本最低的生产计划。

1.11某公司有三项工作需分别招收技工和力工来完成。第一项工作可由一个技工单独完成，或由一个技工和两个力工组成的小组来完成。第二项工作可由一个技工或一个力工单独去完成。第三项工作可由五个力工组成的小组完成，或由一个技工领着三个力工来完成。已知技工和力工每周工资分别为100元和80元，他们每周都工作48小时，但他们每人实际的有效工作小时数分别为42和36。为完成这三项工作任务，该公司需要每周总有效工作小时数为：第一项工作10000小时。第二项工作20000小时，第三项工作30000小时。又能招收到的工人数为技工不超过400人，力工不超过800人。试建立数学模型，确定招收技工和力工各多少人。使总的工资支出为最少(
第二章 对偶与灵敏度分析

2．1　　写出以下线性规划问题的DLP
1) minz＝2x1＋2x2＋4x3
　x1＋3x2＋4x3　≥2
st 2x1＋ x2＋3x3　≤3
　x1＋4x2＋3x3　＝5
x1，x2≥0，x3无约束
2) maxz＝5x1＋6x2＋3x3
　x1＋2x2＋2x3　＝5
st －x1＋5x2－ x3　≥3
4x1＋7x2＋3x3　≤8
x1无约束，x2≥0，x3≤0

3) maxz＝c1x1＋c2x2＋c3x3
a11x1＋a12x2＋a13x3 ≤b1
st a21x1＋a22x2＋a23x3 ＝b2
a31x1＋a32x2＋a33x3　≥b3
x1≥0，x2≤0，x3无约束

2．2　　对于给出的LP：
minz＝2x1＋3x2＋5x3＋6x4
　x1＋2x2＋3x3＋x4　≥2
st －2x1＋x2－x3＋3x4　≤－3
　xj≥0 （j=1,2,3,4）
1) 写出DLP；
2) 用图解法求解DLP；
3) 利用2）的结果及根据对偶性质写出原问题的最优解。

2．3　　对于给出LP：
maxz＝x1＋2x2＋x3
　x1＋　x2－　x3　≤2
st 　x1－　x2＋　x3　＝1
2x1＋　x2＋　x3　≥2
x1≥0， x2≤0，x3无约束
1) 写出DLP；
2) 利用对偶问题性质证明原问题目标函数值Z≤1

2．4　　已知LP：
maxz＝x1＋x2
－x1＋　x2＋　x3　≤2
st －2x1＋ x2－　x3　≤1
　xj≥0
试根据对偶问题性质证明上述线性问题目标函数值无界。

2．5　　给出LP：
maxz＝2x1＋4x2＋x3＋x4
　x1＋ 3x2　　　＋x4　≤8
2x1＋ x2 　　　　≤6
st.　　　x2 ＋　x3＋ x4≤6
x1＋ x2 ＋　x3 　≤9
　 xj≥0
1) 写出DLP；
2) 已知原问题最优解X＝（2,2，4,0），试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。

2．6　　用对偶单纯形法求解下列线性规划问题
1) minz＝4x1＋12x2＋18x3
x1　　　＋3x3 ≥3
st 　　2 x2＋2x3　≥5
　xj≥0 (j=1,2,3)

2．7　　考虑如下线性规划问题
minz＝60x1＋40x2＋80x3
3x1＋2x2＋ x3　≥2
st 4x1＋ x2＋3x3　≥4
2x1＋2x2＋2x3　≥3
　xj≥0
1) 写出DLP；
2) 用对偶单纯形法求解原问题；
3) 用单纯形法求解其对偶问题；
4) 对比以上两题计算结果。

2．8　　已知LP：maxz＝2x1－x2＋x3
x1＋ x2＋ x3≤6
st 　－x1＋2x2　　 ≤4
x1，x2，x3≥0
1) 用单纯形法求最优解
2) 分析当目标函数变为maxz＝2x1＋3x2＋x3时最优解的变化；
3) 分析第一个约束条件右端系数变为3时最优解的变化。

2．9　　给出线性规划问题
maxz＝2x1＋3x2＋x3
1/3x1＋1/3x2＋1/3x3≤1
st 1/3x1＋4/3x2＋7/3x3≤3
xj≥0
用单纯形法求解得最终单纯形表如下
cj®
2
3
1
0
0
CB
XB
B
x1
x2
x3
x4
X5
2
x1
1
1
0
－1
4
－1
3
x2
2
0
1
2
－1
1
sj
0
0
－3
－5
－1
试分析下列各种条件下，最优解（基）的变化：
1) 目标函数中变量x3的系数变为6；
2) 分别确定目标函数中变量x1和x2的系数C1、C2在什么范围内变动时最优解不变；
3) 约束条件的右端由 1 变为　 2 ；
3 3
2.10 某厂生产甲、乙两种产品，需要A、B两种原料，生产消耗等参数如下表（表中的消耗系数为千克/件）。
产品原料
甲
乙
可用量（千克）
原料成本（元/千克）
A
2
4
160
1.0
B
3
2
180
2.0
销售价（元）
13
16

（1）请构造数学模型使该厂利润最大，并求解。
（2）原料A、B的影子价格各为多少。
（3）现有新产品丙，每件消耗3千克原料A和4千克原料B，问该产品的销售价格至少为多少时才值得投产。
（4）工厂可在市场上买到原料A。工厂是否应该购买该原料以扩大生产？在保持原问题最优基的不变的情况下，最多应购入多少？可增加多少利润？
3.5 某玩具公司分别生产三种新型玩具，每月可供量分别为1000、2000、2000件，它们分别被送到甲、乙、丙三个百货商店销售。已知每月百货商店各类玩具预期销售量均为1500件，由于经营方面原因，各商店销售不同玩具的盈利额不同,见下表。又知丙百货商店要求至少供应C玩具1000件，而拒绝进A玩具。求满足上述条件下使总盈利额最大的供销分配方案。

甲 乙 丙 可供量
A 5 4 － 1000
B 16 8 9 2000
C 12 10 11 2000

第三章 运输问题

3．1　　根据下表，用表上作业法求最优解。

B1
B2
B3
B4
产量
A1
4
1
4
6
8
A2
1
2
5
0
8
A3
3
7
5
1
4
销量
6
5
6
3
20
3．2　　根据下表，用表上作业法求最优解。

B1
B2
B3
B4
产量
A1
9
3
8
7
3
A2
4
9
4
5
3
A3
5
7
6
2
5
销量
1
3
2
5
11
3．3　　求给出的产销不平衡问题的最优解

B1
B2
B3
B4
产量
A1
5
12
3
4
8
A2
11
8
5
9
5
A3
9
7
1
5
9
销量
4
3
5
6

3.4 某市有三个面粉厂，他们供给三个面食加工厂所需的面粉，各面粉厂的产量、各面食加工厂加工面粉的能力、各面食加工厂和各面粉厂之间的单位运价，均式于下表。假定在第1，2和3面食加工厂制作单位面粉食品的利润分别为12元、16元和11元，试确定使总效益最大的面粉分配计划（假定面粉厂和面食加工厂都属于同一个主管单位）。
食品厂
面粉厂

1
2
3
面粉厂产值
1
2
3
3
4
8
10
11
11
2
8
4
20
30
20
销量
15
25
20

3.5 光明仪器厂生产电脑绣花机是以产定销的。已知1至6月份各月的生产能力、合同销量和单台电脑绣花机平均生产费用见下表：

已知上年末库存103台绣花机，如果当月生产出来的机器当月不交货，则需要运到分厂库房，每台增加运输成本0.1万元,每台机器每月的平均仓储费、维护费为0.2万元。在7--8月份销售淡季，全厂停产1个月，因此在6月份完成销售合同后还要留出库存80台。加班生产机器每台增加成本1万元。问应如何安排1--6月份的生产，可使总的生产费用（包括运输、仓储、维护）最少？

3.6 设有A、B、C三个化肥厂供应1、2、3、4四个地区的农用化肥。假设效果相同，有关数据如下表：

试求总费用为最低的化肥调拨方案
第四章　动态规划

4．1 现有天然气站A，需铺设管理到用气单位E，可以选择的设计路线如下图，B、C、D各点是中间加压站，各线路的费用如图所标注（单位：万元），试设计费用最低的线路。
7

1
3
4
7
5
1
4
7
10
5
15
13
1
2
A
B11
B2
C11
C2
C3
B3
D1
D2
E
5
10
6

4．2 一艘货轮在A港装货后驶往F港，中途需靠港加油、加淡水三次，从A港到F港全部可能的航运路线及两港之间距离如图，F港有3个码头F1，F2，F3，试求最合理停靠的码头及航线，使总路程最短。
40
30
50

25
50
60
30
20
40

30
20
30
60

45
50
A
B11
B2
C11
C2
C3
D1
F1
D2
40
30
F2
F3
F

4．3 某公司有资金4万元，可向A、B、C三个项目投资，已知各项目的投资回报如下，求最大回报。
项目
投资额及收益
0
1
2
3
4
A
0
41
48
60
66
B
0
42
50
60
66
C
0
64
68
78
76

4.4 某厂有1000台机器，高负荷生产，产品年产量S1与投入机器数Y1的关系为S1＝8Y1，机器完好率为0.7；低负荷生产，产品年产量S2与投入机器数Y2的关系为S2＝5Y2，机器完好率为0.9；请制定一个五年计划，使总产量最大。
4.5某厂准备连续3个月生产A种产品，每月初开始生产。A的生产成本费用为x2，其中x是A产品当月的生产数量。仓库存货成本费是每月每单位为1元。估计3个月的需求量分别为d1＝100，d2＝110，d3＝120。现设开始时第一个月月初存货s0＝0，第三个月的月末存货s3＝0。试问：每月的生产数量应是多少才使总的生产和存货费用为最小。

4.6 某公司为主要电力公司生产大型变压器，由于电力采取预订方式购买，所以该公司可以预测未来几个月的需求量。为确保需求，该公司为新的一年前四个月制定一项生产计划，这四个月的需求如表1所示。生产成本随着生产数量而变化。调试费为4，除了调度费用外，每月生产的头两台各花费为2，后两台花费为1。最大生产能力每月为4台，生产成本如2所示。
表1

表2

4.7某工厂生产三种产品，各种产品重量与利润关系如下表，现将此三种产品运往市场出售，运输能力总重量不超过6t，问应运输每种产品各多少件可使总利润最大。
产品
重量（t/件）
利润（千元/件）
1
2
80
2
3
130
3
4
180

4.8 用动态规划方法求解

第五章　存储论

5．1 某建筑工地每月需用水泥800t，每t定价2000元，不可缺货。设每t每月保管费率为0.2%，每次订购费为300元，求最佳订购批量、经济周期与最小费用。

5．2 一汽车公司每年使用某种零件150，000件，每件每年保管费0.2元，不允许缺货，试比较每次订购费为1,000元或100元两种情况下的经济订购批量、经济周期与最小费用。

5．3 某拖拉机厂生产一种小型拖拉机，每月可生产1000台，但对该拖拉机的市场需要量为每年4,000台。已知每次生产的准备费用为15,000元，每台拖拉机每月的存贮费为10元，允许缺货（缺货费为20元/台月），求经济生产批量、经济周期与最小费用。

5．4 某产品每月需求量为8件，生产准备费用为100元，存贮费为5元/月件。在不允许缺货条件下，比较生产速度分别为每月20件和40件两种情况下的经济生产批量、经济周期与最小费用。

5．5 对某种电子元件每月需求量为4,000件，每件成本为150元，每年的存贮费为成本的10%，每次订购费为500元。求：
（1） 不允许缺货条件下的最优存贮策略；
（2） 允许缺货（缺货费为100元/件年）条件下的最优存贮策略。

5．6 某农机维修站需要购一种农机配件，其每月需要量为150件，订购费为每次400元，存贮费为0.96元/件月，并不允许缺货。
（1） 求经济订购批量、经济周期与最小费用；
（2） 该厂为少占用流动资金，希望进一步降低存贮量。因此，决定使订购和存贮总费用可以超过原最低费用的10%，求这时的最优存贮策略。

5．7 某公司每年需电容器15,000个，每次订购费80元，保管费1元/个年，不允许缺货。若采购量少于1000个时，每个单价为5元，当一次采购1000个以上时每个单价降为4.9元。求该公司的最优采购策略。

5．8 某工厂对某种物料的年需要量为10,000单位，每次订货费为2,000元，存贮费率为20%。该物料采购单价和采购数量有关，当采购数量在2,000单位以下时，单价为100元；当采购数量在2,000及以上单位时，单价为80元。求最优采购策略。

5．9 某制造厂在装配作业中需用一种外购件，全年需求量为300万件，不允许缺货；一次订购费为100元；存贮费为0.1元/件月。该外购件进货单价和订购批量Q有关，具体如下表，求最佳订购策略。
批量（件）
0≤Q＜10000
10000≤Q＜30000
30000≤Q＜50000
Q≥50000
单价（元）
1.00
0.98
0.96
0.94

5．10 试证明：一个允许缺货的EOQ模型的费用，决不会超过一个具有相同存贮费、订购费、但又不允许缺货的EOQ模型的费用。

5．11 某时装屋在某年春季欲销售某种流行时装。据估计，该时装可能的销售量见下表：
销售量r（套）
150
160
170
180
190
概率P（r）
0.05
0.1
0.5
0.3
0.05
该款式时装每套进价180元，售价200元。因隔季会过时，故在季末需低价抛售完，较有把握的抛售价为每套120元。问该时装屋在季度初时一次性进货多少为宜？

第六章　排队论
6．1 某店仅有一个修理工人，顾客到达过程为Poisson流，平均3人/h，修理时间服从负指数分布，平均需10min。求：
（1） 店内空闲的概率；
（2） 有4个顾客的概率；
（3） 至少有1个顾客的概率；
（4） 店内顾客的平均数；
（5） 等待服务的顾客的平均数；
（6） 平均等待修理时间；
（7） 一个顾客在店内逗留时间超过15 min的概率。

6．2 设有一单人打字室，顾客的到达为为Poisson流，平均到达时间间隔为20 min ，打字时间服从负指数分布，平均为15min。求：
（1） 顾客来打字不必等待的概率；
（2） 打字室内顾客的平均数；
（3） 顾客在打字室内的平均逗留时间；
（4） 若顾客在打字室内的平均逗留时间超过1.25h，则主人将考虑增加设备及打字员。问顾客的平均到达率为多少时，主人才会考虑这样做。

6．3 汽车按平均90辆/h的Poisson流到达高速公路上的一个收费关卡，通过关卡的平均时间为38s。由于驾驶人员反映等待时间太长，主管部门打算采用新装置，使汽车通过关卡的平均时间减少到平均30s。但增加新装置只有在原系统中等待的汽车平均数超过5辆和新系统中关卡的空闲时间不超过10%时才是合算的。根据这一要求，分析采用新装置是否合算。

6.4 有一个M/M/1/5 系统，平均服务率µ ＝10。就两种到达率 λ＝6，λ＝15已得到相应的概率pn,如下表所示，试就两种到达率分析：
（1） 有效到达率和系统的服务强度；
（2） 系统中顾客的平均数；
（3） 系统的满员率；
（4） 服务台应从哪些方面改进工作，理由是什么？

系统中顾客数n
（λ＝6）pn,
（λ＝15）pn,
0
1
2
3
4
5
0.42
0.25
0.15
0.09
0.05
0.04
0.05
0.07
0.11
0.16
0.24
0.37

1

12