固体电子输运理论.pptx

7.1 7.1 外场下外场下BlochBloch电子运动的半经典模型电子运动的半经典模型 7.2 Boltzmann7.2 Boltzmann方程方程 7.3 7.3 外场和碰撞作用外场和碰撞作用 7.4 7.4 驰豫时间的统计理论驰豫时间的统计理论 7.5 7.5 电电-声子相互作用声子相互作用 7.6 7.6 金属电导率金属电导率 电阻率电阻率 7.8 7.8 磁输运性质磁输运性质 霍尔效应霍尔效应 磁电阻效应磁电阻效应 7.9 7.9 热输运性质热输运性质 热电效应热电效应 热导率热导率 热电势热电势对外电场、磁场采用经典方式处理对外电场、磁场采用经典方式处理半经典含义半经典含义对晶格周期场采用能带论量子力学方式处理对晶格周期场采用能带论量子力学方式处理模型模型每个电子具有确定的位置每个电子具有确定的位置 r、波矢、波矢 k 和能带指标和能带指标n 建立模型描述建立模型描述r、k 和和n 随随时间的变化规律时间的变化规律能带指标能带指标电子的速度电子的速度波矢随时间的变化波矢随时间的变化(1)电子总呆在同一能带中电子总呆在同一能带中(2)忽略不同带间的跃迁忽略不同带间的跃迁7 77 7.1 Bloch1 Bloch1 Bloch1 Bloch电子运动的半经典模型电子运动的半经典模型电子运动的半经典模型电子运动的半经典模型Bloch 电子电子的运动方程的运动方程对晶格周期场的量子力学处对晶格周期场的量子力学处理全部概括在理全部概括在 函数中函数中能带结构能带结构输运性质输运性质半经典模型使能带结构与输运性半经典模型使能带结构与输运性质即电子对外场的响应相联系质即电子对外场的响应相联系输运性质输运性质能带结构能带结构同基于理论得到的能带结构进行比较从同基于理论得到的能带结构进行比较从而验证能带结构的理论基础的正确与否而验证能带结构的理论基础的正确与否提供了从能带结构推断出提供了从能带结构推断出电子输运性质的理论基础电子输运性质的理论基础基于输运性质的测量结果基于输运性质的测量结果推断出电子的能带结构推断出电子的能带结构7.2 7.2 BoltzmannBoltzmann方程方程方程方程对固体中电子输运性质的了解，除载流对固体中电子输运性质的了解，除载流子受到的散射或碰撞外，需要知道子受到的散射或碰撞外，需要知道外场外场作用下载流子的运动规律作用下载流子的运动规律以及外场和碰以及外场和碰撞同时作用对载流子输运性质的影响。撞同时作用对载流子输运性质的影响。外外场场下下载载流流子子运运动动规规律可基于半经典模型律可基于半经典模型现在要解决的是如何考虑碰撞以及碰撞和现在要解决的是如何考虑碰撞以及碰撞和外场同时作用对载流子运动规律的影响？外场同时作用对载流子运动规律的影响？引引入入分分布布函函数数，并并将将这这些些影影响响归归结结到到对对分分布布函函数数的的影响影响定义定义对于单位体积样品，对于单位体积样品，t时刻、第时刻、第n个能带中，在（个能带中，在（r,k）处处 相空间体积内的电子数为：相空间体积内的电子数为：每每一一个个电电子子对对电电流密度的贡献为流密度的贡献为n通通常常不不标标出出，因因为为考考虑虑的是同一带中的电子的是同一带中的电子所所以以总总电电流密度为流密度为碰撞以及碰撞和外场同时作碰撞以及碰撞和外场同时作用对用对 f 的影响？的影响？在热平衡情况下，即温度均匀且没有外场作用，电子系在热平衡情况下，即温度均匀且没有外场作用，电子系统的分布函数为费米分布函数统的分布函数为费米分布函数与位置无关与位置无关。有有外外场场/温温度度不不均均匀匀时时，电电子子将将偏偏离离热热平平衡衡，相应的分布函数相应的分布函数点范围内如何随时间变化呢？如何随时间变化呢？t 时刻（时刻（r,k）处的电子）处的电子由由于于碰碰撞撞的的存存在在，dt 时时间间内内从从（r-dr,k-dk）处处出出发发的的电电子子并并不不都都能能到到达达（r,k）处处，另另一一方方面面，t 时时刻刻（r,k）处处的的电电子子也也并并非非都都来来自自t-dt 时时刻刻（r-dr,k-dk）处处漂漂移移来来的的电子，因此有：电子，因此有：若若将将因因碰碰撞撞引引起起的的 f 变变化化写写成成 则有则有必来自必来自t-dt 时刻（时刻（r-dr,k-dk）处）处漂移来的电子漂移来的电子若没有碰撞，则有若没有碰撞，则有玻尔兹曼方程玻尔兹曼方程右边第一项展开，保留到右边第一项展开，保留到dt的线性项，有的线性项，有对于稳态对于稳态Boltzmann方程方程决定于体系的能带结构决定于体系的能带结构与外场有关与外场有关因此，因此，Boltzmann方程将能带结构、外场作用以及碰撞方程将能带结构、外场作用以及碰撞作用通过引入分布函数而相联系，成为研究固体电子输作用通过引入分布函数而相联系，成为研究固体电子输运性质的理论基础运性质的理论基础半经典模型半经典模型7.3 7.3 外场和碰撞作用外场和碰撞作用外场和碰撞作用外场和碰撞作用(1)温度场温度场温度梯度的存在引起不均匀的分布函数温度梯度的存在引起不均匀的分布函数通常假定非平衡的稳态分布通常假定非平衡的稳态分布相对于平衡分布偏离甚少相对于平衡分布偏离甚少(2)电场电场忽略掉温度梯忽略掉温度梯度对度对f1的影响的影响(1)温度场温度场(2)电场电场(3)磁场磁场(3)磁场磁场玻尔兹曼方程最复杂的是碰撞项的处理，为了方便，可以做一些简化。玻尔兹曼方程最复杂的是碰撞项的处理，为了方便，可以做一些简化。假设假设没有外场没有外场，也，也没有温度梯度没有温度梯度，那么如果电子的分布函数，那么如果电子的分布函数偏离了平衡值，系统必须以碰撞机制来恢复平衡态的分布。偏离了平衡值，系统必须以碰撞机制来恢复平衡态的分布。(4)碰撞碰撞负号源于偏离随时负号源于偏离随时间的增加而减小。间的增加而减小。方程的解：方程的解：该该方方程程说说明明：由由于于碰碰撞撞作作用用，系系统统将将以以时时间间常常数数 弛豫回到平衡分布。弛豫回到平衡分布。一般可以用弛豫时间一般可以用弛豫时间 来描述这个恢复过程：来描述这个恢复过程：温温度度场场、电电场场、磁磁场场及及碰碰撞撞作作用同时存在下的用同时存在下的Boltzmann方程方程温度场温度场电场电场磁场磁场碰撞碰撞(4)碰撞碰撞(1)温度场温度场(2)电场电场(3)磁场磁场得得到到代入代入7.4 7.4 固体固体固体固体电阻率电阻率电阻率电阻率在没有温度场、磁场的情况下，仅有电场时的在没有温度场磁场的情况下，仅有电场时的Boltzmann方程为方程为泰勒定理泰勒定理：因此，该式相当于上述泰因此，该式相当于上述泰勒展开式的一级近似勒展开式的一级近似借助分布函数电借助分布函数电流密度可表示为流密度可表示为由于平衡分布对由于平衡分布对电流没有贡献电流没有贡献相相当当于于同时注意到同时注意到7.4.1 7.4.1 直流直流直流直流电导率电导率电导率电导率说明：在电场作用下，分布函数相当于平衡说明：在电场作用下，分布函数相当于平衡分布函数沿着外场相反的方向刚性移动了分布函数沿着外场相反的方向刚性移动了或者说，在或者说，在k空间中，外加电场引起费米空间中，外加电场引起费米球刚性平移了球刚性平移了注意到注意到知道了分布函数就可以很方便的知道了分布函数就可以很方便的求出电流密度，只需对分布函数求出电流密度，只需对分布函数在相空间求积分：在相空间求积分：代入代入两个等能面之间的距离为dk面元为ds体积元为由于：而：考虑考虑K空间的两个等能面空间的两个等能面由于由于 只在费米只在费米面附近才不为零，即面附近才不为零，即所以积分只需考虑所以积分只需考虑在费米面附近进行在费米面附近进行考虑一个立方体晶体，考虑一个立方体晶体，外场方向沿着外场方向沿着Ox方向，方向，电流沿着电流沿着Ox所以立方体晶体的电导率所以立方体晶体的电导率利用对称性利用对称性以及关系以及关系利用利用得到得到得到得到和和在在自自由由电电子子气气模模型型中中得得到到的的结结果果形形式式上上相相同同，不不同同之之处处有有两两点点，一一是是电电子子的的质质量量为为有有效效质质量量，二二是是驰驰豫豫时时间间为为费费米米面面上电子的驰豫时间。上电子的驰豫时间。剩余电阻率剩余电阻率声声子子散散射射有有关的电阻率关的电阻率电电子子电电子子相相互互作作用有关的电阻率用有关的电阻率磁磁散散射射有有关关的电阻率的电阻率导体导体在多种散射机制存在下，总的散射几率是：在多种散射机制存在下，总的散射几率是：总散射驰豫时间总散射驰豫时间电阻率源于传导电子的散射，固体因缺陷、杂质、晶格振动、电阻率源于传导电子的散射，固体因缺陷、杂质、晶格振动库仑作用等，往往存在着多种散射机制库仑作用等，往往存在着多种散射机制Pi代表第代表第i 种机制种机制单位时间内单位时间内单位时间内单位时间内的散射几率的散射几率意味着总电阻率是不同散意味着总电阻率是不同散射机制引起的电阻率之和射机制引起的电阻率之和杂质、缺陷等散射杂质、缺陷等散射电子声子相互作用电子声子相互作用电子电子相互作用电子电子相互作用磁散射磁散射导体电阻率至少包含四个部分导体电阻率至少包含四个部分马西森马西森(Matthiessen)定则定则当温度不为零时，离子实会在平衡位置附近发生当温度不为零时，离子实会在平衡位置附近发生小的振动，使得电子势变成小的振动，使得电子势变成 晶体中共有化运动的电子是在和晶体中共有化运动的电子是在和晶格具有相同周期的势场中运动：晶格具有相同周期的势场中运动：对理想完整的晶体，绝对零度时离对理想完整的晶体，绝对零度时离子实处在严格周期排列的位置子实处在严格周期排列的位置在在这这样样的的周周期期场场中中运运动动的的电电子子，其其状状态态是是由由确确定定能能量量和和确确定定波矢的波矢的Bloch波所描述的稳定态，这种稳定态不会发生变化。波所描述的稳定态，这种稳定态不会发生变化。明显地，周期势场因晶格振动而明显地，周期势场因晶格振动而被破坏，附加的偏离周期性势场被破坏，附加的偏离周期性势场离子实对平衡离子实对平衡位置的偏离位置的偏离 7.4.2 7.4.2 电电电电-声子相互作用声子相互作用声子相互作用声子相互作用可看作为微扰，它使得电子从一个稳可看作为微扰，它使得电子从一个稳定态跃迁到另一稳定态，即出现散射定态跃迁到另一稳定态，即出现散射 假设偏离很小，则有假设偏离很小，则有 为简单起见，只考虑简单格子，此时仅有声学支为简单起见，只考虑简单格子，此时仅有声学支 将波矢将波矢q、频率、频率 的简正模引起的原子位移写成实数形式的简正模引起的原子位移写成实数形式 为振动方向上的单位矢量为振动方向上的单位矢量 这是量子力学中典型的含时周期性微扰问题这是量子力学中典型的含时周期性微扰问题在这样的微扰下，在这样的微扰下，电子从电子从k态跃迁到态跃迁到k态的几率为态的几率为 函数保证了跃迁过程中能量是守恒的，即函数保证了跃迁过程中能量是守恒的，即离子实偏离平衡位置的运动组成晶体离子实偏离平衡位置的运动组成晶体中的格波，格波的能量是量子化的。中的格波，格波的能量是量子化的。格波的量子称为声子格波的量子称为声子 因此晶格振动对电子的散射实因此晶格振动对电子的散射实际上就是声子对电子的散射。际上就是声子对电子的散射。晶格运动对电子的散射过程相当于电子通晶格运动对电子的散射过程相当于电子通过吸收（过吸收（+）或发射声子（）或发射声子（-），从一个稳），从一个稳定态跃迁到另一稳定态的过程。定态跃迁到另一稳定态的过程。量子力学语言量子力学语言吸收声子吸收声子发射声子发射声子散射矩阵元散射矩阵元由于晶格平移对称性，求和部分仅仅由于晶格平移对称性，求和部分仅仅当波矢之和为倒格矢方不为零，由此当波矢之和为倒格矢方不为零，由此给出晶格动量守恒关系，即给出晶格动量守恒关系，即能量守恒关系能量守恒关系动量守恒关系动量守恒关系正常过程或正常过程或N过程过程此时此时说明电子在初态说明电子在初态k吸收（吸收（+）或发射（）或发射（-）一个波矢为）一个波矢为q的声子跃迁到末态的声子跃迁到末态k的过程能量和动量均是守恒的。的过程能量和动量均是守恒的。吸收声子吸收声子发射声子发射声子倒逆过程或倒逆过程或U过程过程此时此时说明电子在初态说明电子在初态k吸收（吸收（或发射（）或发射（-）一个波矢为）一个波矢为q的声子的声子跃迁到末态跃迁到末态k的过程能量是守恒的，但动量并不守恒。的过程能量是守恒的，但动量并不守恒。7.4.3 7.4.3 驰豫时间驰豫时间驰豫时间驰豫时间碰撞项碰撞项该该方方程程说说明明：由由于于碰碰撞撞作作用用，系系统统将将以以时时间间常常数数 弛豫回到平衡分布。弛豫回到平衡分布。另另外外一一方方面面，碰碰撞撞项也可以表示为：项也可以表示为：代代表表单单位位时时间间内内因因碰碰撞撞进进入入（r，k）处相空间单位体积中的电子数）处相空间单位体积中的电子数代代表表单单位位时时间间内内因因碰碰撞撞离离开开（r，k）处相空间单位体积中的电子数处相空间单位体积中的电子数若电子从若电子从k态跃迁到态跃迁到k态的几率为态的几率为wk,k，计及泡利不相容，计及泡利不相容原理，则有原理，则有同同理有理有因此因此可以论证可以论证则有则有在外加电场下在外加电场下对球形费米面对球形费米面如取电场方向为如取电场方向为k方向，则有方向，则有 为为k和和k之间的夹角之间的夹角写成积分形式写成积分形式7.4.4 7.4.4 声子散射有关的声子散射有关的声子散射有关的声子散射有关的电阻率随温度的变化电阻率随温度的变化电阻率随温度的变化电阻率随温度的变化故电阻率不仅与跃迁几率有关，故电阻率不仅与跃迁几率有关，还涉及（还涉及（1-cos）的权重因子）的权重因子很明显小角度的散射对产生电阻几乎没有贡献，起重要作用很明显小角度的散射对产生电阻几乎没有贡献，起重要作用的则是大角度散射，它使电子沿电场方向的速度有大的改变。的则是大角度散射，它使电子沿电场方向的速度有大的改变。由前面得分析看到，电子和格波的一个简正模（即一个声子）由前面得分析看到，电子和格波的一个简正模（即一个声子）相互作用导致电子从相互作用导致电子从k态到态到k态的跃迁，其跃迁几率正比于该态的跃迁，其跃迁几率正比于该格波振幅的平方格波振幅的平方对对 所描述的格波模所描述的格波模晶格中每个原子的振动动能晶格中每个原子的振动动能对时间平均后得到对时间平均后得到N个原子总的振动动能为个原子总的振动动能为可见，振幅的平方与相应格波模的能量相联系，可见，振幅的平方与相应格波模的能量相联系，用声子语言，则是比例于相应的声子数用声子语言，则是比例于相应的声子数频率为频率为 的格波的声子数的格波的声子数按德拜模型，总的声子数为按德拜模型，总的声子数为高温高温低温低温同时，高温下涉及的声子波矢较大，同时，高温下涉及的声子波矢较大，(1-cos)与与温度几乎无关，因此，电阻率正比于温度，即温度几乎无关，因此，电阻率正比于温度，即另外一方面，低温下涉及的声子波另外一方面，低温下涉及的声子波矢小，需要考虑矢小，需要考虑(1-cos)因子的影响因子的影响布洛赫布洛赫-格林艾森格林艾森T5定律定律更一般情况下电子受声子的散射引起的电阻率为：更一般情况下电子受声子的散射引起的电阻率为：A为材料有关的常数，为材料有关的常数，M原原子质量，子质量，D为德拜温度为德拜温度高温高温低温低温意味着高温时，因电意味着高温时，因电声子相互作用引起的电声子相互作用引起的电阻率随温度降低而线性阻率随温度降低而线性减小减小意味着低温时，因电意味着低温时，因电声子相互作用引起的电声子相互作用引起的电阻率按阻率按T5关系随温度降关系随温度降低而减少低而减少称为布洛赫称为布洛赫-格林艾森公式格林艾森公式7.4.5 极化子极化子(polarons)有关的电阻率有关的电阻率电声子相互作用最通常的效应表现在电阻率对温度电声子相互作用最通常的效应表现在电阻率对温度的依赖关系上，电子被声子所散射，温度越高，存在的依赖关系上，电子被声子所散射，温度越高，存在的声子就越多，散射也就愈加频繁，因此，电阻率随的声子就越多，散射也就愈加频繁，因此，电阻率随温度升高而增加。温度升高而增加。电声子相互作用一个更为微妙的效应是在金属和绝电声子相互作用一个更为微妙的效应是在金属和绝缘体中由于电子依附离子实而随之运动，使得电子有缘体中由于电子依附离子实而随之运动，使得电子有效质量增大。效质量增大。电子以及与之相伴随的晶格应变场的组合统称为极化子电子以及与之相伴随的晶格应变场的组合统称为极化子电声子相互作用电声子相互作用极化子的形成极化子的形成以离子晶体为例说明一个极化子的形成过程以离子晶体为例说明一个极化子的形成过程KCl形成弹性点阵形成弹性点阵 由由于于K离离子子带带正正电电，如如果果传传导电子出现在导电子出现在K离子附近离子附近意意味味着着，在在弹弹性性点点阵阵情情况况下下，K K或或ClCl离离子子会会因因为为同同传传导导电电子子之之间间的的库库仑仑力力作作用用而而发发生生位位移移，即所谓的晶格应变即所谓的晶格应变同同样样由由于于Cl离离子子带带负负电电，当当传传导导电电子子经经过过时时，传传导导电电子子和和Cl离离子子之之间间的的库库仑仑排排斥斥力力作作用用使使得得Cl离离子子远远离离传传导导电电子子弹性点阵弹性点阵则则传传导导电电子子和和K离离子子之之间间的的库库仑仑吸吸引引力力作作用用，使使得得K离子向传导电子靠近离子向传导电子靠近电子加上与之联系的应电子加上与之联系的应变场称为一个极化子变场称为一个极化子离子的位移增大了电子的有效惯性，因此也就增离子的位移增大了电子的有效惯性，因此也就增大了它的有效质量，从而使得传导电子的运动速大了它的有效质量，从而使得传导电子的运动速度变缓度变缓。在在极极端端情情况况下下，传传导导电电子子自自陷陷于于应应变变场场中中，或或者者说说传传导导电电子子被被因因晶晶格格畸畸变变而而产产生生的的应应变变场场所所捕捕获获，成为束缚态电子成为束缚态电子。现现在在所所关关心心的的是是，电电子子如如何何从从一一个个束束缚缚态态过过渡渡到到另一个束缚态另一个束缚态极化子有关的电阻率极化子有关的电阻率高温下，传导电子借助于热激活机理可高温下，传导电子借助于热激活机理可以从一个束缚态过渡到另一个束缚态以从一个束缚态过渡到另一个束缚态 高温高温无外场时无外场时势能曲线势能曲线传导电子越过势垒向左和传导电子越过势垒向左和向右的几率势一样的向右的几率势一样的传导电子右端势垒高度传导电子右端势垒高度由原来的由原来的E0下降至下降至而传导左端而传导左端势垒高度增至势垒高度增至外场的作用使势垒不再对称外场的作用使势垒不再对称因此，传导越过因此，传导越过势垒向右的净几率为势垒向右的净几率为而电阻率而电阻率在弱场或高温下在弱场或高温下低温低温低温下传导电子借助隧穿机理而缓慢地通过晶体低温下传导电子借助隧穿机理而缓慢地通过晶体 三十年多前，基于极化子隧穿机理提出极化子输运理论三十年多前，基于极化子隧穿机理提出极化子输运理论按照该理论，低温（按照该理论，低温（kT2tp）下电阻率）下电阻率I.G.Lang and Yu.A Firsov,Sov.Phys.JEPT 16,1301(1963)其其中中tP是是极极化化子子跳跳跃跃积积分分，a为为晶晶格格常常数数，为为驰豫率驰豫率 光学声子模的平均频光学声子模的平均频率，率，A 为常数，取决于为常数，取决于裸带宽和电声子耦合裸带宽和电声子耦合强度强度 低温下只有低频模式才对低温下只有低频模式才对电阻率有贡献，而高频模电阻率有贡献，而高频模式可忽略不考虑，因此，式可忽略不考虑，因此，其中其中 s为软光学模式的平均频率，为软光学模式的平均频率，C为正比于极化子有效质量的常数为正比于极化子有效质量的常数 7.4.6 电子电子-电子相互吸引作用的简单模型电子相互吸引作用的简单模型1950年年弗弗烈烈里里希希(Frolich)指指出出：电电子子-声声子子相相互互作作用用能能把把两两个个电电子耦合在一起，这种耦合就好像两个电子之间有相互作用一样子耦合在一起，这种耦合就好像两个电子之间有相互作用一样为了明确其物理图像，弗烈里希给出如下一个物理模型为了明确其物理图像，弗烈里希给出如下一个物理模型整齐排列的理想点阵中的两个电子整齐排列的理想点阵中的两个电子当当第第一一个个电电子子通通过过晶晶格格时时，电电子子与与离离子子点点阵阵的的库库仑仑作作用用使晶格畸变使晶格畸变当当第第二二个个电电子子通通过过畸畸变变的的晶晶格格时时，受受到到畸变场作用，畸变场吸引这第二个电子畸变场作用，畸变场吸引这第二个电子如如果果我我们们忘忘记记第第一一个个电电子子对对晶晶格格造造成成畸畸变变的的过过程程，而而只只看看最最后后结结果果，将是第一个电子吸引第二个电子将是第一个电子吸引第二个电子7.5 磁场中电子的运动磁场中电子的运动磁场中电子运动的基本方程磁场中电子运动的基本方程1、自由电子的准经典运动自由电子的准经典运动 自由电子的能量自由电子的能量回转频率回转频率可见可见 k空间电子在空间电子在 面上做圆周运动面上做圆周运动实空间电子的运动实空间电子的运动对时间求导对时间求导可见在可见在(x,y)平面做匀速圆周运动平面做匀速圆周运动回转频率回转频率2、自由电子情况的量子理论、自由电子情况的量子理论 无磁场时自由电子哈密顿算符无磁场时自由电子哈密顿算符为整数为整数N个个电电子子基基态态从从 能能 量量 最最 低低k=0态态开开始始，按按能能量量由由低低到到高高依依次次填填充充，最最后后得得到到一一个个费米球。费米球。电子的本征能量电子的本征能量磁磁场场中中电电子子的的动动量包含两部分量包含两部分运动动量运动动量势动量（场动量）势动量（场动量）因此磁场中电子的哈密顿算符因此磁场中电子的哈密顿算符外加磁场，假设磁场沿外加磁场，假设磁场沿z轴，轴，则可取矢势则可取矢势因此，磁场中运动的电子满足的薛定鄂方程为因此，磁场中运动的电子满足的薛定鄂方程为令令代入得到代入得到 应满足的方程应满足的方程令令显然，这是简谐振子的薛定鄂方程显然，这是简谐振子的薛定鄂方程谐振子波函数谐振子波函数谐振子的能量谐振子的能量而电子波函数而电子波函数电子的能量电子的能量电子波函数电子波函数电子的能量电子的能量这些量子化的能级称为这些量子化的能级称为朗道能级朗道能级表明：沿磁场方向（表明：沿磁场方向（z方向）电子保持自由运动，方向）电子保持自由运动，相应的动能为相应的动能为在垂直磁场的在垂直磁场的(x,y)平面上，电子运动是量子化的，平面上，电子运动是量子化的，从准连续的能量从准连续的能量 变成变成在垂直于磁场方向上，无磁场时的动能按在垂直于磁场方向上，无磁场时的动能按量子化，简并到量子化，简并到Landua能级能级上上这样在这样在k空间中，许可态的代表点将简并到空间中，许可态的代表点将简并到Landua管上，其截管上，其截面为面为Landau环，如图。环，如图。3、晶体中电子的情况、晶体中电子的情况 晶体中电子在磁场中的运动时，其哈密顿算符晶体中电子在磁场中的运动时，其哈密顿算符处理思路：将周期性势场的影响概括为有效质量的变化处理思路：将周期性势场的影响概括为有效质量的变化 有效质量近似方法有效质量近似方法哈密顿量哈密顿量采采用用有有效效质质量量近近似似后后，晶晶体体中中的的电电子子可可视视为为“自自由由电电子子”，正是此电子的质量是有效质量正是此电子的质量是有效质量m*回转频率回转频率磁场下晶体中电子的波函数磁场下晶体中电子的波函数能量本征值能量本征值在垂直于磁场方向上，无磁场时的动能按在垂直于磁场方向上，无磁场时的动能按量子化，简并到量子化，简并到Landua能级能级上上4、回旋共振、回旋共振晶晶体体中中电电子子在在磁磁场场中中运运动动，采采用用有有效效质质量量近近似似后后，电电子子做螺旋运动，回转频率做螺旋运动，回转频率在垂直于磁场的方向施加一个交变电场，当在垂直于磁场的方向施加一个交变电场，当电子将吸收交变电场的能量电子将吸收交变电场的能量电子发生共振吸收，称为回旋共振电子发生共振吸收，称为回旋共振电电子子吸吸收收电电场场的的能能量量，电电子子实实现现了了从从一一个个朗朗道道能能级级跃跃迁迁到到更更高高能能量量的的朗朗道道能能级级上上，通通过过测测量量回回旋旋共共振振频率，可以确定电子的有效质量频率，可以确定电子的有效质量半半导导体体材材料料中中能能带带底底和和能能带带顶顶附附近近，电电子子的的有效质量不同，具有不同的回旋共振频率有效质量不同，具有不同的回旋共振频率7.6 7.6 磁输运性质磁输运性质磁输运性质磁输运性质7.6.1 Boltzmann方程及解方程及解一般情况下一般情况下Boltzmann方程方程若没有温度梯度，只有若没有温度梯度，只有磁场和电场作用，则磁场和电场作用，则代代入入到到类类似似于于在在电电场场下下的的讨讨论论，我我们们得得到到电电场和磁场同时存在时的电流密度为场和磁场同时存在时的电流密度为若写成形式若写成形式则有则有7.6.2 Hall电阻与欧姆电阻电阻与欧姆电阻假假定定磁磁场场沿沿z轴轴，电电流流在在垂垂直于直于z轴的平面上，如图。轴的平面上，如图。Hall电阻率电阻率与磁场无关！与磁场无关！正比于磁场正比于磁场7.6.3 磁磁电阻效应电阻效应定义定义磁场引起的电阻变化，称之为磁电阻效应磁场引起的电阻变化，称之为磁电阻效应从推导中看到，从推导中看到，与磁场无关的量，意味着与磁场无关的量，意味着之所以得出磁电阻为零的结论，主要是因为：之所以得出磁电阻为零的结论，主要是因为：费米面为球形费米面为球形对电流贡献的电子来自于同一能带中对电流贡献的电子来自于同一能带中只有费米面附近、速度等于费米速度的电子才参与导电，只有费米面附近、速度等于费米速度的电子才参与导电，它们感受到同样的洛伦玆力，虽然这种洛伦玆力作用下电子它们感受到同样的洛伦玆力，虽然这种洛伦玆力作用下电子轨道会发生偏转，但恰好为霍尔场的作用所抵消，结果相当轨道会发生偏转，但恰好为霍尔场的作用所抵消，结果相当于磁场并不存在。于磁场并不存在。费米面并非严格球形费米面并非严格球形实际情况是所有的金属均表现出不为零的磁电阻效应实际情况是所有的金属均表现出不为零的磁电阻效应原因原因参与导电的电子并非仅仅来自单一能带参与导电的电子并非仅仅来自单一能带因因此此电电子子速速度度、有有效效质质量量与与方方向向和和能能量量有有关关，仅仅部部分分电电子子的的运运动动满满足足洛洛伦伦玆玆力力与与霍霍尔尔场场力力的的平平衡衡，其其余余电电子子的的轨轨迹迹发发生生了变化。了变化。假设参与导电的电子来自两个各向同性的能带假设参与导电的电子来自两个各向同性的能带两带模型两带模型这样就有两组不同有效质量和不同速度的载流子这样就有两组不同有效质量和不同速度的载流子总电流总电流Ji、i和和Di分别为第分别为第i带的电流密度、电导率和带的电流密度、电导率和D矢量矢量由于这一原因，磁电阻测量由于这一原因，磁电阻测量常常成为研究费米面形状的常常成为研究费米面形状的最有效实验手段最有效实验手段画出矢量图画出矢量图由此解出由此解出考虑磁场沿考虑磁场沿z轴轴 电场在电场在xy平面平面令令Jy=0，则从第二式可得到，则从第二式可得到Hall电场电场Ey将将Ey代入第一式则得到代入第一式则得到Jx 与与Ex的关系：的关系：磁场下的电导率磁场下的电导率则有则有任意场强时公式很复杂，现在考虑低磁场任意场强时公式很复杂，现在考虑低磁场情况。所谓低场是相对而言的，即满足：情况。所谓低场是相对而言的，即满足：磁电导磁电导 低场下低场下 磁电阻磁电阻 所以在两带模型下所以在两带模型下我们得到磁电阻为我们得到磁电阻为讨论讨论在两带模型中，参与对输运贡献的电子来源于两个不同在两带模型中，参与对输运贡献的电子来源于两个不同的各向同性的能带，在这种情况下，我们得到的各向同性的能带，在这种情况下，我们得到意味着磁场引起电阻的增大，其起因是由于洛伦玆力的意味着磁场引起电阻的增大，其起因是由于洛伦玆力的存在引起电子的运动轨迹发生了变化存在引起电子的运动轨迹发生了变化为了和通常讲到的与自旋有关的磁电阻效应进行区别，为了和通常讲到的与自旋有关的磁电阻效应进行区别，通常称洛伦玆力有关的磁电阻效应为正常磁电阻效应通常称洛伦玆力有关的磁电阻效应为正常磁电阻效应。由于由于由于由于MR仅为仅为的函数，而的函数，而由由科科勒勒定定则则看看到到，相相同同的的磁磁场场下下，零零场场下下电电阻阻率率越越小小，则则磁磁电电阻阻越越明明显显，而而金金属属电电阻阻随随温温度度降降低低而而变变小小，因因此此，研研究究这一磁电阻行为的实验最好是在低温下进行。这一磁电阻行为的实验最好是在低温下进行。而而因此因此MR仅仅是仅仅是 的函数，即的函数，即Kohlers ruleF F函数的行为仅依赖于材料的本性函数的行为仅依赖于材料的本性77.7 7 热输运性质热输运性质热输运性质热输运性质7.7.1 热热电效应电效应一般情况下一般情况下Boltzmann方程方程若若不不加加磁磁场场该项不考虑该项不考虑温度梯度引起温度梯度引起分布不均匀分布不均匀现在考虑除电场外还现在考虑除电场外还存在温度梯度的情况存在温度梯度的情况然后我们很容易得到与温然后我们很容易得到与温度梯度有关的部分，即上度梯度有关的部分，即上述方程中的第一项为述方程中的第一项为上述方程第二项可写为上述方程第二项可写为将上面提到的两部分代入到将上面提到的两部分代入到Bolzmann方程并经过整理后，我们方程并经过整理后，我们得到在电场和温度梯度存在时的得到在电场和温度梯度存在时的Boltzmann方程为方程为由此可得由此可得f1可计算出电流密度可计算出电流密度化化学学势势梯梯度度的的作作用用与与外外场场等等价价，实实际际测测量量中中测测得得的的电电场场已已包包括括这这一一效效应应。因因此此，当当把把电电场场强强度度理理解解为为观察值时该项可去掉。观察值时该项可去掉。仅仅有有温温度度梯梯度度时时，也也可可产产生生电电流流，这这一一效效应应称称为热电效应为热电效应代入代入电场作用下产生电流电场作用下产生电流温度场作用下也可产温度场作用下也可产生电流生电流(热电效应热电效应)温度梯度更重要的作用是产生热流，处在温度梯度更重要的作用是产生热流，处在k态的电态的电子所携带的热量为子所携带的热量为 ，因而，热流密度为，因而，热流密度为将前面得到将前面得到的的 f1代入有代入有输运系数输运系数系数为张量，对最简系数为张量，对最简单情况，即假设样品单情况，即假设样品具有立方结构，利用具有立方结构，利用 系数则成为标量系数则成为标量电电流流密密度度热热流流密密度度1)n=02)n=13)n=2可见，三个输运系数都通过电导率相联系可见，三个输运系数都通过电导率相联系7.7.2 热导率热导率温度梯度温度梯度 的存在，可在金属的存在，可在金属样品中产生热流。样品中产生热流。实验上，测量热导率时样品实验上，测量热导率时样品处于开路，无电流通过，因处于开路，无电流通过，因此此，J=0 源源于于：在在开开路路样样品品中中，温温度度梯梯度度引引起起电电荷荷流流动动，在在样样品品端端部部积积聚聚建建立立起起电场。电场。在热流计算中应计入这一电场在热流计算中应计入这一电场 代代 入入热流正比于温度梯度，其比例系热流正比于温度梯度，其比例系数即为材料的热导率，即数即为材料的热导率，即 热导率热导率7.7.3 热电势热电势相应的电场强度与温度梯度相应的电场强度与温度梯度成正比，即成正比，即样品上加有温度梯度样品上加有温度梯度 并处于开并处于开路状态，在样品上则可观察到热电路状态，在样品上则可观察到热电动势，这一效应称为动势，这一效应称为Seebeck效应效应比例系数比例系数 称为材料称为材料的绝对热电势，简称为热电势的绝对热电势，简称为热电势可见，决定热电势的是金属电导可见，决定热电势的是金属电导率在费米能附近随能量的变化率在费米能附近随能量的变化 式中()、v()分别为能量为的电子的弛豫时间和电子速度，dS为能量为的等能面（面积为A）上的面元。表示在等表示在等能面上的平均能面上的平均自由电子气自由电子气如果弛豫时间对能量的依赖不重要如果弛豫时间对能量的依赖不重要，则由则由3项中最难估算项中最难估算的是的是()项项对对其其它它金金属属，如如Cu、Ag等等，导导电电电电子子的的行行为为在在某某些些方方面面相相当当接接近近于于自自由由电电子子，尽尽管管热热电电势势在在温温度度较较高高时时是是正正比比于于温温度度的的线线性性行行为为，但符号为正，说明问题并不如此简单。但符号为正，说明问题并不如此简单。看到，热电势是负的，其数值正比于温度。看到，热电势是负的，其数值正比于温度。这正是图中这正是图中K K、NaNa金属在约金属在约150K150K以上的行为。以上的行为。7.7.4 热电势的测量热电势的测量对热电势的测量，通常采用如图所对热电势的测量，通常采用如图所示的由示的由A、B两种材料构成的回路两种材料构成的回路 ABB1423TT T VAB由于温差引起的电势差在由于温差引起的电势差在T0(如室如室温温)下测量，则有下测量，则有 B材料常用铜线，已知材料常用铜线，已知SB时，就可得到时，就可得到SA