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专训2　图形变换在解题中的巧用
名师点金：图形的平移、旋转、对称变换实质是只改变图形位置的全等变换，在这个变换过程中有对应线段相等、对应角相等等一些等量关系，利用这些等量关系可以解决线段、角、面积的计算等有关问题．

平移
利用平移求面积
1．如图，某居民小区有一长方形地，居民想在长方形地内修筑同样宽的几条小路，余下部分绿化，小路的宽为2米，则绿化的面积为多少平方米？
(第1题)

利用平移求线段长
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝33°，将△ABC沿AB方向向右平移得到△DEF，连接CF.
(1)试求出∠E的度数；
(2)若AE＝9 cm，DB＝2 cm，请求出CF的长度．
(第2题)

利用平移比较线段
3．王老师在黑板上写出了一道题，如图①，线段AB＝CD，AB与CD相交于点O，且∠AOC＝60°，试比较AC＋BD与AB的大小．小聪思考片刻就想出来了，他说将AB平移到CE的位置，连接BE，DE，如图②，就可以比较AC＋BD与AB的大小了，你知道他是怎样比较的吗？

(第3题)

旋转
利用旋转求角度
4．如图，在正方形ABCD内有一点P，PA＝1，PD＝2，PC＝3，求∠APD的度数．

第4题)

利用旋转求线段长
5．【2015·吉林】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5 cm，BC＝12 cm.将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△EBD，连接DC，交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为________cm.
(第5题)

利用旋转确定点的坐标
6．【2015·衡阳】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(3，2)，B(3，5)，C(1，2)．
(1)在平面直角坐标系中画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1.
(2)把△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度，得到图中的△AB2C2，点C2在AB上．
①旋转角为多少度？
②写出点B2的坐标．
(第6题)

利用旋转求面积
7．如图，在Rt△ABC中，四边形DECF是正方形．
(1)请简述图①经过怎样的变换形成图②；
(2)当AD＝5，BD＝6时，设△ADE，△BDF的面积分别为S1，S2，求S1＋S2.
(第7题)

利用旋转说明线段关系
8．如图所示，在△ABC中，M是BC的中点，E，F分别在AC，AB上，且ME⊥MF，求证：EF．【2016·十堰】如图，将矩形纸片ABCD(AD＞AB)折叠，使点C刚好落在线段AD上，且折痕分别与边BC，AD相交，设折叠后点C，D的对应点分别为点G，H，折痕分别与边BC，AD相交于点E，F.
(1)判断四边形CEGF的形状，并证明你的结论；
(2)若AB＝3，BC＝9，求线段CE的取值范围．
(第9题)

用图形变换说明线段关系
10．如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是BA延长线上的一点，AF＝AE，BE的延长线交DF于点H，已知△ABE≌△ADF.
(1)在图中，可以通过平移、翻折、旋转中的哪一种方法，使△ABE变到△ADF的位置？
(2)线段BE与DF有什么关系？证明你的结论．
(第10题)

答案
1．解：如图，将小路平移后得绿化部分宽为(20－2)米，长为(32－2)米，
(第1题)
(20－2)×(32－2)＝18×30＝540(平方米)．
答：绿化的面积为540平方米．
2．解：(1)∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝33°，
∴∠CBA＝90°－33°＝57°.
由平移得∠E＝∠CBA＝57°.
(2)由平移得AD＝BE＝CF.
∵AE＝9 cm，DB＝2 cm，
∴AD＝BE＝×(9－2)＝3.5 cm.
∴CF＝3.5 cm.
3．解：由平移的性质知，AB CE，
∴四边形ABEC是平行四边形．
∴BE＝AC，∠DCE＝∠AOC＝60°.
∵AB＝CE，AB＝CD，∴CE＝CD，
∴△CED是等边三角形，
∴DE＝CE＝AB，
根据三角形的三边关系知BE＋BD＞DE，
∴AC＋BD＞AB.

(第4题)
4．解：如图，将△PCD绕点D顺时针旋转90°至CD与AD重合，连接PQ，则△PDQ是一个等腰直角三角形．
∴QD＝PD＝2，QA＝PC＝3.
在等腰直角三角形PDQ中，PQ2＝DP2＋DQ2＝8.
在△PAQ中，
PA2＋PQ2＝1＋8＝9＝AQ2，
∴∠APQ＝90°，
∴∠APD＝∠APQ＋∠DPQ＝90°＋45°＝135°.
5．42　点拨：∵∠ACB＝90°，AC＝5 cm，BC＝12 cm，∴由勾股定理可得AB＝13 cm.由图形的旋转可得BC＝BD＝12 cm，∠CBD＝60°，∴△BCD是等边三角形．∴CD＝BC＝BD＝12 cm，∴△ACF和△BDF的周长之和为AC＋CF＋AF＋BF＋BD＋DF＝AC＋AB＋CD＋BD＝5＋13＋12＋12＝42(cm)．
6．解：(1)如图所示．

(第6题)
(2)①90°；②B2(6，2)．
7．解：(1)将题图①中的△ADE绕点D逆时针旋转90°得题图②.
(2)设△ADE绕点D逆时针旋转90°得△GDF，则S1＋S2＝S△BDG.由旋转的性质知，∠ADG＝90°，DG＝AD＝5，
∴∠BDG＝90°，∴S△BDG＝BD·DG＝×6×5＝15.∴S1＋S2＝15.
8．证明：由题意可知BM＝MC，
∴可将△BFM绕点M旋转180°得到△CNM，如图所示．
∴BF＝CN，FM＝MN.
连接EN，又∵ME⊥MF，
∴EN＝EF.
在△ENC中，EN重合，EF为折线，
∴∠GEF＝∠FEC，
∴∠GFE＝∠GEF，
∴GF＝GE.
∵图形翻折后线段EC与EG完全重合，
∴GE＝EC，
∴GF＝EC.
∴四边形CEGF为平行四边形．
∴平行四边形CEGF为菱形．
(第9题)

(2)由图①，当F与D重合时，得四边形CEGD是菱形，
∴CE＝CD＝AB＝3.
如图②，当G与A重合时，CE取最大值，
由折叠的性质得AE＝CE.
∵∠B＝90°，
∴AE2＝AB2＋BE2，即CE2＝32＋(9－CE)2.
∴CE＝5.
∴线段CE的取值范围为3≤CE≤5.
10．解：(1)把△ABE绕点A逆时针旋转90°可得到△ADF.
(2)BE＝DF，BE⊥DF.理由如下：
∵△ABE≌△ADF，
∴BE＝DF，∠ABE＝∠ADF，
而∠AEB＝∠DEH，
∴∠DHE＝∠EAB＝90°，
∴BE⊥DF.

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