生活中的轴对称(知识点总结-基础-变式-提高)剖析422.pdf

1 知识要点梳理知识要点梳理 轴对称图形 轴对称分类 轴对称 角平分线 线段的垂直平分线 轴对称实例 等腰三角形 等边三角形 生活中的轴对称 轴对称的性质 轴对称的性质 镜面对称的性质 图案设计 轴对称的应用 镶边与剪纸 一、轴对称图形一、轴对称图形 1、如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。2、理解轴对称图形要抓住以下几点：（1）指一个图形；（2）存在一条直线（对称轴）；（3）图形被直线分成的两部分互相重合；（4）轴对称图形的对称轴有的只有一条，有的则存在多条；（5）线段、角、长方形、正方形、菱形、等腰三角形、圆都是轴对称图形；【例 1】要在一块长方形的空地上修建一个既是轴对称图形，又是中心对称图形的花坛，下列图案中不符合设计要求的是（）2 二、轴对称二、轴对称 1、对于两个图形，如果沿一条直线对折后，它们能互相重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴。可以说成：这两个图形关于某条直线对称。2、理解轴对称应注意：（1）有两个图形；（2）沿某一条直线对折后能够完全重合；（3）轴对称的两个图形一定是全等形，但两个全等的图形不一定是轴对称图形；（4）对称轴是直线而不是线段；轴对称图形 轴对称 是一个图形自身的对称特性 是两个图形之间的对称关系 区别 对称轴可能不止一条 对称轴只有一条 沿某条直线对折后都能够互相重合 共同点 如果轴对称的两个图形看作一个整体，那么它就是一个轴对称图形；如果把轴对称图形分成两部分（两个图形），那么这两部分关于这条对称轴成轴对称。【例 2】下列四个判断：成轴对称的两个三角形是全等三角形；两个全等三角形一定成轴对称；轴对称的两个圆的半径相等；半径相等的两个圆成轴对称，其中正确的有（）三、角平分线的性质三、角平分线的性质 1、角平分线所在的直线是该角的对称轴。2、性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。【例 3】如图，AB=AC，BEAC 于 E，CFAB 于 F，BE，CF 交于 D，则以下结论：ABEACF；BDFCDE；点 D 在BAC 的平分线上 3 正确的是（）A.B.C.D.四、线段的垂直平分线四、线段的垂直平分线 1、垂直于一条线段并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，又叫线段的中垂线。2、性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等。【例4】下列各语句中不正确的是（）A全等三角形的周长相等 B全等三角形的对应角相等 C到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 D线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点的距离相等【变式 4】有公路 l1异侧、l2同侧的两个村庄 A，B，如图高速公路管理处要建一处服务区，按照设计 要求，服务区到两个村庄 A，B 的距离必须相等，到 两条公路 l1，l2的距离也必须相等，符合条件的服 务区 C 有（）处 五、等腰三角形五、等腰三角形 1、有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；2、相等的两条边叫做腰；另一边叫做 底边；3、两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角；4、三条边都相等的三角形也是等腰三角形。5、等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴（等边三角形除外），其底边上的高或顶角的平分线，或底边上的中线所在的直线都是它的对称轴。6、等腰三角形的三条重要线段不是它的对称轴，它们所在的直线才是等腰三角形的对称轴。7、等腰三角形底边上的高，底边上的中线，顶角的平分线互相重合，简称为“三线合 4 一”。8、“三线合一”是等腰三角形所特有的性质，一般三角形不具备这一重要性质。9、“三线合一”是等腰三角形特有的性质，是指其顶角平分线，底边上的高和中线，这三线，并非其他。10、等腰三角形的两个底角相等，简写成“等边对等角”。11、判定一个三角形是等腰三角形常用的两种方法：（1）两条边相等的三角形是等腰三角形；（2）如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等相等，简写为“等角对等边”。【例 5】已知如图(a)，BC=3，ABC 和ACB 的平分线相交于点 O，OEAB，OFAC，则三角形 OEF 的周长为 。(a)(b)【变式 5】如图(b)，在ABC 中，AB=AC，AD 是高，AM 是ABC 外角CAE 的平分线（1）用尺规作图方法，作ADC 的平分线 DN；（保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）设 DN 与 AM 交于点 F，判断ADF 的形状（只写结果）5 六、等边三角形六、等边三角形 1、等边三角形是指三边都相等的三角形，又称正三角形，是最特殊的三角形。2、等边三角形是底与腰相等的等腰三角形，所以等边三角形具备等腰三角形的所有性质。3、等边三角形有三条对称轴，三角形的高、角平分线和中线所在的直线都是它的对称轴。4、等边三角形的三边都相等，三个内角都是 600。图形 定义 性质 等腰三角形 有两边相等的三角形 1、两腰相等，两底角相等。2、顶角=1800-2底角。底角=（1800-顶角）/2。3、顶角的平分线、底边上的中线和高“三线合一”。4、轴对称图形，有一条对称轴。等边三角形（又叫正三角形）三边都相等的三角形 1、三边都相等，三内角相等，且每个内角都等于 600。2、具有等腰三角形的所有性质。3、轴对称图形，有三条对称轴。【例 6】下列三角形：有两个角等于 60；有一个角等于 60的等腰三角形；三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形 其中是等边三角形的有（）6 【变式 6】在ABC 中，AB=AC，将线段 AC 绕着点 C 逆时针旋转得到线段 CD，旋转角为，且 0180，连接 AD、BD（1）如图 1，当BAC=100，=60时，求CBD 的大小。（2）如图 2，当BAC=100，=20时，求CBD 的大小。（3）已知BAC 的大小为 m（60m120），若CBD 的大小与（2）中的结果相同，请直接写出 的大小 七、七、含有含有 3030角的直角三角形角的直角三角形 性质：性质：在一个直角三角形中，如果有一个角等于 30，那么 30所对的角是斜边的一半。【例 7】若等腰三角形腰长为 8，腰长上的高为 4，则此三角形的顶角是（）A.30 B.150 C.30或 150 D.30或 120【变式 7】下列说法：如图 1，ABC 中，AB=AC，A=45，则ABC 能被一条直线分成两个小等腰三角形 如图 2，ABC 中，AB=AC，A=36，BD，CE 分别为ABC，ACB 的角平分线且相交于点 F，则图中等腰三角形有 6 个 7 如图 3，ABC 是等边三角形，CDAD，且 ADBC，则 AD=AB 21如图 4，ABC 中，点 E 是 AC 上一点，且 AE=AB，连接 BE 并延长至点 D，使 AD=AC，DAC=CAB,DBC=DAB,其中，正确的有。21 八、轴对称的性质八、轴对称的性质 1、两个图形沿一条直线对折后，能够重合的点称为对应点（对称点），能够重合的线段称为对应线段，能够重合的角称为对应角。2、关于某条直线对称的两个图形是全等图形。3、如果两个图形关于某条直线对称，那么对应点所连的线段被对称轴垂直平分。4、如果两个图形关于某条直线对称，那么对应线段、对应角都相等。5、类似地，轴对称图形的性质有：（1）轴对称图形对应点所连的线段被对称轴垂直平分。（2）轴对称图形的对应线段、对应角相等。（3）根据轴对称图形的性质可求作轴对称图形的对应点、对应线段或对应角，并由此能补全轴对称图形。【例 8】下列四个判断：成轴对称的两个三角形是全等三角形；两个全等三角形一定成轴对称；轴对称的两个圆的半径相等；半径相等的两个圆成轴对称，其中正确的有（）【变式 8】如图，把一个边长为 7 的正方形经过三次对折后沿图（4）中平行于MN 的虚线剪下，得图（5），它展开后得到的图形的面积为 45，则 AN 的长为（）8 九、图案设计九、图案设计 1、作出简单平面图形经过轴对称后的图形，实际上是轴对称图形的性质的灵活运用。2、作出简单平面图形经过轴对称后的图形的步骤:（1）首先要确定一个简单平面图形上的几个特殊点；（2）然后利用轴对称的性质，作出其相应的对称点（对应点所连的线段被对称轴垂直平分）。（3）分别连接其对称点，则可得其对称图形。3、表达方式（以点 M 为例）：（1）过点 M 作对称轴 的垂线，垂足为 A；l（2）延长 MA 到 M到，使 MA=MA，则点 M就是点 M 关于直线 的对称点。l（3）在复杂的作图中，也可以叙述为：作出点 M 关于直线 的对称点 M.l4、在运用轴对称设计图案时，就注意以下几点：（1）要有明确的设计意图；（2）创意要新颖独特3）设计出的图案要符合要求；（4）能清楚地表达自己的设计意图和制作过程。5、图案的设计除采用对称的手段外，通常还综合采用旋转、倒置、重复等手段和形式。6、设计的图案要美观、大方，积极向上，反映时代特色。【例 9】按照轴对称画出图形的另一半 9 【变式 9】如图，草原上有两个居民点 P,Q，MM是一条公路，NN是一条河流一汽车从 P出发，把一批参加社会实践活动的学生送到公路上，再到河边去加水，最后回到 Q问：怎样安排两个停靠点 R，S，可使行驶的路程最短？十、镜面对称十、镜面对称 1、镜面对 称的有关性质：（1）任何一个平面图形（物体）在镜子中的像与它是可以重合的。因此，一个轴对称图形在镜子中的像仍是轴对称图形。（2）若一个平面图形正对镜面，则其左（右）侧在镜中的像是其右（左）侧；（3）若一个平面图形（物体）垂直于镜面摆放，则靠近镜面的部分，其像也靠近镜面；10 2、关于数字 0、1、3、8 在镜面中像的两个结论：（1）如果写数字的纸条垂直于镜面摆放，则纸条上写的 0、1、3、8 所成的像与原来的数字完全一样。（2）如果纸条正对镜面摆放，则纸条上写的 0、1、8 这三个数字在镜中的像和原来的数字完全一样。3、像与物体到镜面的距离相等。4、像与物体的对应点连线被镜面垂直平分。5、由镜中的时间来判断真实时间是近几年来中考的一个热点。时间的表示有用一般数字表示的，也有直接用钟表来表示的在判断时，大家要注意灵活利用镜面对称的知识来加以解决。【例10】镜子里看到的视力表如下所示，画出其实际图形 【变式 10】看镜子，写数字 练习题练习题 一、选择题一、选择题 11 1下列说法中，不正确的是 ()A等腰三角形底边上的中线就是它的顶角平分线 B等腰三角形底边上的高就是底边的垂直平分线的一部分 C一条线段可看作以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形 D两个三角形能够重合，它们一定是轴对称的 2下列推理中，错误的是 ()AABC，ABC 是等边三角形 BABAC，且BC，ABC 是等边三角形 CA60，B60，ABC 是等边三角形 DABAC，B60，ABC 是等边三角形 3在等边三角形 ABC 中，CD 是ACB 的平分线，过 D 作 DEBC 交 AC 于 E，若ABC的边长为 a，则ADE 的周长为 ()A2a Ba34 C15a Da 4等腰三角形两边的长分别为 2cm 和 5cm，则这个三角形的周长是 ()A9cm B12cm C9cm 和 12cm D在 9cm 与 12cm 之间 5观察图 7108 中的汽车商标，其中是轴对称图形的个数为 ()A.2 B.3 C.4 D.5 6对于下列命题：(1)关于某一直线成轴对称的两个三角形全等；(2)等腰三角形的对称轴是顶角的平分线；(3)一条线段的两个端点一定是关于经过该线段中点的直线的对称点；(4)如果两个三角形全等那么它们关于某直线成轴对称其中真命题的个数为 ()A0 B1 C2 D3 7ABC 中，ABAC，点 D 与顶点 A 在直线 BC 同侧，且 BDAD则 BD 与 CD 的大小关系为 ()ABDCD BBDCD CBDCD DBD 与 CD 大小关系无法确定 12 8下列图形中，不是轴对称图形的是 ()A互相垂直的两条直线构成的图形 B一条直线和直线外一点构成的图形 C有一个内角为 30，另一个内角为 120的三角形 D有一个内角为 60的三角形 9在等腰ABC 中，ABAC，O 为不同于 A 的一点，且 OBOC，则直线 AO 与底边 BC的关系为 ()A平行 B垂直且平分 C斜交 D垂直不平分 10三角形的三个顶点的外角平分线所在的直线两两相交，所围成的三角形一定是 ()A锐角三角形 B钝角三角形 C等腰三角形 D直角三角形 二、填空题二、填空题 1正五角星形共有_条对称轴 2黑板上写着在正对着黑板的镜子里的像是_.3已知等腰三角形的腰长是底边长的34，一边长为 11cm，则它的周长为_.4(1)等腰三角形，(2)正方形，(3)正七边形，(4)平行四边形，(5)梯形，(6)菱形中，一定是轴对称图形的是_.5如果一个图形沿某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够_，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做_.6如图 7109，在ACD 中，ADBDBC，若C25，则ADB_.7已知如图 7110，ABC 中，ABAC，BEAC，BDE100，BAD70，则E_.8如图 7111，在 RtABC 中，B 为直角，DE 是 AC 的垂直平分线，E 在 BC 上，BAE：BAC1：5，则C_.13 9如图 7112，BAC30，AM 是BAC 的平分线，过 M 作 MEBA 交 AC 于 E，作MDBA，垂足为 D，ME10cm，则 MD_.10如图 7113，OE 是AOB 的平分线，BDOA 于 D，ACBO 于 C，则关于直线 OE对称的三角形有_对 三、解答题三、解答题 1如图 7114，XOY 内有一点 P，在射线 OX 上找出一点 M，在射线 OY 上找出一点 N，使 PMMNNP 最短 2如图 7115，图中的图形是轴对称图形吗?如果是轴对称图形，请作出它们的对称轴 3已知AOB30，点 P 在 OA 上，且 OP2，点 P 关于直线 OB 的对称点是 Q，求PQ 之长 4如图 7116，在ABC 中，C 为直角，A30，CDAB 于 D，若 BD1，求 AB 14 之长 5如图 7117，在ABC 中，C 为直角，AB 上的高 CD 及中线 CE 恰好把ACB 三等分，若AB20，求ABC 的两锐角及 AD、DE、EB 各为多少?6如图 7118，AD、BE 分别是等边ABC 中 BC、AC 上的高M、N 分别在 AD、BE 的延长线上，CBMACN求证：AMBN 7如图 7119，点 G 在 CA 的延长线上，AFAG，ADCGEC求证：AD 平分BAC 15 8已知：如图 7120，等腰直角三角形 ABC 中，A90，D 为 BC 中点，E、F 分别为AB、AC 上的点，且满足 EACF求证：DEDF 课后练习：课后练习：1、如图，将矩形 ABCD 对折，得折痕 PQ，再沿 MN 翻折，使点 C 恰好落在折痕PQ 上的点 C处，点 D 落在 D处，其中 M 是 BC 的中点连接 AC，BC，则图中共有等腰三角形的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4 2、如图将六边形 ABCDEF 沿着直线 GH 折叠，使点 A、B 落在六边形 CDEFGH 的内部，则下列结论一定正确的是（）A1+2=900-2（C+D+E+F）B1+2=1080-2（C+D+E+F）C1+2=720-（C+D+E+F）D1+2=360-（C+D+E+F）21 3、某台球桌为如图所示的长方形 ABCD，小球从 A 沿 45角击出，恰好经过 5次碰撞到达 B 处则 AB：BC 等于（）A.1：2 B.2:3 C:2：5 D.3：5 16 4、如图所示，DE 是 AB 的垂直平分线，交 AC 于点 D，若 AC6 cm，BC=4 cm，则BDC 的周长是_cm （第4题图）（第5题图）5、牧马人在 A 处放牧，现他准备将马群赶回 B 处的家中，但中途他必须让马到河边 l 饮水一次(如图）他应该怎样选择饮水点 P，才能使所走的路程 PAPB最短？为什么?6、如图，OE=OF，OC=OD，CF 与 DE 交于点 A，求证：E=F；AC=AD。