常见分布的期望和方差.pdf

常见分布的期望和方差常见分布的期望和方差分布类型概率密度函数期望方差0-1 分布 B（1，p）ppq二项分布 B（n，p）iniiniqpCiXPp(1),(1,2,.,)qpin np npq泊松分布 P()eiiXPpii!(0,1,2,3.)i 均匀分布 U（）,a b等或21)(1)(rxfabxf2ab2()12ba正态分布 N（）2,22()21()2xf xe(,0)x 2指数分布 E（）,0()0,0 xexf xx121分布，22()n12,.N(0,1)nXXX 相互独立，且标准都服从正态分布222212.nXXXn2n分布，t()t n(0,1)XN:2()Yxn:XtY n0(2)2nnn概率与数理统计重点摘要概率与数理统计重点摘要1、正态分布的计算：。()()()XF xP Xx 2、随机变量函数的概率密度：是服从某种分布的随机变量，求的概率密度：。（参见 P6672）X()Yf X()()()()YXfyfx h yh y3、分布函数具有以下基本性质：(,)(,)xyF x yf u v dudv、是变量 x，y 的非降函数；、，对于任意固定的 x，y 有：；0(,)1F x y(,)(,)0FyF x、关于 x 右连续，关于 y 右连续；(,)F x y、对于任意的，有下述不等式成立：11221212(,),(,),x yxyxxyy22122111(,)(,)(,)(,)0F xyF x yF xyF x y4、一个重要的分布函数：的概率密度为：1(,)(arctan)(arctan)23xyF x y22226(,)(,)(4)(9)f x yF x yx yxy 5、二维随机变量的边缘分布：边缘概率密度：()(,)()(,)XYfxf x y dyfyf x y dx边缘分布函数：二维正态分布的边缘分布为一维正态分布。()(,)(,)()(,)(,)xXyYFxF xf u y dy duFyFyf x v dx dv 6、随机变量的独立性：若则称随机变量 X，Y 相互独立。简称 X 与 Y 独立。(,)()()XYF x yFx Fy7、两个独立随机变量之和的概率密度：其中 ZXY()()()()()ZXYYXfzfx fzx dxfy fzy dy8、两个独立正态随机变量的线性组合仍服从正态分布，即。22221212(,ZaXbYN abab:9、期望的性质：（3）、；（4）、若 X，Y 相互独立，则。()()()E XYE XE Y()()()E XYE X E Y10、方差：。若 X，Y 不相关，则，否则，22()()()D XE XE X()()()D XYD XD Y()()()2(,)D XYD XD YCov X Y()()()2(,)D XYD XD YCov X Y11、协方差：，若 X，Y 独立，则，此时称：X 与 Y 不相关。(,)()()Cov X YE XE XYE Y(,)0Cov X Y 12、相关系数：，当且仅当 X 与 Y 存在线性关系时，且(,)(,)()()()()XYCov X YCov X YXYD XD Y1XY1XY1,b0;1,b0XY 当 当。13、k 阶原点矩：，k 阶中心矩：。()kkvE X()kkE XE X14、切比雪夫不等式：。贝努利大数定律：。22()()(),()1D XD XP XE XP XE X 或0lim1nmPpn15、独立同分布序列的切比雪夫大数定律：因，所以。2111niiPXnn 011lim1niniPXn16、独立同分布序列的中心极限定理：(1)、当 n 充分大时，独立同分布的随机变量之和的分布近似于正态分布。1nniiZX2(,)N nn(2)、对于的平均值，有，即独立同分布的随机12,.nXXX11niiXXn11()()niinE XE Xnn2211()()niinD XD Xnnn变量的均值当 n 充分大时，近似服从正态分布。()Nn(3)、由上可知：。lim()()()()nnnP aZbbaP aZbba 17、棣莫弗拉普拉斯中心极限定理：设 m 是 n 次独立重复试验中事件 A 发生的次数，p 是事件 A 发生的概率，则对任意,x，其中。lim()nmnpPxxnpq 1qp(1)、当 n 充分大时，m 近似服从正态分布，。()N np npq(2)、当 n 充分大时，近似服从正态分布，。mn(,)pqN pn18、参数的矩估计和似然估计：(参见 P200)19、正态总体参数的区间估计：所估参数条件估计函数置信区间已知xun,xuxunn未知xtns(1),(1)ssxtnxtnnn未知22(1)ns22221(1)(1),(1)(1)nsnsnn122212未知121212222112212()()(1)(1)1wwxyn ntsnnnsnssnn其中121211()(2)wxytnnsnn21221,未知22112222sFs2222121212121(1,1)(1,1)ssssFnnFnn，20、关于正态总值均值及方差的假设检验，参见 P243 和 P248。