信息论复习知识点.pdf

1、平均自信息为表示信源的平均不确定度，也表示平均每个信源消息所提供的信息量。平均互信息表示从 Y 获得的关于每个 X 的平均信息量，也表示发 X 前后 Y 的平均不确定性减少的量，还表示通信前后整个系统不确定性减少的量。2、最大离散熵定理为：离散无记忆信源，等概率分布时熵最大。3、最大熵值为。4、通信系统模型如下：5、香农公式为为保证足够大的信道容量，可采用（1）用频带换信噪比；（2）用信噪比换频带。6、只要，当 N 足够长时，一定存在一种无失真编码。7、当 RC 时，只要码长足够长，一定能找到一种编码方法和译码规则，使译码错误概率无穷小。8、在认识论层次上研究信息的时候，必须同时考虑到 形式、含义和效用 三个方面的因素。9、1948 年，美国数学家 香农 发表了题为“通信的数学理论”的长篇论文，从而创立了信息论。按照信息的性质，可以把信息分成 语法信息、语义信息和语用信息。按照信息的地位，可以把信息分成 客观信息和主观信息。人们研究信息论的目的是为了 高效、可靠、安全 地交换和利用各种各样的信息。信息的 可度量性 是建立信息论的基础。统计度量 是信息度量最常用的方法。熵 是香农信息论最基本最重要的概念。事物的不确定度是用时间统计发生 概率的对数 来描述的。10、单符号离散信源一般用随机变量描述，而多符号离散信源一般用 随机矢量 描述。11、一个随机事件发生某一结果后所带来的信息量称为自信息量，定义为 其发生概率对数的负值。12、自信息量的单位一般有 比特、奈特和哈特。13、必然事件的自信息是 0 。14、不可能事件的自信息量是 。15、两个相互独立的随机变量的联合自信息量等于 两个自信息量之和。16、数据处理定理：当消息经过多级处理后，随着处理器数目的增多，输入消息与输出消息之间的平均互信息量 趋于变小 。17、离散平稳无记忆信源 X 的 N 次扩展信源的熵等于离散信源 X 的熵的 N 倍 。18、离散平稳有记忆信源的极限熵，H)/(lim121NNNXXXXHL。19、对于 n 元 m 阶马尔可夫信源，其状态空间共有 nm 个不同的状态。20、一维连续随即变量 X 在a，b区间内均匀分布时，其信源熵为 log2（b-a）。21、平均功率为 P 的高斯分布的连续信源，其信源熵，Hc（X）=eP2log212。22、对于限峰值功率的 N 维连续信源，当概率密度 均匀分布 时连续信源熵具有最大值。23、对于限平均功率的一维连续信源，当概率密度 高斯分布 时，信源熵有最大值。24、对于均值为 0，平均功率受限的连续信源，信源的冗余度决定于平均功率的限定值 P 和信源的熵功率P 之比。25、若一离散无记忆信源的信源熵 H（X）等于 2.5，对信源进行等长的无失真二进制编码，则编码长度至少为 3 。26、m 元长度为 ki，i=1，2，n 的异前置码存在的充要条件是：nikim11。27、若把掷骰子的结果作为一离散信源，则其信源熵为 log26。28、同时掷两个正常的骰子，各面呈现的概率都为 1/6，则“3 和 5 同时出现”这件事的自信息量是 log218（1+2 log23）。29、若一维随即变量 X 的取值区间是0，其概率密度函数为mxemxp1)(，其中：0 x，m 是 X 的数学期望，则 X 的信源熵)(XHCme2log。30、一副充分洗乱的扑克牌（52 张），从中任意抽取 1 张，然后放回，若把这一过程看作离散无记忆信源，则其信源熵为 52log2 。31、根据输入输出信号的特点，可将信道分成离散信道、连续信道、半离散或半连续 信道。32信道的输出仅与信道当前输入有关，而与过去输入无关的信道称为 无记忆 信道。33、具有一一对应关系的无噪信道的信道容量 C=log2n 。34、强对称信道的信道容量 C=log2n-Hni。35、对称信道的信道容量 C=log2m-Hmi。36、对于离散无记忆信道和信源的 N 次扩展，其信道容量 CN=NC 。37、对于 N 个对立并联信道，其信道容量 CN=NkkC1 。38、多用户信道的信道容量用 多维空间的一个区域的界限 来表示。39、多用户信道可以分成几种最基本的类型：多址接入信道、广播信道 和相关信源信道。40、广播信道是只有 一个输入端和多个输出端 的信道。41、当信道的噪声对输入的干扰作用表现为噪声和输入的线性叠加时，此信道称为 加性连续信道。42、高斯加性信道的信道容量 C=)1(log212NXPP。43、信道编码定理是一个理想编码的存在性定理，即：信道无失真传递信息的条件是 信息率小于信道容量。44、信道矩阵10002/12/1代表的信道的信道容量 C=1 。45、信道矩阵100101代表的信道的信道容量 C=1 。46、高斯加性噪声信道中，信道带宽 3kHz，信噪比为 7，则该信道的最大信息传输速率 Ct=9 kHz 。47、对于具有归并性能的无燥信道，达到信道容量的条件是 p（yj）=1/m）。48、信道矩阵1001代表的信道，若每分钟可以传递 6*105 个符号，则该信道的最大信息传输速率 Ct=10kHz。49、信息率失真理论是量化、数模转换、频带压缩和 数据压缩 的理论基础。50、求解率失真函数的问题，即：在给定失真度的情况下，求信息率的 极小值。51、信源的消息通过信道传输后的误差或失真越大，信宿收到消息后对信源存在的不确定性就 越大，获得的信息量就越小。52、信源的消息通过信道传输后的误差或失真越大道传输消息所需的信息率 也越小。53、单符号的失真度或失真函数 d（xi，yj）表示信源发出一个符号 xi，信宿再现 yj 所引起的 误差或失真。54、汉明失真函数 d（xi，yj）=jiji10 。55、平方误差失真函数 d（xi，yj）=yj-xi）2。56、平均失真度定义为失真函数的数学期望，即 d（xi，yj）在 X 和 Y 的 联合概率空间 P（XY）中 的统计平均值。57、如果信源和失真度一定，则平均失真度是 信道统计特性 的函数。58、如果规定平均失真度D不能超过某一限定的值 D，即：DD。我们把DD 称为 保真度准则。59、离散无记忆 N 次扩展信源通过离散无记忆 N 次扩展信道的平均失真度是单符号信源通过单符号信道的平均失真度的 N 倍。60、试验信道的集合用 PD 来表示，则 PD=mjniDDxypij,2,1,2,1;:)/(LL 。61、信息率失真函数，简称为率失真函数，即：试验信道中的平均互信息量的 最小值。62、平均失真度的下限取 0 的条件是失真矩阵的 每一行至少有一个零元素。63、平均失真度的上限 Dmax 取Dj：j=1，2，m中的 最小值。64、率失真函数对允许的平均失真度是 单调递减和连续的。65、对于离散无记忆信源的率失真函数的最大值是 log2n 。66、当失真度大于平均失真度的上限时 Dmax 时，率失真函数 R（D）=0。67、连续信源 X 的率失真函数 R（D）=);()/(YXIPxypInfD 。68、当2D时，高斯信源在均方差失真度下的信息率失真函数为)(DR D22log21 。69、保真度准则下的信源编码定理的条件是 信源的信息率 R 大于率失真函数R（D）70、某二元信源2/12/110)(XPX其失真矩阵 D=00aa，则该信源的 Dmax=a/2 。71、某二元信源2/12/110)(XPX其失真矩阵 D=00aa，则该信源的 Dmin=0 。72、某二元信源2/12/110)(XPX其失真矩阵 D=00aa，则该信源的R（D）=1-H（D/a）。73、按照不同的编码目的，编码可以分为三类：分别是 信源编码、信道编码和安全编码。74、信源编码的目的是：提高通信的有效性。75、一般情况下，信源编码可以分为 离散信源编码、连续信源编码和相关信源编码。76、连续信源或模拟信号的信源编码的理论基础是 限失真信源编码定理。77、在香农编码中，第 i 个码字的长度 ki 和 p（xi）之间有)(log1)(log22iiixpkxp 关系。78、对信源16/116/116/116/18/18/14/14/1(87654321xxxxxxxxXPX）进行二进制费诺编码，其编码效率为 1 。79、对具有 8 个消息的单符号离散无记忆信源进行 4 进制哈夫曼编码时，为使平均码长最短，应增加 2 个概率为 0 的消息。80、对于香农编码、费诺编码和哈夫曼编码，编码方法惟一的是 香农编码。81、对于二元序列 0011100000011111001111000001111111，其相应的游程序列是 23652457。82、设无记忆二元序列中，“0”和1”的概率分别是 p0 和 p1，则“0”游程长度 L（0）的概率为 11)0(0)0(ppLpL 。83、游程序列的熵 等于 原二元序列的熵。84、若“0”游程的哈夫吗编码效率为 0，“1”游程的哈夫吗编码效率为1，且 01 对应的二元序列的编码效率为，则三者的关系是 01 。85、在实际的游程编码过程中，对长码一般采取 截断 处理的方法。86、“0”游程和“1”游程可以分别进行哈夫曼编码，两个码表中的码字可以重复，但 C 码 必须不同。87、在多符号的消息序列中，大量的重复出现的，只起占时作用的符号称为 冗余位。88、“冗余变换”即：将一个冗余序列转换成一个二元序列和一个 缩短了的多元序列。89、L-D 编码是一种 分帧传送冗余位序列 的方法。90、L-D 编码适合于冗余位 较多或较少 的情况。91、信道编码的最终目的是 提高信号传输的可靠性。92、狭义的信道编码即：检、纠错编码。93、BSC 信道即：无记忆二进制对称信道。94、n 位重复码的编码效率是 1/n 。95、等重码可以检验 全部的奇数位错和部分的偶数位错。96、任意两个码字之间的最小汉明距离有称为码的最小距 dmin，则 dmin=),(minccdcc。97、若纠错码的最小距离为 dmin，则可以纠正任意小于等于 t=21mind个差错。98、若检错码的最小距离为 dmin，则可以检测出任意小于等于 l=dmin-1 个差错。99、线性分组码是同时具有 分组特性和线性特性 的纠错码。100、循环码即是采用 循环移位特性界定 的一类线性分组码。三、判断（每题 1 分）（50 道）必然事件和不可能事件的自信息量都是 0。错自信息量是)(ixp的单调递减函数。对单符号离散信源的自信息和信源熵都具有非负性。对单符号离散信源的自信息和信源熵都是一个确定值。错单符号离散信源的联合自信息量和条件自信息量都是非负的和单调递减的。对自信息量、条件自信息量和联合自信息量之间有如下关系：)/()()/()()(jijijijiyxIyIxyIxIyxI对自信息量、条件自信息量和互信息量之间有如下关系：)/()()/()();(ijjjiijixyIyIyxIxIyxI对当随即变量 X 和 Y 相互独立时，条件熵等于信源熵。对当随即变量 X 和 Y 相互独立时，I（X；Y）=H（X）。错10、信源熵具有严格的下凸性。错11、平均互信息量 I（X；Y）对于信源概率分布 p（xi）和条件概率分布p（yj/xi）都具有凸函数性。对12、m 阶马尔可夫信源和消息长度为 m 的有记忆信源，其所含符号的依赖关系相同。错13、利用状态极限概率和状态一步转移概率来求 m 阶马尔可夫信源的极限熵。对14、N 维统计独立均匀分布连续信源的熵是 N 维区域体积的对数。对15、一维高斯分布的连续信源，其信源熵只与其均值和方差有关。错16、连续信源和离散信源的熵都具有非负性。错17、连续信源和离散信源都具有可加性。对18、连续信源和离散信源的平均互信息都具有非负性。对19、定长编码的效率一般小于不定长编码的效率。对20、若对一离散信源（熵为 H（X）进行二进制无失真编码，设定长码子长度为 K，变长码子平均长度为K，一般KK。错21、信道容量 C 是 I（X；Y）关于 p（xi）的条件极大值。对22、离散无噪信道的信道容量等于 log2n，其中 n 是信源 X 的消息个数。错23、对于准对称信道，当mypj1)(时，可达到信道容量 C。错24、多用户信道的信道容量不能用一个数来代表。对25、多用户信道的信道容量不能用一个数来代表，但信道的信息率可以用一个数来表示。错26、高斯加性信道的信道容量只与信道的信噪有关。对27、信道无失真传递信息的条件是信息率小于信道容量。对28、最大信息传输速率，即：选择某一信源的概率分布（p（xi），使信道所能传送的信息率的最大值。错29、对于具有归并性能的无燥信道，当信源等概率分布时（p（xi）=1/n），达到信道容量。错30、求解率失真函数的问题，即：在给定失真度的情况下，求信息率的极小值。对31、信源的消息通过信道传输后的误差或失真越大，信宿收到消息后对信源存在的不确定性就越小，获得的信息量就越小。错32、当 p（xi）、p（yj/xi）和 d（xi，yj）给定后，平均失真度是一个随即变量。错33、率失真函数对允许的平均失真度具有上凸性。对34、率失真函数没有最大值。错35、率失真函数的最小值是 0。对36、率失真函数的值与信源的输入概率无关。错37、信源编码是提高通信有效性为目的的编码。对38、信源编码通常是通过压缩信源的冗余度来实现的。对39、离散信源或数字信号的信源编码的理论基础是限失真信源编码定理。错40、一般情况下，哈夫曼编码的效率大于香农编码和费诺编码。对41、在编 m（m2）进制的哈夫曼码时，要考虑是否需要增加概率为 0 的码字，以使平均码长最短。对42、游程序列的熵（“0”游程序列的熵与“1”游程序列的熵的和）大于等于原二元序列的熵。错43、在游程编码过程中，“0”游程和“1”游程应分别编码，因此，它们的码字不能重复。错44、L-D 编码适合于冗余位较多和较少的情况，否则，不但不能压缩码率，反而使其扩张。对45、狭义的信道编码既是指：信道的检、纠错编码。对46、对于 BSC 信道，信道编码应当是一对一的编码，因此，消息 m 的长度等于码字 c 的长度。错47、等重码和奇（偶）校验码都可以检出全部的奇数位错。对48、汉明码是一种线性分组码。对49、循环码也是一种线性分组码。对50、卷积码是一种特殊的线性分组码。错设的取值受限于有限区间a,b，则 X 服从 均匀 分布时，其熵达到最大；如 X 的均值为，方差受限为，则 X 服从 高斯 分布时，其熵达到最大。22信息论不等式：对于任意实数，有，当且仅当时等式成0z1ln zz1z立。3设信源为 X=0，1，P（0）=1/8，则信源的熵为 比特/符号，如信源发出由 m 个“0”和（100-m）个)8/7(log8/78log8/122“1”构成的序列，序列的自信息量为比特/符号。)8/7(log)100(8log22mm4离散对称信道输入等概率时，输出为 等概 分布。5根据码字所含的码元的个数，编码可分为 定长 编码和 变长 编码。6设 DMS 为，用二元符号表03.007.010.018.025.037.0.654321uuuuuuPUU对其进行定长编码，若所编的码为1,021xxX000，001，010，011，100，101，则编码器输出码元的一维概率 )(1xP0.747 ,0.253 。)(2xP二、简答题（30 分）设信源为，试求（1）信源的熵、信息含量效率以及冗余度；4/34/121xxPXX求二次扩展信源的概率空间和熵。解：（1）)(11)(2log/)()3/4(log4/34log4/1)(222XHXHXHXH（2）二次扩展信源的概率空间为：XX1x2x1x1/163/162x3/169/16)9/16(log16/9)3/16(log16/3)3/16(log16/316log16/1)(2222XXH什么是损失熵、噪声熵？什么是无损信道和确定信道？如输入输出为，则sr它们的分别信道容量为多少？答：将 H（X|Y）称为信道的疑义度或损失熵，损失熵为零的信道就,|YPXXY是无损信道，信道容量为 logr。将 H（Y|X）称为信道的噪声熵，噪声熵为零的信道就是确定信道，,|YPXXY信道容量为 logs。信源编码的和信道编码的目的是什么？答：信源编码的作用：（1）符号变换：使信源的输出符号与信道的输入符号相匹配；（2）冗余度压缩：是编码之后的新信源概率均匀化，信息含量效率等于或接近于 100%。信道编码的作用：降低平均差错率。什么是限失真信源编码？答：有失真信源编码的中心任务：在允许的失真范围内把编码的信息率压缩到最小。三、综合题（20+1515）设随机变量和的联合概率空间为1,0,21xxX1,0,21yyY8/18/38/38/1),(),(),(),(22122111yxyxyxyxPXYXY定义一个新的随机变量(普通乘积)YXZ计算熵 H（X），H（Y），H（Z），H（XZ），H（YZ），以及 H（XYZ）；计算条件熵 H（X|Y），H（Y|X），H（X|Z），H（Z|X），H（Y|Z），H（Z|Y），H（X|YZ），H（Y|XZ）以及 H（Z|XY）；计算平均互信息量 I（X；Y），I（X：Z），I（Y：Z），I（X；Y|Z），I（Y；Z|X）以及 I（X：，Z|Y）。解：（1）12log2/12log2/1)(12log2/12log2/1)(2222YHXH8/1008/308/308/1111110101100011010001000XYZ8/18/710Z8log8/1)7/8(log8/7)(22ZH8/18/302/111100100XZ8log8/1)3/8(log8/32log2/1)(222XZH8/18/302/111100100YZXY0101/83/81/213/81/81/21/21/28log8/1)3/8(log8/32log2/1)(222YZH（2）)3/4(log4/34log4/1(2/1)3/4(log4/34log4/1(2/1)|(2222YXH)3/4(log4/34log4/1(2/1)3/4(log4/34log4/1(2/1)|(2222XYH)1log10log0(8/1)3/7(log7/3)4/7(log7/4(8/7)|(2222ZXH)4log4/1)3/4(log4/3(2/1)0log01log1(2/1)|(2222XZH)1log10log0(8/1)3/7(log7/3)4/7(log7/4(8/7)|(2222ZYH)4log4/1)3/4(log4/3(2/1)0log01log1(2/1)|(2222YZH)0log01log1(8/1)0log01log1(8/3)3/4(log4/34log4/1(2/1)|(222222YZXH)0log01log1(8/1)0log01log1(8/3)3/4(log4/34log4/1(2/1)|(222222XZYH0)|(XYZH(3)|()();(YXHXHYXI)|()();(ZXHXHZXI )|()();(ZYHYHZYI)|()|()|;(YZXHZXHZYXI)|()|()|;(ZYXHYXHYZXI设二元对称信道的输入概率分布分别为，转移矩阵为4/14/3XP，3/23/13/13/2|XYP求信道的输入熵，输出熵，平均互信息量；求信道容量和最佳输入分布；求信道剩余度。解：（1）信道的输入熵；4log4/1)3/4(log4/3)(22XHXZ0101/201/213/81/81/27/81/8YZ0101/201/213/81/81/27/81/86/112/14/12/1XYP12/512/7YP)5/12(log12/5)7/12(log12/7)(22YH)6/1,12/1(4/1)4/1,2/1(4/3)|(HHXYH)|()();(XYHYHYXI2）最佳输入分布为，此时信道的容量为2/12/1 XP)3/1,3/2(1HC(3)信道的剩余度：);(YXIC 设有，其转移矩阵为，若信道输入概率为2/16/13/13/12/16/16/13/12/1|XYP，试确定最佳译码规则和极大似然译码规则，并计算出 25.025.05.0XP相应的平均差错率。解：最佳译码规则：，平均差错率为8/124/112/112/18/124/112/16/14/1XYP331211)()()(abFabFabF1-1/4-1/6-1/8=11/24；极大似然规则：，平均差错率为 1-1/4-1/8-1/8=1/2。332211)()()(abFabFabF