31中值定理.pptx

第一节第一节第一节第一节 中值定理中值定理中值定理中值定理二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理三、柯西定理三、柯西定理三、柯西定理三、柯西定理第三章第三章第三章第三章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用一、罗尔定理一、罗尔定理一、罗尔定理一、罗尔定理 问题的提出问题的提出(Introduction)我们知道，导数是刻划函数在一点处变化率我们知道，导数是刻划函数在一点处变化率的数学模型，它反映的是函数在一点处的局部变的数学模型，它反映的是函数在一点处的局部变化性态，但在理论研究和实际应用中，常常需要化性态，但在理论研究和实际应用中，常常需要把握函数在某区间上的整体变化性态。把握函数在某区间上的整体变化性态。那么函数的整体变化性态与局部变化性态有何那么函数的整体变化性态与局部变化性态有何关系呢？关系呢？中值定理揭示了函数在某区间上的整体性质与中值定理揭示了函数在某区间上的整体性质与该区间内部某一点的导数之间的关系，是导数与实该区间内部某一点的导数之间的关系，是导数与实际问题联系的桥梁，借助中值定理可应用导数来研际问题联系的桥梁，借助中值定理可应用导数来研究函数及曲线的某些性态（如单调性、函数的极值、究函数及曲线的某些性态（如单调性、函数的极值、最值；凹凸性、拐点等）。最值；凹凸性、拐点等）。中值定理包括三个定理：中值定理包括三个定理：罗尔定理罗尔定理拉格朗日定理拉格朗日定理柯西定理柯西定理（微分中值定理）（微分中值定理）所研究的内容：所研究的内容：它们都是研究函数在一区间上它们都是研究函数在一区间上两两端点的函数值端点的函数值与它在区间内与它在区间内某一某一点的导数值之间点的导数值之间的关系的关系.一、罗尔一、罗尔(Rolle)定理定理罗尔定理：罗尔定理：几何解释几何解释:解：解：（既要验证条件，又要验证结论既要验证条件，又要验证结论）注注1:罗尔定理的条件仅是充分条件，不是必要的罗尔定理的条件仅是充分条件，不是必要的.注注2 用途：确定导函数的根的位置用途：确定导函数的根的位置拉格朗日中值定理：拉格朗日中值定理：二、拉格朗日二、拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理几何解释几何解释:证证分析分析:弦弦AB方程为方程为作辅助函数作辅助函数拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式注意注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.拉格朗日中值的另外一种形式：拉格朗日中值的另外一种形式：若若 f(x)在在 a,b上满足拉格朗日中值定理条件上满足拉格朗日中值定理条件,对于对于 a,b 上任意两点上任意两点 x,x+x,在在 x,x+x(或或 x+x,x)上上,公式也成立公式也成立.y=f(x+x)f(x)其中其中 (x,x+x)或或 (x+x,x)记记 =x+x (其中其中0 1)=f ()x.有限增量公式有限增量公式:y=f (x+x)x比较比较:f(x)在在 x 处于可微：处于可微：y dy=f (x)x要求要求:|x|很小，很小，且且f (x)0f(x)在在 a,b 上满足上满足拉格朗日定理条件：拉格朗日定理条件：y=f (x+x)x要求要求:x有限有限.推论推论1：推论推论2 2具有相同导函数的两个函数，相差一个具有相同导函数的两个函数，相差一个常数常数.例例3 3证证证毕证毕例例4 4证证所以所以证毕证毕三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理柯西定理：柯西定理：几何解释几何解释:证证 作辅助函数作辅助函数XY小结：小结：Rolle定理定理Lagrange中值定理中值定理Cauchy中值定理中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；之间的关系；注意定理成立的条件；注意定理成立的条件；会用中值定理证明简单的等式与不等式会用中值定理证明简单的等式与不等式.约瑟夫拉格朗日(Joseph Louis Lagrange)，法国数学家、物理学家。他在数学、力学和天文学三个学科 领域中都有历史性的贡献，其中尤 以数学方面的成就最为突出拉格朗日1736年1月25日生于意大利西北部的都灵。父亲是法国陆军骑兵里的一名军官，后由于经商破产，家道中落。据拉格朗日本人回忆，如果幼年是家境富裕，他也就不会作数学研究了，因为父亲一心想把他培养成为一名律师。拉格朗日个人却对法律毫无兴趣。17岁时，开始专攻当时迅速发展的数学分析。18岁时，拉格朗日用意大利语写了第一篇论文，1755年拉格朗日19岁时，在探讨数学难题“等周问题”的过程中，他以欧拉的思路和结果为依据，用纯分析的方法求变分极值。19岁时就当上了都灵皇家炮兵学校的教授，成为当时欧洲公认的第一流数学家。1756年20岁时，受欧拉的举荐，拉格朗日被任命为普鲁士科学院通讯院士。近百余年来，数学领域的许多新成就都可以直接或间接地溯源于拉格朗日的工作。所以他在数学史上被认为是对分析数学的发展产生全面影响的数学家之一。柯西1789年8月2l日出生生于巴黎，他的父亲路易弗朗索瓦柯西是法 国波旁王朝的官员，在法国动荡 的政治漩涡中一直担任公职。由于 家庭的原因，柯西本人属于拥护波 旁王朝的正统派，是一位虔诚的天主教徒。柯西在幼年时，他的父亲常带领他到法国参议院内的办公室，并且在那里指导他进行学习，因此他有机会遇到参议员拉普拉斯和拉格朗日两位大数学家。他们对他的才能十分常识；拉格朗日认为他将来必定会成为大数学家，但建议他的父亲在他学好文科前不要学数学。柯西于1802年入中学。在中学时，他的拉丁文和希腊文取得优异成绩，多次参加竞赛获奖；数学成绩也深受老师赞扬。他于1805年考入综合工科学校，在那里主要学习数学和力学；1807年考入桥梁公路学校，1810年以优异成绩毕业，前往瑟堡参加海港建设工程。柯西于1816年先后被任命为法国科学院院士和综合工科学校教授。1821年又被任命为巴黎大学力学教授，还曾在法兰西学院授课。