圆板的应力分析.pptx

结束放映结束放映目录目录工程应用工程应用 平封头：平封头：常压容器、常压容器、高压容器；高压容器；贮槽底板：贮槽底板：可以是各种形状；可以是各种形状；换热器管板：薄管板、厚管板；换热器管板：薄管板、厚管板；板式塔塔盘：圆平板、带加强筋的圆平板；板式塔塔盘：圆平板、带加强筋的圆平板；反应器触媒床支承板等。反应器触媒床支承板等。引引 子子结束放映结束放映目录目录 板类结构是工程中最常见的部件之一，板类结构是工程中最常见的部件之一，通常承受两种不通常承受两种不同作用方式的外同作用方式的外载载，如图所示。，如图所示。t(a)(a)受纵向载荷的板受纵向载荷的板(b)(b)受横向载荷的板受横向载荷的板 第一种第一种载荷情况为弹性力学载荷情况为弹性力学平面平面应力应力问题，第问题，第二二种种载荷载荷情况为板的弯曲情况为板的弯曲问题，本问题，本节节将讨论第二种情况。当两种外将讨论第二种情况。当两种外载载同时作用时，可通过叠加同时作用时，可通过叠加求解。求解。板：板：厚度远小于其它两个方向尺寸厚度远小于其它两个方向尺寸(圆板为其直径圆板为其直径)且中面为且中面为平面的物体。平面的物体。什么是板？什么是板？结束放映结束放映目录目录3.1 3.1 基本概念与假设基本概念与假设3.2 3.2 圆板轴对称弯曲基本方程圆板轴对称弯曲基本方程3.3 3.3 圆板与环板的计算圆板与环板的计算3.4 3.4 带有平盖圆筒的边缘分析带有平盖圆筒的边缘分析3.5 3.5 平盖的工程设计平盖的工程设计结束放映结束放映目录目录下一页下一页 首页首页4 43.1 3.1 基本概念与假设基本概念与假设变形特点：变形特点：双向弯曲，变形后中面常被弯成不可展曲面，存双向弯曲，变形后中面常被弯成不可展曲面，存在翘曲，且其周长也有所改变。因此，一般板中的内力除弯在翘曲，且其周长也有所改变。因此，一般板中的内力除弯矩、扭矩和剪力外还有薄膜力矩、扭矩和剪力外还有薄膜力(沿中面的拉压力沿中面的拉压力)。当中面的当中面的wmax远小于板厚远小于板厚 t 时，通常称为板的小挠度问时，通常称为板的小挠度问题，此时板内的薄膜力很小，可略去不计，认为中面无伸缩；题，此时板内的薄膜力很小，可略去不计，认为中面无伸缩；当当wmax与与 t 为同一量级时，则为板的大挠度问题，此时板内为同一量级时，则为板的大挠度问题，此时板内的薄膜力较大，因而不能忽略。的薄膜力较大，因而不能忽略。一般在工程要求的精度范围内，当一般在工程要求的精度范围内，当 时，按时，按小挠度问题计；当小挠度问题计；当 时，按大挠度问题考虑。时，按大挠度问题考虑。挠度：挠度：中面各点沿中面法线方向的位移，常用中面各点沿中面法线方向的位移，常用w表示。表示。结束放映结束放映目录目录下一页下一页 首页首页5 5薄板与厚板：薄板与厚板：一般认为当板厚一般认为当板厚t小于其它最小尺寸的小于其它最小尺寸的1/51/5时，时，属于薄板；否则为厚板。对于薄板，在作出一些假设后，其属于薄板；否则为厚板。对于薄板，在作出一些假设后，其分析可以简化且能给出满意的结果。至于厚板，则须按三维分析可以简化且能给出满意的结果。至于厚板，则须按三维问题来分析，其求解过程较为复杂。问题来分析，其求解过程较为复杂。基本假设：基本假设：对于小挠度薄板，除假设材料是均匀连续和各向对于小挠度薄板，除假设材料是均匀连续和各向同性的外，还采用了以下与梁弯曲理论类似的假设同性的外，还采用了以下与梁弯曲理论类似的假设结束放映结束放映目录目录下一页下一页 首页首页6 66弹性薄板的小挠度理论建立基本假设-克希霍夫Kirchhoff变形前位于中面法线上的各点，变形后仍位于弹性曲面的同变形前位于中面法线上的各点，变形后仍位于弹性曲面的同 一法线上，且法线上各点间的距离不变。一法线上，且法线上各点间的距离不变。类同于梁的平面假设:变形前原为平面的梁的横截面变形后仍保持为平面，且仍然垂直于变形后的梁轴线。平行于中面的各层材料互不挤压，即板内垂直于板面的正应平行于中面的各层材料互不挤压，即板内垂直于板面的正应 力较小，可忽略不计。力较小，可忽略不计。板弯曲时其中面保持中性，即板中面内各点无伸缩和剪切板弯曲时其中面保持中性，即板中面内各点无伸缩和剪切 变形，只有沿中面法线变形，只有沿中面法线 的挠度的挠度。只有横向力载荷 本章主要讨论本章主要讨论圆形薄板圆形薄板(简称圆板简称圆板)在在轴对称横向载荷轴对称横向载荷作作用下的用下的小挠度小挠度弯曲问题弯曲问题。结束放映结束放映目录目录下一页下一页 首页首页7 7图图2-25 2-25 圆形薄板圆形薄板 xrz0 根据中性面假设：根据中性面假设：；对于圆板，常取柱坐标对于圆板，常取柱坐标 ，原点位于中面圆心。，原点位于中面圆心。直法线假设表明直法线假设表明 很小，相应的变形可不计，即：很小，相应的变形可不计，即：；互不挤压假设认为：互不挤压假设认为：。因此，圆板在轴对称小挠度弯曲情况下，只有三个应力因此，圆板在轴对称小挠度弯曲情况下，只有三个应力分量分量 。为弯曲应力，沿板厚线性分布，为弯曲应力，沿板厚线性分布，与与梁中的剪应力一样为抛物线分布，如下图所示。梁中的剪应力一样为抛物线分布，如下图所示。且其它位移、应变和应力分量均与且其它位移、应变和应力分量均与 无关，因而不存在扭矩。无关，因而不存在扭矩。在轴对称载荷作用下，圆板中的在轴对称载荷作用下，圆板中的变形和内力也一定轴对称。因此变形和内力也一定轴对称。因此3.2 3.2 圆板轴对称弯曲基本方程圆板轴对称弯曲基本方程1.1.圆板的变形与内力圆板的变形与内力结束放映结束放映目录目录下一页下一页 首页首页8 8以上各内力的正向如图以上各内力的正向如图2-28(b)2-28(b)所示，且所示，且它们都只是它们都只是r的函数，而与的函数，而与z无关。无关。另外，另外，由于由于弯曲应力不引起厚度的弯曲应力不引起厚度的改变改变，因而中面同一法线上各点的挠度，因而中面同一法线上各点的挠度相等，位移相等，位移 w也就是中面的挠度。也就是中面的挠度。z(a)图图2-28 各应力沿各应力沿板厚的分布与合成板厚的分布与合成(b)z 于是，可将各应力分量沿板厚合成于是，可将各应力分量沿板厚合成为相应的内力。为相应的内力。可分别合成为弯可分别合成为弯矩矩 ，可合成为横向剪力可合成为横向剪力 ，它们之间的关系为它们之间的关系为(e)结束放映结束放映目录目录下一页下一页 首页首页9 9 设圆板承受轴对称横向分布载荷设圆板承受轴对称横向分布载荷 。通常薄板弯曲的通常薄板弯曲的平衡方程以内力表示，因此可沿坐标平衡方程以内力表示，因此可沿坐标(r，)截取中面上的微截取中面上的微小面积作为微元体小面积作为微元体，其受力如图其受力如图2-262-26所示所示。图中弯矩以双箭图中弯矩以双箭头表示头表示，方向遵循右手螺旋法则。方向遵循右手螺旋法则。或或(2-55)2.2.平衡方程平衡方程0 rqz图2-26 圆板的微体受力 dr结束放映结束放映目录目录下一页下一页 首页首页1010(2-56)式式(2 2-5555、5656)即为圆板轴对称弯曲问题的平衡方程，即为圆板轴对称弯曲问题的平衡方程，含含有有 3 3个未知量，须考虑圆板弯曲后的变形关系。个未知量，须考虑圆板弯曲后的变形关系。0 r图2-26 圆板的微体受力 0 rqz drcccc或或结束放映结束放映目录目录下一页下一页 首页首页1111直法线假设直法线假设现考察距离中面为现考察距离中面为z z的微小线段的微小线段AB。变形前变形前AB=ab=dr；变形后变形后aba1b1，ABA1B1，且位于变形后的法线上。，且位于变形后的法线上。(2-57)圆板在轴对称载荷作用下，中面圆板在轴对称载荷作用下，中面将弯曲成以将弯曲成以0z为轴的旋转面，如图所为轴的旋转面，如图所示。设中面上任意一点示。设中面上任意一点a 变形后的挠变形后的挠度为度为w，转角为，转角为 。由图可知。由图可知又根据中性面假设，又根据中性面假设，a1b1=ab=AB，则，则A点处的两向应变为点处的两向应变为将将(c)(c)代入得代入得 3.3.几何方程几何方程(a)(b)(c)图图2-27 2-27 圆板的变形圆板的变形 zr0 ra w a1z drA1z B1ABb b1dwz 结束放映结束放映目录目录下一页下一页 首页首页1212 由于由于 ，故圆板的物理方程为，故圆板的物理方程为将将(2-57)(2-57)代入代入代入代入(e)(e)板的抗弯刚度板的抗弯刚度 (2-59)4.4.物理方程物理方程(2-58)(d)(e)结束放映结束放映目录目录下一页下一页 首页首页1313比较比较由材力由材力(2-60)(d)(2-59)易见：易见：正应力的最大值在正应力的最大值在板的上下表面板的上下表面，剪应力的剪应力的最大值在中面上。最大值在中面上。(2-60#)5.5.应力计算应力计算(p50)(p50)结束放映结束放映目录目录下一页下一页 首页首页1414圆板轴对称弯曲基本方程：圆板轴对称弯曲基本方程：(2-55)平衡方程：平衡方程：(2-56)物理方程：物理方程：(2-59)4 4个方程，个方程，4 4个未知量。个未知量。将将(2-59)(2-59)代入代入(2-56)(2-56)，得，得 (2-61)两边乘两边乘r 后后求导，再将求导，再将(2-55)(2-55)代入，可得代入，可得(2-62)式式(2-61,62)(2-61,62)即为圆板轴对称即为圆板轴对称弯曲问题的挠曲微分方程。弯曲问题的挠曲微分方程。圆板轴对称弯曲挠曲方程：圆板轴对称弯曲挠曲方程：6.6.挠曲微分方程挠曲微分方程结束放映结束放映目录目录下一页下一页 首页首页1515基本公式基本公式(2-59)(2-61)(2-60#)3.3 3.3 圆板与环板的计算圆板与环板的计算结束放映结束放映目录目录下一页下一页 首页首页1616 任意半径任意半径r处的剪力由区域平衡处的剪力由区域平衡可得：可得：代入代入(2-61)(2-61)积分得积分得图图#1#1 受均布载荷和受均布载荷和 弯矩的简支圆板弯矩的简支圆板 MRt qM1.1.受均布载荷和弯矩作用的圆板受均布载荷和弯矩作用的圆板(见图见图)MrQrQrMrrq得得由于由于 应是有限量，故应是有限量，故C2=0，于是，于是(2-64)结束放映结束放映目录目录下一页下一页 首页首页1717(#1a)将将 和和代入得代入得联解得联解得于是于是边界条件：边界条件：MRt qM结束放映结束放映目录目录下一页下一页 首页首页1818(#1b)(#1c)代入代入得得(#1a)(2-59)(2-59)(2-60(2-60#)代入代入得得结束放映结束放映目录目录下一页下一页 首页首页1919l纯弯曲情况纯弯曲情况(q=0 0)(2-83)由式由式(#1)(#1)可得可得MRt M图图2-322-32(#1)结束放映结束放映目录目录下一页下一页 首页首页2020l均布载荷均布载荷简支简支圆板圆板(M=0 0)显然，在板显然，在板中心挠度和中心挠度和应力最大应力最大 同样，由式同样，由式(#1)(#1)可得可得Rt q图图2-29(a)2-29(a)(2-67)(2-70)(2-72)(2-68)(2-73)结束放映结束放映目录目录下一页下一页 首页首页2121l均布载荷均布载荷固支固支圆板圆板图图2-29(b)2-29(b)Rt q 可由边界条件可由边界条件 ，借助于借助于(#1(#1)求得。求得。将第一式代入得将第一式代入得再将再将M代回代回(#1)(#1)，即得固支圆板的挠度、弯矩和应力为，即得固支圆板的挠度、弯矩和应力为(#1)结束放映结束放映目录目录下一页下一页 首页首页2222(2-74)(2-76)(2-77)显然，最大挠度在板中心，其值为显然，最大挠度在板中心，其值为最大弯矩为径向弯矩，发生在边缘处最大弯矩为径向弯矩，发生在边缘处(2-75)相应的最大应力为相应的最大应力为(2-78)图图2-29(b)2-29(b)Rt q结束放映结束放映目录目录下一页下一页 首页首页2323比较可见，如取比较可见，如取=0.3，周边简支时的最大挠度约为固支时的周边简支时的最大挠度约为固支时的4 4倍，最大应力约为固支时的倍，最大应力约为固支时的 1.651.65倍。因此，倍。因此，在同样的载荷在同样的载荷作用下，无论在刚度方面还是强度方面，固支圆板都要好于作用下，无论在刚度方面还是强度方面，固支圆板都要好于简支圆板。简支圆板。均布载荷固支圆板均布载荷固支圆板均布载荷简支圆板均布载荷简支圆板结束放映结束放映目录目录下一页下一页 首页首页2424 板内任意半径板内任意半径r处的剪力处的剪力Qr，由区域，由区域平衡可得：平衡可得：积分得积分得2.2.受均布受均布弯矩和剪力作用的环板弯矩和剪力作用的环板于是式于是式(2-61)(2-61)成为成为(a)为简化计算，上式可改写为为简化计算，上式可改写为 图图#1#1 受均布弯矩受均布弯矩 和剪力的环板和剪力的环板 Q1M1Rt R1Q1M1rR1QrMr结束放映结束放映目录目录下一页下一页 首页首页2525边界条件：边界条件：代入得代入得将将Q1M1Rt R1及及(a)结束放映结束放映目录目录下一页下一页 首页首页2626联解得：联解得：代回代回(a)(a)式，即得挠度的表达式为式，即得挠度的表达式为(#2)结束放映结束放映目录目录下一页下一页 首页首页2727 现以受现以受均布载荷的简支环板均布载荷的简支环板为例来说明叠加计算方法。为例来说明叠加计算方法。由截去部分力的平衡可得由截去部分力的平衡可得R1Rq(a(a)Q1M1(b(b)q(c(c)Q1M1+=采用叠加法，采用叠加法，图图a a可看成是可看成是图图b b和和图图c c的叠加。的叠加。图图b b为从均布载荷简支圆板中挖去半径为从均布载荷简支圆板中挖去半径R1的部分代之以内的部分代之以内力而形成的环板。力而形成的环板。故其故其wb和和R1处的处的M1，由式，由式(2-67,70)(2-67,70)可得可得3.3.圆圆(环环)板计算的叠加方法板计算的叠加方法(2-67,70)(2-67,70)结束放映结束放映目录目录下一页下一页 首页首页2828 图图c c的的wc可由可由受均布弯矩和剪力的环板解答得出。将受均布弯矩和剪力的环板解答得出。将M1和和Q1代入代入(#2)(#2)，并注意到符号相反，即，并注意到符号相反，即R1Rq(a(a)Q1M1(b(b)q(c(c)Q1M1+=-Q1M1Rt R1(#2)结束放映结束放映目录目录下一页下一页 首页首页2929则得则得于是于是(p58p58w表达式表达式)R1Rq(a(a)Q1M1(b(b)q(c(c)Q1M1+=结束放映结束放映目录目录下一页下一页 首页首页3030在在R1处，挠度最大，其值为处，挠度最大，其值为 式中：式中：同理可求得最大弯矩和相应的应力。同理可求得最大弯矩和相应的应力。应用类似的过程可以求解承受不同载荷和具有不同边界应用类似的过程可以求解承受不同载荷和具有不同边界条件的环板。图条件的环板。图2-22-2列举了几种典型环板的最大挠度和最大列举了几种典型环板的最大挠度和最大应力应力()()，可供设计计算参考。，可供设计计算参考。结束放映结束放映目录目录下一页下一页 首页首页3131R/R11.52.03.04.05.0图例图例k1k2k1k2k1k2k1k2k1k2(a)0.4140.9760.6641.4400.8241.8800.8302.0800.8132.190(b)0.4911.1900.9022.0401.2203.3401.3004.3001.3105.100(c)0.03130.3360.1250.7400.2911.2100.4171.4500.4921.590(d)0.00620.2730.03290.7100.1101.5400.1792.2300.2342.800(e)0.02490.4280.08770.7530.2091.2050.2931.5140.3501.745(f)0.00640.2200.02370.4050.0620.7030.0920.9330.1141.130图图2-2 几种典型环板的计算系数几种典型环板的计算系数(a)(b)(c)(d)q R1 R q R1 Rq R1 RP R1 RP R1 R q R1 R(e)(f)集中载荷：集中载荷：分布载荷：分布载荷：结束放映结束放映目录目录下一页下一页 首页首页3232图图A A 不同受力形式的圆板不同受力形式的圆板结束放映结束放映目录目录下一页下一页 首页首页3333图图B 不同受力不同受力形式的环板形式的环板结束放映结束放映目录目录下一页下一页 首页首页34343.4 3.4 带有平盖圆筒的边缘分析带有平盖圆筒的边缘分析圆筒圆筒 在内压在内压p，Q0 0和和M0 0作用下连接处的平作用下连接处的平行圆增量与转角由表行圆增量与转角由表2-12-1和式和式2-462-46为：为：平盖平盖 可视为图示力学可视为图示力学模型。模型。在压力在压力p和和M0 0-Q0 0t2/2作用下连接处的转作用下连接处的转角，可由角，可由(#1a)(#1a)式求得，过程如下：式求得，过程如下：Q0 0Q0 0M0 0-Q0t2/2M0 0-Q0t2/2t2p(b)结束放映结束放映目录目录下一页下一页 首页首页3535式中：式中：因因 在板下表面引起的平行圆半径增量为：在板下表面引起的平行圆半径增量为：其次，由其次，由 引起的平行圆半径增量可按以下推导得出：引起的平行圆半径增量可按以下推导得出：(#1a)D2M0-Q0t2/2(c)(d)(e)(#1a)(#1a)MRt qM-pQ0 0Q0 0M0 0-Q0t2/2M0 0-Q0t2/2t2p结束放映结束放映目录目录下一页下一页 首页首页3636代入变形协调方程，得：代入变形协调方程，得：联解即得联解即得Q0 0、M0 0，详见教材式，详见教材式(2-87)(2-87)。(b)圆筒圆筒(c)(d)(e)平盖平盖(g)结束放映结束放映目录目录下一页下一页 首页首页3737 Q0 0、M0 0解得后，可由下式求得圆筒与平盖中的总应力。解得后，可由下式求得圆筒与平盖中的总应力。(2-88)圆圆筒筒：平平盖盖：Q0 0Q0 0M0 0-Q0t2/2M0 0-Q0t2/2t2p薄膜薄膜应力应力均布压均布压应力应力纯弯纯弯曲曲均布均布载荷载荷结束放映结束放映目录目录下一页下一页 首页首页38383.5 3.5 平盖的工程设计平盖的工程设计根据强度条件，平盖的计算厚度为：根据强度条件，平盖的计算厚度为：(2-107)(2-107)式中式中 K结构特征系数；结构特征系数；Dc封头的有效直径，封头的有效直径，mmmm。K和和Dc与封头与封头-筒体的具体连接结构有关，见表筒体的具体连接结构有关，见表2-82-8。结束放映结束放映目录目录下一页下一页 首页首页3939表表2-8 2-8 平盖系数平盖系数K选择表选择表结束放映结束放映目录目录下一页下一页 首页首页4040表表2-8 2-8 平盖系数平盖系数K选择表选择表结束放映结束放映目录目录下一页下一页 首页首页4141表表2-8 2-8 平盖系数平盖系数K选择表选择表结束放映结束放映目录目录下一页下一页 首页首页4242表表2-8 2-8 平盖系数平盖系数K选择表选择表结束放映结束放映目录目录下一页下一页 首页首页4343 对于非圆形对于非圆形(椭圆形、长圆形、矩形和正方形椭圆形、长圆形、矩形和正方形)平盖：平盖：(2-108a,b)(2-108a,b)式中式中 Z形状系数，形状系数，且，且 。对表对表2-82-8中序号中序号13,1413,14所示平盖，取所示平盖，取Z=1.01.0，预紧时，预紧时，取常温下的许用应力；取常温下的许用应力；a、b 分别为非圆形平盖的短轴和长轴长度，分别为非圆形平盖的短轴和长轴长度，mmmm。结束放映结束放映目录目录下一页下一页 首页首页4444