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线性代数知识点回顾 2017 年 3 月 13 日1行列式21、n 阶行列式的概念n 阶行列式是取自不同行不同列的 n 个元素的乘积的代数和，这里nnnnnnaaaaaaaaaLMMMLL212222111211nnjjjaaaL2121是的一个排列。当是偶排列时，该项前面带正号；njjj,21Ln,2,1Lnjjj,21L 当是奇排列时，该项前面带负号。njjj,21L3 nnnnjjjjjjjjjnnnnnnaaaaaaaaaaaaLLMMMLLLL212121212122221112111这里表示对所有 n 阶排列求和。njjjL21【排列】由 n 个数所构成的一个有序组，通常用表示 n 阶排列，显然共有 n!个 n 阶排列，其中奇n,2,1Lnjjj,21L偶排列各占一半。【逆序】一个排列中，如果一个大的数排在小的数之前，就称这两个数构成一个逆序。【逆序数】一个排列的逆序总数。用表示排列的逆序数。逆序数是奇数的排列为奇排列；逆njjj,21Lnjjj,21L序数是偶数的排列为偶排列。完全展开式4二、行列式的性质1.经过转置行列式的值不变，即。AAT 333222111321321321cbacbacbacccbbbaaa2.两行（或列）互换位置，行列式值变号。特别地：两行（或列）对应元素相等，行列式的值为 0。53.两行（或列）如有公因子 K，用数 k 乘行列式等于用 k 乘它的某行（或列）。A特别地：（1）某行（或列）的元素全为 0，行列式的值为 0。（2）若两行（或列）的元素对应成比例，行列式的值为 0。4.如果行列式某行（或列）是两个元素之和，则可把行列式拆成两个行列式之和。321321321321321321321321332211dddcccbbbdddcccaaadddcccbababa5.把某行（或列）的 k 倍加到另一行（或列），行列式的值不变。6 321332211321321321321ccckabkabkabaaacccbbbaaa三、行列式按行（或列）展开式n 阶行列式的值等于它的任何一行（列）元素与其对应的代数余子式乘积之和，即7.,2,1,.,2,1,1221112211njAaAaAaAaAniAaAaAaAaAkjnkkjnjnjjjjjiknkikininiiiiLLLL余子式和代数余子式在 n 阶行列式中划去所在的第 i 行、第 j 列的展开式，由剩下的元素按照原来的nnnnnnaaaaaaaaaDLMMMLL212222111211ija位置构成的一个 n-1 阶的行列式8称为的余子式，记为；称为的代数余子式，nnjnjnnnijijiinijijiinjjaaaaaaaaaaaaaaaaLLMMMMLLLLMMMMLL1,1.1,11,11,11,1,11,11,11,111,11,111ijaijM ijjiM1ija记为，即。ijA ijjiijMA1行列式的任何一行（列）元素与另一行（列）元素的代数余子式乘积之和为 0，即.,0.,02211122111jiAaAaAaAajiAaAaAaAanjnijijikjkinkjninjijijkiknkLL9四、几个重要的公式1.上（下）三角形行列式的值等于主对角线元素的乘积nnnnnnmmnnaaaaaaaaaaaaaaaLLOMMMOLL221121222111222112112.关于副对角线的行列式10 11,21211,121,2111,2222111,1121110000000nnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaLLMMMLLLMMMMLL3.两个特殊的拉普拉斯展开式如果 A 和 B 分别是 m 阶和 n 阶矩阵，则BABOABOA*BAOBABAOmn1*4.范德蒙行列式11jinijnnnnnnxxxxxxxxxxxpLMMMLLL11121122221211115.抽象 n 阶方阵行列式公式（1）若 A 是 n 阶矩阵，是 A 的转置矩阵，则TAAAT（2）若 A 是 n 阶矩阵，则AkkAn（3）（行列式乘法公式）若 A、B 都是 n 阶矩阵，则，特别地BAAB 22AA 12（4）若 A 是 n 阶矩阵，是 A 的伴随矩阵,则 *A1*nAAEAAAAA*（5）若 A 是 n 阶可逆矩阵，是 A 的逆矩阵，则1A11 AA（6）若 A 是 n 阶矩阵，是 A 的特征值，则nii,2,1LiniA1（7）若矩阵 A 和 B 相似，则BA 五、行列式的计算1.数字型行列式的计算（1）展开公式法（核心是降阶）：用行列式的性质以期使行列式出现 0 或公因式，减少计算量，然后用展开公式。13（先把某行（列）的 k 倍分别加到其余各行（列）；或者先把每行（列）都加到同一行（列）；或者先逐行（列）相加化简化三角，然后再用展开公式。）例 1.计算行列式先把某行（列）的 k 倍分别加到其余各行（列）5021011321014321D解：14 2418619261110921120652721141711520701132101410750210113210143212223D15例 2.计算行列式 每行（列）都加到同一行（列）xaaaaaxaaaaaxaaaaaxaD16解：17340000000001411114xaxxxxaaaaxxaaaaxaaaaxaaaaaxxaaaaaxaaaaaxaaaaaxaD18例 3.计算行列式 逐行（列）相加简化三角3322111100110011001aaaaaaD19解：11000100010001110010001000111001100100011100110011001321332133221332211aaaaaaaaaaaaaaaaaaD20（2）公式法:利用上（下）三角和副对角线以及拉普拉斯和范德蒙。例 4.设 A 为 m 阶矩阵，B 为 n 阶矩阵，且，则aA bB OBAOC C解：=OBAOC abBAmnmn11（3）数学归纳法（本次不做解释）：如果 n 阶行列式结构上有很好的规律且其值与 n 有关。21数学归纳法的两种形式（1）验证 n=1 时命题正确；假设 n=k 时，命题正确；证明 n=k+1 时，命题正确。（2）验证 n=1 和 n=2 命题都正确，假设 nt，saaa,21Lt,21L则必线性相关。saaa,21L推论：若 n 维向量组可由线性表出，且线性无关，则 st。saaa,21Lt,21Lsaaa,21L2、极大线性无关组、秩651.极大线性无关组设向量中，有一部分组，满足条件saaa,21L)1(,21sraaairiiL（1）线性无关；iriiaaa,21L（2）再添加任一向量，向量组必然线性相关；sjaj1jiriiaaaa,21L（3）则称向量组是向量组的一个极大线性无关组。iriiaaa,21Lsaaa,21L2.秩向量的一个极大线性无关组中所含向量的个数 r 称为向量组的秩，记为。saaa,21Lraaars,21L秩的定理：（1）如果向量组（）可由（）线性表出，则。saaa,21Lt,21L rr （2）的行秩（矩阵 A 行向量的秩）=A 的列秩（矩阵 A 列向量的秩）。AAr66 （3）经初等变换向量组的秩不变。例 7.求向量组，的一个极大无关组，并把其余向量用该极大无2,4,21a0,1,12a1,3,23a2,5,34a关组线性表示。解：方法一 对矩阵TTTTaaaaA4321,0000111012101000011103212111011103212210253143212A67由最后一个矩阵可知：为一个极大无关组，且21,aa21421321aaaaaa方法二：各向量作为 A 的行向量，对 A 进行初等变换，由于这种方法要求记录计算过程，一般不采用。三、求解线性方程组【齐次线性方程组】n 个未知量，m 个方程组成的方程组称为齐次线性方程组000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxaLLLL向量形式：。oxxxnnL221168矩阵形式：，其中，OXAnmnmnmmnnxxxXaaaaaaaaaAMLMMMLL21212222111211,【齐次线性方程组的解】若将有序组带入方程组的未知量，使每个方程等式成立，则称为方nccc,21Lnxxx,21LTnccc,21L程组的一个解（或解向量），记成，即或。Tnccc,21LoxxxnnL2211OA1.基础解系69设是的解向量，若满足rn,21LOAX （1）线性无关rn,21L （2）的任一解向量 可由线性表出，则称向量组是的基础解系。（这OAX rn,21Lrn,21LOAX 个条件等价于“”，即线性无关解向量的个数为 n-r，满足）。rAr)(n是未知量的个数线性无关解的个数nAr2.解的性质OAX 若是齐次线性组的解，则（其中是常数）仍是的解。nL,21OAX nnkkkL2211nkkk,21LOAX 3.有解的条件OAX 70齐次线性方程一定有解，至少有 0 解。OAX 齐次线性方程组只有 0 解OxaxaxaXaaaXAnnnnmLL221121,A 的列向量组线性无关A 的列向量组的秩=A 的秩=n4.基础解系向量个数与的关系 Ar若是 mn 矩阵，则齐次线性方程组存在基础解系。A nrArOAX 基础解系向量个数+=n Ar5.基础解系和通解的求法71利用初等变换不改变方程的解，将 A 左初等变换化成阶梯矩阵，可求得基础解系。设BccccccccccccArnrrrrnrrnrr0000000000000122222211111211MMMMMLLLLMMMMMLLLL得的同解方程组，即OAX OBX 000112112222211111212111nrnrrrrrrnnrrrrnnrrrrxcxcxcxcxcxcxcxcxcxcxcxcMLL阶梯方程中第一个系数不为 0 的 r 个未知量称为独立未知量，而后面的 n-r 个未知量称为自rxxx,21Lnrxx,1L72由未知量，将自由未知量分别赋下列 n-r 组值nrxx,1L带诶方程，求出相应的独立未知量，并得到 n-TTT1,0,0,0,1,0,0,0,1LLLLrxxx,21Lr 个解。TrrnrnrnrnTrTrddddddddd1,0,0,0,1,0,0,0,1,21222212112111LLMLLLL即是方程组的基础解系，所以方程组的通解为其中，rn,21LOAX rnrnkkkL2211是任意常数。),2,1(rnikiL73【非齐次线性方程组】n 个未知量，m 个方程组成的方程组称为非齐次线性方程组。mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxaLLLL22112222212111212111向量形式：。bxxxnnL221174矩阵形式：，其中，bXAnmnnmnmmnnbbbbxxxXaaaaaaaaaAMMLMMMLL2121212222111211,【非齐次线性方程组的解】若将有序组带入方程组的未知量，使每个方程等式成立，则称为方程组的一nccc,21Lnxxx,21LTnccc,21L个解（或解向量），记成，即，即非齐次此案性方程组的解是 b 可由 A 的列向量线性表出的Tnccc,21LbA系数。751.解的性质bAX 若是的两个解，是对应齐次线性方程组的解，则21,bAX OAX OA21bkA12.有解的条件bAX 无解b 不能由 A 的列向量组线性表出bXAnm bArAr|有解b 可由 A 的列向量组线性表出bXAnm76 bArAr|baaaaaann,2121LL有唯一解bXAnmbaaarnaaarnn,2121LL 线性无关，线性相关naaa,21Lbaaan,21L b 可由线性表出，且表出法唯一naaa,21L有无穷解bXAnmnbaaaraaarnn,2121LL 线性相关，b 可由线性表出，且表出法不唯一naaa,21Lnaaa,21L773.非齐次线性方程组通解的求法（1）将增广矩阵作初等变换化成阶梯型矩阵，先求出对应齐次线性方程组的基础解系BA|rn,21L rAr（2）再求一个非齐次特解设为，为简单，一般将自由未知量均取零值带入方程，求得独立未知量，并得，则的通解为，是任意常数。bAX rnrnkkkL2211例 8.用基础解系表示如下线性方程组的全部解。7739183332154321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx78解：用高斯消元法将增广矩阵化成阶梯型矩阵。bAM000000000074747210713713730177391111833312111151bAM即原方程组与方程组同解，其中为自由未知量。43243174727471373713xxxxxx43,xx79让自由未知量取值，得到方程的一个解0043xx0074713原方程的导出组与方程组同解，其中为自由未知量。432431747271373xxxxxx43,xx让自由未知量取值，即对应齐次方程组的基础解系为43xx1001和80 ，017273110747132因此所给方程组的全部解为，其中为任意常数。10747130172730074713212211ccccx21,cc克莱姆法则若 n 个方程 n 个未知量构成的非齐次线性方程组81的系数行列式则方程组有唯一解，且nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxaLMLL221122222121112121110AniAAxii,2,1,L其中中第 i 列元素替换成方程组右端的常数项所构成的行列式。AAi是推论：若 n 个方程 n 个未知量构成的齐次线性方程组的系数行列式方程组有唯一 0 解。000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxaLMLL 0A【完】