定积分的简单应用李用.pptx

1.1.平面图形的面积平面图形的面积:其中其中F(x)=f(x)A AA A2.微积分基本定理微积分基本定理:一、复习一、复习因为因为f(x)在在a,b内连续内连续 是是f(x)的一个原函数的一个原函数.又又F(x)是是f(x)的原函数，的原函数，F(x)=+C.在上式中令在上式中令x=a,则则由由 得到得到C=F(a)移项得移项得令令 即得即得证明：证明：Ox yab y f(x)x a、x b与与 x轴所围成的曲边梯形的面积。轴所围成的曲边梯形的面积。当当f(x)0时时由由y f(x)、x a、x b与与 x 轴所围成的曲边梯形面积的负值轴所围成的曲边梯形面积的负值x yOab y f(x)-S=s3.定积分定积分 的几何意义的几何意义:类型一类型一.求由一条曲线求由一条曲线y=f(x)y=f(x)和直线和直线x=a,x=b(ab)x=a,x=b(ab)及及x x轴所围成平面图形的面积轴所围成平面图形的面积S S(2)xyoabc(3)(1)xyo练习练习.求抛物线求抛物线y=xy=x2 2-1-1，直线，直线x=2x=2，y=0y=0所围成的所围成的 图形的面积。图形的面积。yx解：如图：由解：如图：由x x2 2-1=0-1=0得到抛物线与得到抛物线与x x轴轴的交点坐标是的交点坐标是(-1,0)(-1,0)，(1,0).(1,0).所求面积所求面积如图阴影所示：如图阴影所示：所以：所以：类型一：由一条曲线和直线所围成平面图形的面类型一：由一条曲线和直线所围成平面图形的面积的求解积的求解类型类型2 2：由两条曲线：由两条曲线y=f(x)y=f(x)和和y=g(x)y=g(x)，直线，直线x=a,x=b(ab)x=a,x=b(ab)所围成平面图形的面积所围成平面图形的面积S Syxoba(2)(1)注注：解解:作出作出y y2 2=x,y=x=x,y=x2 2的图象如图所示的图象如图所示:即两曲线的交点为即两曲线的交点为(0,0),(1,1)(0,0),(1,1)oxyABCDO 两曲线围成的平面图形的面积的计算两曲线围成的平面图形的面积的计算求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤:(1)(1)作出示意图作出示意图;(;(弄清相对位置关系弄清相对位置关系)(2)(2)求交点坐标求交点坐标;(;(确定积分的上限确定积分的上限,下限下限)(3)(3)确定积分变量及被积函数确定积分变量及被积函数;(4)(4)列式求解列式求解.解解:两曲线的交点两曲线的交点直线与直线与x轴交点为轴交点为(4,0)S1S2X X型求解法型求解法Y Y型求解法型求解法解解:两曲线的交点两曲线的交点 练习练习解解:两曲线的交点两曲线的交点于是所求面积于是所求面积说明：注意各积分区间上被积函数的形式说明：注意各积分区间上被积函数的形式 练习练习练习练习3xy解解 所围成的图形如图所示：所围成的图形如图所示：平面图形的面积。平面图形的面积。则则yox2-2练习练习4 计算：由曲线计算：由曲线曲边梯形的面积曲边梯形的面积直线直线和和轴所围成的轴所围成的=-解解:练习练习5 如图所示由如图所示由 和和所围图形的所围图形的面积是多少？面积是多少？yox2-2-4解解:BDCASABCD-定积分在物理中的应用定积分在物理中的应用设设做做变变速速直直线线运运动动的的物物体体运运动动的的速速度度v=v(t)v=v(t)0，则此物体在时间区间，则此物体在时间区间a,ba,b内运动的距离内运动的距离s s为为一、变速直线运动的路程一、变速直线运动的路程v/m/st/s10406030OABC解：解：由速度时间曲线可知：由速度时间曲线可知：例题例题法二法二：由定积分的几何意义，直观的可以得出路程即为如图所示的梯形的面积，即二、变力沿直线所作的功二、变力沿直线所作的功1 1、恒力作功、恒力作功2 2、变力所做的功、变力所做的功问题：问题：物体在变力物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并的作用下做直线运动，并且物体沿着与且物体沿着与F(x)相同的方向从相同的方向从x=a点移动到点移动到x=b点，则变力点，则变力F(x)所做的功为所做的功为:例例2:2:如图：在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离如图：在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离水平位置水平位置l 米处，求克服弹力所作的功米处，求克服弹力所作的功解：解：在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需的在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需的力力(x)与弹簧拉伸（或压缩）的长度与弹簧拉伸（或压缩）的长度 x 成正比成正比即：即：F(x)=)=kx所以据变力作功公式有所以据变力作功公式有 例题例题练一练练一练1.设弹簧在设弹簧在1N力的作用下伸长力的作用下伸长0.01米，米，要使弹簧伸长要使弹簧伸长0.1米，需作多少功？米，需作多少功？解解如图：建立直角坐标系如图：建立直角坐标系。因为弹力的大小与弹簧的因为弹力的大小与弹簧的伸长（或压缩）成正比，伸长（或压缩）成正比，即即比例系数比例系数已知已知代入上式得代入上式得从而变力为从而变力为所求的功所求的功练一练练一练4一点在直线上从时刻一点在直线上从时刻t=0(s)开始以速开始以速度度v=t2-4t+3(m/s)运动运动,求求:(1)在在t=4 s的位移的位移;(2)在在t=4 s运动的路程运动的路程.(1),t=4s时刻该点距出发点时刻该点距出发点4/3m(2)t=4s时刻运动的路程为时刻运动的路程为4 设设物物体体运运动动的的速速度度v v(t)(v(t)0)，则则此此物物体体在时间区间在时间区间a,b内运动的路程内运动的路程s为为1、变速直线运动的路程、变速直线运动的路程2、变力沿直线所作的功、变力沿直线所作的功 物体在变力物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物的作用下做直线运动，并且物体沿着与体沿着与F(x)相同的方向从相同的方向从x=a点移动到点移动到x=b点，点，则变力则变力F(x)所做的功为所做的功为:小结小结返回返回通一通一类1一点在直线上从时刻一点在直线上从时刻t0(单位：单位：s)开始以速度开始以速度vt24t3(单位：单位：m/s)运动，求：运动，求：(1)在在t4 s时的位置；时的位置；(2)在在t4 s时运动的路程时运动的路程返回返回1、一物体在力、一物体在力F(x)=3x+4(单位单位:N)的作用下的作用下,沿着沿着与力与力F相同的方向相同的方向,从从x=0处运动到处运动到 x=4处处(单位单位:m),求求F(x)所作的功所作的功.练一练练一练40J2.一物体沿直线以一物体沿直线以v=2t+3(t的单位为的单位为s,v的单位为的单位为m/s)的速度运动的速度运动,求该物体在求该物体在35s间行进的路程间行进的路程.练习：练习：A、B两站相距两站相距7.2km,一辆电车从一辆电车从A站开往站开往B站站,电电车开出车开出ts后到达途中后到达途中C点点,这一段的速度为这一段的速度为1.2t(m/s),到到C点的速度为点的速度为24m/s,从从C点到点到B点前的点前的D点以等速行驶点以等速行驶,从从D点开始刹车点开始刹车,经经ts后后,速度为速度为(24-1.2t)m/s,在在B点恰好停车点恰好停车,试求试求:（1）A、C间的距离间的距离;（2）B、D间的距离间的距离;（3）电车从）电车从A站到站到B站所需的时间。站所需的时间。略解略解:(1)设设A到到C的时间为的时间为t1则则1.2t=24,t1=20(s),则则AC(2)设设D到到B的时间为的时间为t2则则24-1.2t2=0,t2=20(s),则则DB（3）CD=7200-2 240=6720(m),则从则从C到到D的时间为的时间为280(s),则所求时间为则所求时间为20+280+20=320（s）例例例例2 2：一个带：一个带：一个带：一个带+q+q电量的点电荷放在电量的点电荷放在电量的点电荷放在电量的点电荷放在r r轴上坐标原点轴上坐标原点轴上坐标原点轴上坐标原点处，形成一个电场，已知该电场中，距离坐标原处，形成一个电场，已知该电场中，距离坐标原处，形成一个电场，已知该电场中，距离坐标原处，形成一个电场，已知该电场中，距离坐标原点为点为点为点为r r处的单位电荷受到的电场力由公式：处的单位电荷受到的电场力由公式：处的单位电荷受到的电场力由公式：处的单位电荷受到的电场力由公式：确定，在该电场中，一个单位正电荷在电场力作确定，在该电场中，一个单位正电荷在电场力作确定，在该电场中，一个单位正电荷在电场力作确定，在该电场中，一个单位正电荷在电场力作用下，沿着用下，沿着用下，沿着用下，沿着r r轴方向从轴方向从轴方向从轴方向从r=ar=a到到到到r=br=b（aba4时，时，P点向点向x轴负方向运动轴负方向运动 故故t6时，点时，点P移动的路程移动的路程返回返回返回返回悟一法悟一法返回返回 例例2设有一长设有一长25 cm的弹簧，若加以的弹簧，若加以100 N的力，的力，则弹簧伸长则弹簧伸长30 cm，又已知弹簧伸长所需要的拉力与弹簧的，又已知弹簧伸长所需要的拉力与弹簧的伸长量成正比，求使弹簧由伸长量成正比，求使弹簧由25 cm 伸长到伸长到40 cm所做的功所做的功返回返回通一通一类2在底面积为在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气体，在等的圆柱形容器中盛有一定量的气体，在等温条件下，由于气体的膨胀，把容器中的一个活塞温条件下，由于气体的膨胀，把容器中的一个活塞(面积面积为为S)从点从点a处推到点处推到点b处，计算在移动过程中，气体压力处，计算在移动过程中，气体压力所做的功所做的功返回返回返回返回 做变速直线运动的物体的速度为做变速直线运动的物体的速度为v(t)4t2，求，求t0到到t3时经过的路程时经过的路程返回返回 设设物物体体运运动动的的速速度度v v(t)(v(t)0)，则则此此物物体体在时间区间在时间区间a,b内运动的路程内运动的路程s为为1、变速直线运动的路程、变速直线运动的路程2、变力沿直线所作的功、变力沿直线所作的功 物体在变力物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物的作用下做直线运动，并且物体沿着与体沿着与F(x)相同的方向从相同的方向从x=a点移动到点移动到x=b点，点，则变力则变力F(x)所做的功为所做的功为:小结小结