排列组合问题的几种基本方法.ppt

4/21/20241.要明确堆的顺序时，必须先分堆后再把堆数当作元素个数作全排列.若干个不同的元素局部“等分”有 个均等堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m!若干个不同的元素“等分”为 个堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m!非均分堆问题，只要按比例取出分完再用乘法原理作积.分组（堆）问题的六个模型：无序不等分；无序等分；无序局部等分；(有序不等分；有序等分；有序局部等分.)处理问题的原则：1.分组（堆）问题4/21/20242.例1.有四项不同的工程，要发包给三个工程队，要求每个工程队至少要得到一项工程.共有多少种不同的发包方式？解：要完成发包这件事，可以分为两个步骤：先将四项工程分为三“堆”，有种分法；再将分好的三“堆”依次给三个工程队，有3!6种给法.共有6636种不同的发包方式.1.分组（堆）问题4/21/20243.例2.7人排成一排.甲、乙两人不相邻，有多少种不同的排法？解：分两步进行：几个元素不能相邻时,先排一般元素，再让特殊元素插孔.第1步，把除甲乙外的一般人排列：第2步，将甲乙分别插入到不同的间隙或两端中(插孔)：解决一些不相邻问题时，可以先排“一般”元素然后插入“特殊”元素，使问题得以解决.2.插空法：4/21/20244.相邻元素的排列，可以采用“局部到整体”的排法，即将相邻的元素局部排列当成“一个”元素，然后再进行整体排列.3.捆绑法例3.6人排成一排.甲、乙两人必须相邻,有多少种不的排法?解：（1）分两步进行：甲 乙第一步，把甲乙排列(捆绑)：第二步，甲乙两个人的梱看作一个元素与其它的排队：几个元素必须相邻时,先捆绑成一个元素，再与其它的进行排列.4/21/20245.例4.5个人站成一排，甲总站在乙的右侧的有多少种站法？几个元素顺序一定的排列问题，一般是先排列，再消去这几个元素的顺序.或者，先让其它元素选取位置排列，留下来的空位置自然就是顺序一定的了.4.消序法(留空法)解法1：将5个人依次站成一排，有解法2：先让甲乙之外的三人从5个位置选出3个站好，有种站法，然后再消去甲乙之间的顺序数甲总站在乙的右侧的有站法总数为种站法，留下的两个位置自然给甲乙有1种站法甲总站在乙的右侧的有站法总数为4/21/20246.变式：如下图所示,有5横8竖构成的方格图,从A到B只能上行或右行共有多少条不同的路线?解:如图所示1234567将一条路经抽象为如下的一个排法(5-1)+(8-1)=11格:其中必有四个和七个组成!所以,四个和七个一个排序就对应一条路经,所以从A到B共有 条不同的路径.4.消序法(留空法)也可以看作是1,2,3,4,5,6,7,顺序一定的排列，有种排法.4/21/20247.n个 相同小球放入m(mn)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成m段.例5.某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选手名额分配到高三年级的1-4 个教学班,每班至少一个名额,则不同的分配方案共有_种.5.剪截法（隔板法）：解：问题等价于把16个相同小球放入4个盒子里,每个盒子至少有一个小球的放法种数问题.将16个小球串成一串，截为4段有 种截断法，对应放到4个盒子里.因此，不同的分配方案共有455种.4/21/20248.n个 相同小球放入m(mn)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成m段.变式：某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选手名额分配到高三年级的1-4 个教学班,每班的名额不少于该班的序号数,则不同的分配方案共有_种.5.剪截法：解：问题等价于先给2班1个，3班2个，4班3个，再把余下的10个相同小球放入4个盒子里,每个盒子至少有一个小球的放法种数问题.将10个小球串成一串，截为4段有 种截断法，对应放到4个盒子里.因此，不同的分配方案共有84种.4/21/20249.编号为1至n的n个小球放入编号为1到 n的n个盒子里,每个盒子放一个小球.要求小球与盒子的编号都不同,这种排列称为错位排列.6.错位法：特别当n=2,3,4,5时的错位数各为1,2,9,44.例6.编号为1至6的6个小球放入编号为1至6的6个盒子里,每个盒子放一个小球,其中恰有2个小球与盒子的编号相同的放法有_种.解：选取编号相同的两组球和盒子的方法有 种,其余4组球与盒子需错位排列有9种放法.故所求方法有159135种.4/21/202410.7.剔除法 从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法.例7.从集合0,1,2,3,5,7,11中任取3个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的A、B、C，所得的经过坐标原点的直线有_条.解：所有这样的直线共有 条，其中不过原点的直线有 条，所得的经过坐标原点的直线有210-18030条.排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面解析几何的某些知识联系，从而增加了问题的综合性，解答这类应用题时，要注意使用相关知识对答案进行取舍.4/21/202411.B B 巩固练习4/21/202412.A 4.5个人排成一排，其中甲、乙不相邻的排法种数是（）A.6B.12C.72D.144C巩固练习4/21/202413.分堆问题；解决排列、组合问题的一些常用方法：错位法、剪截法（隔板法）、捆绑法、剔除法、插孔法、消序法(留空法).小结4/21/202414.