15.2-线段的垂直平分线-.ppt

第第1515章章 轴对称图形与等腰三角形轴对称图形与等腰三角形15.2 15.2 线段的垂直平分线线段的垂直平分线1课堂讲解u线段垂直平分线的性质线段垂直平分线的性质u线段垂直平分线的判定线段垂直平分线的判定2课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升1知识点线段垂直平分线的性质线段垂直平分线的性质 怎样作出线段的垂直平分线怎样作出线段的垂直平分线?通过折纸可以作出线段的垂直平分线通过折纸可以作出线段的垂直平分线.在半透明纸上画一条在半透明纸上画一条线段线段AA，折纸，使，折纸，使A与与A重合，得到的折痕重合，得到的折痕l是线段是线段 AA的垂直的垂直平分线（如图平分线（如图).知知1 1导导问问 题题步骤步骤1步骤步骤2步骤步骤3知知1 1导导 也可以用刻度尺量出线段的中点，再用三角尺过中点画垂线也可以用刻度尺量出线段的中点，再用三角尺过中点画垂线的方法作出线段的垂直平分线的方法作出线段的垂直平分线.下面介绍用尺规作图，作出线段下面介绍用尺规作图，作出线段AB的垂直平分线的垂直平分线.作法：作法：1.分别以点分别以点A，B为圆心，大于为圆心，大于 交于点交于点E，F.2.过点过点E，F作直线作直线.则直线则直线EF就是线段就是线段AB的垂直平分线（如图的垂直平分线（如图).知知1 1导导思考思考 为什么这样作出的直线为什么这样作出的直线EF，就是线段，就是线段AB的垂直的垂直平分线呢？设所作直线平分线呢？设所作直线EF交交AB于点于点O，你能给出证明你能给出证明吗？吗？知知1 1讲讲线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线的性质：1.定理：定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相 等；等；条件：条件：点在线段的垂直平分线上；点在线段的垂直平分线上；结论：结论：这个点到线段这个点到线段两端两端的距离相等的距离相等 表达方式：如图，表达方式：如图，lAB，AOBO，点点P在在l上，则上，则APBP.2.作用：作用：可用来证明两线段相等可用来证明两线段相等（来自（来自点拨点拨）例例1 (山东临沂山东临沂)如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，中，AC垂直平分垂直平分BD，垂足为垂足为E，下列结论不一定成立的是，下列结论不一定成立的是()AABADBCA平分平分BCD CABBD DBECDEC 导引：导引：根据线段垂直平分线的性质得出根据线段垂直平分线的性质得出AB与与AD的关系，结合三的关系，结合三 角形全等对四个选项进行逐一验证角形全等对四个选项进行逐一验证 AC垂直平分垂直平分BD，ABAD，BCDC，又又ACAC，ABCADC，BCADCA.又又BCDC，CECE，BECDEC，选项选项A，B，D成立成立知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）C总 结知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）平面几何图形问题的解决方法：平面几何图形问题的解决方法：分析图形，结分析图形，结合已知条件对基本图形的形状进行判定是常用的方合已知条件对基本图形的形状进行判定是常用的方法，然后再根据具体图形的性质作出判断即可法，然后再根据具体图形的性质作出判断即可 例例2 如图，在如图，在ABC中，中，AC5，AB的垂直的垂直 平分线平分线DE交交AB，AC于点于点E，D，(1)若若BCD的周长为的周长为8，求，求BC的长；的长；(2)若若BC4，求，求BCD的周长的周长导引：导引：由由DE是是AB的垂直平分线，得的垂直平分线，得ADBD，所以，所以 BD与与CD的长度和等于的长度和等于AC的长，所以由的长，所以由BCD 的周长可求的周长可求BC的长，同样由的长，同样由BC的长也可求的长也可求BCD的周长的周长 解：解：DE是是AB的垂直平分线，的垂直平分线，ADBD，BDCDADCDAC5.(1)BCD的周长为的周长为8，BCBCD的周长的周长(BDCD)853.(2)BC4，BCD的周长的周长BCBDCD549.知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）总 结知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）本题运用了本题运用了转化思想转化思想，用线段垂直平分线的性，用线段垂直平分线的性质把质把BD的长转化成的长转化成AD的长，从而把未知的的长，从而把未知的BD与与CD的长度和转化成已知的线段的长度和转化成已知的线段AC的长本题中的长本题中AC的的长、长、BC的长及的长及BCD的周长三者可互相转化，知其的周长三者可互相转化，知其二可求第三者二可求第三者 例例3 如图，在如图，在ABC中，中，A40，B90，线段，线段AC的的 垂直平分线垂直平分线MN与与AB交于点交于点D，与，与AC交于点交于点E，则，则 BCD的度数是的度数是_导引：导引：在在ABC中，中，B90，A40，ACB50.MN是线段是线段AC的垂直平分线，的垂直平分线，DCDA，AECE.又又DEDE，ADECDE(SSS)，DCEA40.BCDACBDCA504010.知知1 1讲讲10（来自（来自点拨点拨）总 结知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）利用线段的垂直平分线的性质和定义得出边相利用线段的垂直平分线的性质和定义得出边相等，从而得出三角形全等，再利用全等三角形中对等，从而得出三角形全等，再利用全等三角形中对应角相等确定应角相等确定DCA的度数，根据角度差解决问的度数，根据角度差解决问题题 1(中考中考义乌义乌)如图，直线如图，直线CD是线段是线段AB的垂直的垂直平分线，平分线，P为直线为直线CD上的一点，已知线段上的一点，已知线段PA5，则线段，则线段PB的长度为的长度为()A6 B5 C4 D3(中考中考临沂临沂)如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，中，AC垂直平分垂直平分BD，垂足为，垂足为E，下列结论不一定，下列结论不一定成立的是成立的是()AABAD BCA平分平分BCD CABBD DBECDEC知知1 1练练2（来自（来自典中点典中点）3(中考中考遂宁遂宁)如图，在如图，在ABC中，中，AC4 cm，线段线段AB的垂直平分线交的垂直平分线交AC于点于点N，若，若BCN的周长是的周长是7 cm，则，则BC的长为的长为()A1 cm B2 cm C3 cm D4 cm(中考中考荆州荆州)如图，在如图，在ABC中，中，ABAC，AB的垂直平分线交边的垂直平分线交边AB于于D点，交边点，交边AC于于E点，若点，若ABC与与EBC的周长分别是的周长分别是40 cm，24 cm，则，则AB_知知1 1练练4（来自（来自典中点典中点）2知识点线段垂直平分线的判定线段垂直平分线的判定知知2 2导导思考思考 你能写出上面定理的逆命题吗？它是真命题你能写出上面定理的逆命题吗？它是真命题 吗？如果是真命题，请给出证明吗？如果是真命题，请给出证明.知知2 2讲讲线段的垂直平分线的判定：线段的垂直平分线的判定：1定理：定理：到线段两端到线段两端距离相等距离相等的点在线段的垂直平分线上的点在线段的垂直平分线上 (1)条件：条件：点到线段两端距离相等；点到线段两端距离相等；结论：结论：点在线段垂直平分点在线段垂直平分 线上线上 (2)表达方式：表达方式：如图，如图，PAPB，点点P在线段在线段AB的垂直平分线上的垂直平分线上 (3)作用：作用：作线段的垂直平分线的依据；作线段的垂直平分线的依据；可用来证线段垂直、相等可用来证线段垂直、相等2拓展：拓展：三角形三边的垂直平分线交于一点，这点到三角形的三三角形三边的垂直平分线交于一点，这点到三角形的三 个顶点的距离相等，这个点叫这个三角形的外心个顶点的距离相等，这个点叫这个三角形的外心（来自（来自点拨点拨）例例4 如图，在如图，在ABC中，中，ACB90，AD平分平分BAC，DEAB于于E.求证：直线求证：直线AD是是CE的垂直平分线的垂直平分线导引：导引：根据角平分线的定义可得根据角平分线的定义可得BADCAD，结合已知条件，结合已知条件 可证可证ADEADC，所以，所以DEDC，AEAC，所以点，所以点 D、A都在都在CE的垂直平分线上，从而就能证明结论的垂直平分线上，从而就能证明结论证明：证明：AD平分平分BAC，BADCAD.ACB90，DEAB，AEDACB90.又又ADAD，ADEADC，CDDE，ACAE，点点D、A都在都在CE的垂直平分线上，的垂直平分线上，直线直线AD是是CE的垂直平分线的垂直平分线知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）总 结知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）利用判定定理证一条直线是线段的垂直平分线，必须证利用判定定理证一条直线是线段的垂直平分线，必须证明这条直线上有两点到线段两端的距离相等明这条直线上有两点到线段两端的距离相等(即证有两点在即证有两点在线段的垂直平分线上线段的垂直平分线上)易错之处：只证明一个点在线段的易错之处：只证明一个点在线段的垂直平分线上，就说过该点的直线是线段的垂直平分线因垂直平分线上，就说过该点的直线是线段的垂直平分线因为过该点的直线有无穷多条，其中只有一条是线段的垂直平为过该点的直线有无穷多条，其中只有一条是线段的垂直平分线注意：证线段的垂直平分线也可以利用定义分线注意：证线段的垂直平分线也可以利用定义 例例5 已知：如图，已知：如图，ABC的边的边AB,AC的垂直平分线相交于点的垂直平分线相交于点P.求证：点求证：点P在在BC的垂直平分线上的垂直平分线上.证明：证明：连接连接PA，PB，PC.点点P在在AB,AC的垂直平分线上的垂直平分线上,（已知）（已知）PA=PB,PA=PC.(线段垂直平分线线段垂直平分线 上的点到线段两端的距离相等）上的点到线段两端的距离相等）PB=PC.(等量代换）等量代换）点点P在在BC的垂直平分线上的垂直平分线上.（到线段（到线段 两端距离相等的点在线段的垂直平分两端距离相等的点在线段的垂直平分 线上）线上）知知2 2讲讲（来自教材）（来自教材）例例6 如图，已知如图，已知ABAD，BCDC，E是是AC上一点，上一点，求证：求证：(1)BEDE；(2)ABEADE.导引：导引：(1)连接连接BD，要证，要证BEDE，只要证明，只要证明 E点是线段点是线段BD的垂直平分线上的点即可的垂直平分线上的点即可 由由ABAD，说明，说明A点是线段点是线段BD的垂直的垂直 平分线上的点，由平分线上的点，由BCDC，说明，说明C点点 也是线段也是线段BD的垂直平分线上的点，所的垂直平分线上的点，所 以以AC是线段是线段BD的垂直平分线，而已知的垂直平分线，而已知E是是AC上一上一 点，问题得以解决点，问题得以解决(2)要证明角相等，只需证明要证明角相等，只需证明 ABEADE即可即可知知2 2讲讲证明：证明：(1)连接连接BD，如图，如图，ABAD，BCCD，A，C两点均在线段两点均在线段BD的垂直平分线上的垂直平分线上 AC是线段是线段BD的垂直平分线的垂直平分线 又又E是是AC上一点，上一点，BEDE.(2)在在ABE和和ADE中，中，ABAD，BEDE，AEAE，ABEADE(SSS)，ABEADE.知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）总 结知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）由线段的垂直平分线的判定定理确定由线段的垂直平分线的判定定理确定AC是线是线段段BD的垂直平分线，再由线段垂直平分线的性质得的垂直平分线，再由线段垂直平分线的性质得BEDE，这是线段垂直平分线的性质和判定定理，这是线段垂直平分线的性质和判定定理的综合运用的综合运用 例例7 如图，某城市规划局为了方便居民的生如图，某城市规划局为了方便居民的生 活，计划在三个住宅小区活，计划在三个住宅小区A，B，C之间之间 修建一个购物中心，试问：该购物中心修建一个购物中心，试问：该购物中心 应建于何处，才能使得它到三个小区的应建于何处，才能使得它到三个小区的 距离相等？距离相等？导引：导引：本题转化为数学问题就是要找一个点，本题转化为数学问题就是要找一个点，使它到三角形的三个顶点的距离相等使它到三角形的三个顶点的距离相等 首先考虑到首先考虑到A，B两点距离相等的点应该在线段两点距离相等的点应该在线段AB的垂直平的垂直平 分线上，到分线上，到B，C两点距离相等的点应该在线段两点距离相等的点应该在线段BC的垂直平的垂直平 分线上，两条垂直平分线的交点即为所求的点分线上，两条垂直平分线的交点即为所求的点解：解：连接连接AB，BC，分别作，分别作AB，BC的垂直平分线的垂直平分线DE，GF，两直，两直 线交于点线交于点M，则点，则点M就是所要确定的购物中心的位置如图就是所要确定的购物中心的位置如图.知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）总 结知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）解决作图选点性问题：解决作图选点性问题：若要找到某两个点的距若要找到某两个点的距离相等的点，一般在这两点所连线段的垂直平分线离相等的点，一般在这两点所连线段的垂直平分线上去找上去找 1已知：已知：C，D是线段是线段AB外的两点，且外的两点，且CA=CB，DA=DB.求证：直线求证：直线CD垂直平分线段垂直平分线段AB.锐角三角形锐角三角形ABC内有一点内有一点P，满足，满足PAPBPC，则点，则点P是是ABC()A三条角平分线的交点三条角平分线的交点 B三条中线的交点三条中线的交点C三条高的交点三条高的交点 D三边垂直平分线的交点三边垂直平分线的交点如图，点如图，点D在三角形在三角形ABC的的BC边上，边上，且且BCBDAD，则点，则点D在线段在线段()的垂直平分线上的垂直平分线上AAB BAC CBC D不确定不确定知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）23（来自教材）（来自教材）1线段的垂直平分线的性质和判定的线段的垂直平分线的性质和判定的“两点作用两点作用”：(1)利用线段垂直平分线的性质可证明两线段相等，只需利用线段垂直平分线的性质可证明两线段相等，只需 直线满足垂直、平分即可；直线满足垂直、平分即可；(2)利用线段垂直平分线的判定可证明垂直关系和线段的利用线段垂直平分线的判定可证明垂直关系和线段的 相等关系相等关系2应用线段垂直平分线的性质要注意两点：应用线段垂直平分线的性质要注意两点：(1)点一定在垂点一定在垂 直平分线上；直平分线上；(2)距离指的是点到线段两个端点的距离距离指的是点到线段两个端点的距离 1.必做必做:完成教材完成教材P130 T2-32.补补充充:请请完成完成典中点典中点剩余部分剩余部分习题习题